Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Sistema de Ecuaciones Lineales y Taxis.
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1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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El Contexto Real del Movimiento
Hablaremos del movimiento en línea recta más simple de todos, y de la manera de representarle matemáticamente. Queremos conectar esta situación real con las diferentes representaciones matemáticas y desarrollar tu habilidad para transitar entre ellas.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Les traigo ahora un problema en donde trataremos otra vez, consiste en
ecuaciones lineales pero les voy a cambiar un poquito el contexto.
En ese sentido, me van a permitir que de una vez hagamos que ese tiempo que nos ha
servido siempre para el eje horizontal, ahora lo pensemos en términos de otra
magnitud. La situación me la van a entender cuando
veamos la imagen que tengo en la computadora.
Esta situación, me imagino que en todo el mundo, ocurre e igual mis datos no está
muy actualizados, entonces no vayan a creer que así son las cosas acá en
México. Tenemos dos compañías de taxis, unos se
van a llamar ecológicos, tienen un banderazo de siete setenta y cinco, ¿qué
es el banderazo? Con eso me refiero a eso que uno que
tiene que pagar cuando simplemente you paró al taxi.
you desde que uno se sentó allí dentro, diremos tiene un costo inicial que tiene
que pagarle aparte de lo que tendrá que pagar cada uno por cada kilómetro
recorrido. Los taxis ecológicos tienen un banderazo
de siete setenta y cinco y un costo por kilómetro recorrido de tres punto treinta
y dos. Por otro lado tenemos los taxis
económicos, esos son los rojos que tienen un banderazo de cuatro punto seis y un
costo por kilómetro recorrido de tres punto cinco.
La pregunta que yo hago en este momento es ¿cuál me conviene tomar?
Y entonces, de ahí sale cada cosa, cuando lo pongo sobre la mesa con los
estudiantes, porque pues bueno, a modo de juego, habrá quien diga que mejor el
ecológico, otros dirán que el económico, porque es económico y por eso se llama
así, cuestiones por el estilo, pero igual es el momento en el que nosotros tengamos
que poner nuestro razonamiento al servicio de dicernir cuál es el taxi que
nos conviene tomar. Lo cual no tiene porqué ser una pregunta
que tenga una respuesta absoluta. O sea, fíjense como en esta situación,
uno tendría que pensar "pues depende a dónde voy a ir".
Porque realmente a lo mejor en términos de la distancia que voy a recorrer me va
a convenir uno u otro. Cuando estamos ante esta situación, yo he
observado también que hay una actitud muy dada por empezar a evaluar, entonces
detrás de la hoja que les entrego hay una serie de tabulaciones donde se dice que a
los cinco, a los seis kilómetros, siete, ocho...
Entonces a veces no son capaces de dar la respuesta exacta.
A veces eso puede ser un buen indicativo de que andan buscando más o menos por
donde. Pero no la respuesta exacta.
Por otra parte sí hay estudiantes que you son capaces de dar el modelo matemático,
que representa ¿qué? En este caso, me representa el costo,
vamos a ponerlo aquí, me estaría representando el costo en términos del
kilometraje recorrido. Aquí la función sería el costo en
términos del kilometraje recorrido cuando you me subí en el taxi.
¿Se acuerdan hace inmediatamente poco que estábamos hablando de la posición
respecto al tiempo? Estoy hablando del costo con respecto al
kilometraje recorrido. Entonces estas funciones de costo por
kilometraje recorrido son funciones que you podemos nosotros construir para el
costo de los taxis ecológicos diríamos este banderazo es como un costo inicial y
entonces tendríamos una expresión del tipo, x de t sería igual a un siete punto
setenta y cinco, más tres punto treinta y dos por k, you le puse t por mi
costumbre, ¿se fijan? Vamos a poner la letra k para decir
kilómetros. Y esto sería para los taxis ecológicos.
Para los taxis económicos, tendríamos x de k donde x está representando entonces
el costo igual a cuatro punto seis más tres punto cinco t y dale con la t, es
una k. Esa x hubiera sido mejor que hubiéramos
puesto una c, ¿cierto? Vamos a ponerle aquí una c en ésta.
Éste es un costo que nos dé más claridad de lo que andamos haciendo.
El eje vertical me va a servir para señalar el costo, el eje horizontal me va
a servir para señalar los kilómetros recorridos.
Vean entonces ustedes cómo pudiera uno hacer observaciones de los números que
están ahí metidos. Si ustedes observan el costo inicial es
más barato el taxi económico. Ciertamente.
Entonces, uno diría me subo en él. Pero por otro lado si uno compara el
costo por kilometraje pues diríamos el económico es más caro que el ecológico,
¿no? Entonces yendo a la larga quizás nos
convenga más el ecológico. Todos estos razonamientos tienen una
manera de concretarse cuando hago un dibujo al respecto pero un dibujo que
ahorita me gustaría señalárselos de una manera digamos compacta, ¿sí?
Algo que quisiera que los alumnos ganaran hasta la fecha sé que no es algo fácil de
ganar, es tener esa imagen global de la situación teniendo en cuenta los números
que están. Parece ser que cuando estamos ante un
sistema coordenado estamos habituados a hacer como esto, voy a hacerlo con las
rayitas chiquitas: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, chas, chas...
Estas rayitas es como una sensación de que necesito tener los cuadritos.
Ese es el manejo de la escala en los ejes, pero realmente para este gráfico
que estamos haciendo en la situación, ni nos conviene tener una escala en ese
sentido. Vean lo que voy a hacer pensando en que
domino la situación, obviamente. Se los paso con la idea de que fueran
cosas que pudieran aprovechar a su favor. Si tomo esta pluma con el color rojo, me
voy a poner a dibujar el rojo, ¿no? O sea, el taxi económico.
Bueno no voy a dibujar el taxi, voy a dibujar la representación gráfica del
costo por kilometraje. Tendríamos que iniciar en un cuatro punto
seis, vamos a poner aquí independientemente de la escala, éste es
un cuatro punto seis, ¿de acuerdo? Y esta recta que voy ahorita a dibujar,
tendría este dato de la velocidad, como hemos visto you que afecta a la
velocidad, es una velocidad positiva, entonces tendría que ser una recta por
ejemplo así, ¿no? you hize ahí un trazado you he dicho ahí
en la escala, pero estoy tratando de utilizar el dato de esta velocidad.
Si ahora me cambio a la tinta verde, vamos a ver si nos deja, you sí nos dejó.
Entonces vamos a tratar de dibujar la representación gráfica del costo con los
taxis ecológicos por el kilometraje que he recorrido.
Entonces tenemos un dato de este costo inicial que si bien no respeto muy bien
la escala, lo que sí es cierto es que lo tengo que poner arriba.
Lo tengo que poner arriba, ¿por qué? Porque siete punto setenta y cinco es más
grande que cuatro punto seis ¿cierto?. Y ahora si comparo esta velocidad con
ésta, recuérdense de nuestro software, de SinCalc como el dato éste, el verde, es
más chico. Entonces la inclinación de la recta que
voy a dibujar tiene que ser menor que la de la roja, o sea que necesariamente
tiene que pasar algo así. La puse saliendo del mismo valor del
punto siete setenta y cinco pero con una inclinación menor.
Lo que provocó que aquí hubiera ¿qué? Un punto de intersección entre los dos
gráficos. Forzosamente se va a dar ese punto por
las condiciones de los datos, de los modelos matemáticos.
Entonces you con esta imagen. Precisando ese punto, nosotros podríamos
contestar esa pregunta. Bueno, primero diríamos depende.
Pero ese depende lo tenemos que hacer más preciso.
Yendo antes de esta distancia, del kilometraje ¿cuál?
Éste que está aquí. Si voy a antes de este kilometraje que
estoy señalando, me conviene el taxi ¿cuál?
El rojo, ¿por qué? Porque vean esta línea punteada que estoy
subiendo me está diciendo que el costo en el rojo es menor que el costo en el
verde. Y si voy después de esa distancia y mi
trayecto es más lejano, entonces vean ustedes la línea punteada, que estoy
tratando aquí de poner derechita. Va a topar primero con la gráfica de la
recta verde, ¿no? Entonces después de este valor del
kilometraje me conviene el taxi ecológico y antes me conviene el taxi económico.
¿Qué es lo que nos falta? Encontrar éste, ¿no?
Este valor, ¿cómo lo vamos a encontrar? Este punto de la intersección.
Lo que tendríamos nosotros que hacer es utilizar estas ecuaciones para resolver y
encontrar el kilometraje en donde el costo es el mismo.
Entonces, ¿qué es lo que hacemos entonces?
Igualamos los costos como you lo habíamos dicho, tendríamos que siete punto setenta
y cinco, voy a ponerlo aquí abajo, siete punto setenta y cinco más tres punto
treinta y dos k igual a un cuatro punto seis más tres punto cinco k.
En este momento, esta ecuación lineal me está significando la letra k es el
kilometraje para el cual los dos costos en los dos tipos de taxi sería el mismo.
¿Qué vamos a hacer para resolver este sistema?
Yo veo aquí este número más pequeño que este otro, así que me conviene pasarlo
acá para no provocar negativos y éste que está aquí lo paso para acá.
Entonces nos quedaría un siete punto setenta y cinco menos un cuatro punto
seis igual a un tres punto cinco k menos tres punto treinta y dos k.
De aquí entonces vamos a hacer la resta, traemos aquí nuestra calculadora para no
invertirle más tiempo y entonces tendríamos un siete punto setenta y cinco
menos cuatro punto seis, tenemos igual a tres punto quince de este lado.
Después de este otro lado, tendríamos que quitarle a tres punto cinco, le quitamos
a un tres punto uno cinco, el tres punto treinta y dos nos queda un punto
dieciocho. Este punto dieciocho está por la letra k
y finalmente al despejar nos queda que la letra k es igual a tres punto quince
entre punto dieciocho. Entonces si usamos esta calculadora,
vamos a poner aquí los valores, you los tengo aquí tecleados.
Tenemos el siete punto setenta y cinco menos el cuatro punto seis dividido entre
el tres punto cinco menos tres punto treinta y dos.
En este caso, tendríamos aquí un tres punto treinta y dos, me había equivocado
en el tecleo, esto siempre..., uno tiene que tener mucho cuidado.
En el igual, obtenemos diecisiete punto cinco, seguramente es una cantidad, un
decimal exacto, una fracción expansión decimal finita.
Corresponde con un número racional, ese valor diecisiete punto cinco vamos a
regresarnos acá a escribirlo. Al haber hecho aquí las operaciones,
tendríamos aquí entonces este diecisiete punto cinco y las unidades de este
diecisiete punto cinco ¿qué serían? Kilómetros.
Entonces regresando a nuestra situación, que tenemos justo arriba, podemos decir
entonces que ese lugar donde teníamos esa pregunta, este lugar es diecisiete punto
cinco. O sea, estamos seguros ahora de que
nuestra respuesta puede ser dada a la situación ¿cuál me conviene tomar?
Si voy a ir a una distancia anterior a los diecisiete punto cinco kilómetros me
conviene el taxi económico o sea, el rojo.
Y si voy a ir a una distancia mayor de diecisiete punto cinco kilómetros me va a
convenir tomar el taxi verde, o sea, el ecológico.
Con esta situación entonces, abordamos una nueva situación donde cambiamos un
poco el contexto pero usamos otra vez nuestra igualación en el sistema de
ecuaciones lineales y fuimos capaces también de evocar en el gráfico la
situación, de tal manera que nuestro razonamiento estuvo muy apoyado en lo que
vimos ahí en el gráfico. Esta visualización de la rectas que se
intersectan, fue digamos el punto clave para llegar después a poder parafrasear,
lo que sería la respuesta a esta pregunta tan abierta de ¿cuál taxi me conviene
tomar?
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