Após esse vídeo, você será capaz de explicar o que é a controlabilidade.

Primeiro, é preciso deixar claro que a controlabilidade não é uma característica

do sistema propriamente dito,

mas de uma representação ou realização do sistema no espaço de estados.

Mesmo sistema ou uma mesma dinâmica ou uma mesma função de transferência pode ter uma

representação controlável e outra não controlável.

Falar sobre a controlabilidade do sistema ou que sistema é controlável é

abuso de linguagem.

Vamos ver então a definição de controlabilidade de sistema, ou melhor,

a definição de controlabilidade de uma realização.

Uma realização de sistema no espaço de estados ou mais especificamente

o par A B é dito de estado controlável se para qualquer estado inicial X0,

qualquer tempo TF maior que T0 e qualquer estado final XF,

existe uma entrada U de T, tal que o estado seja levado de X0 a XF TF,

caso contrário a realização é de estado não controlável.

Outras palavras, se uma representação é controlável então, tese,

é possível elevar o estado do sistema de qualquer estado inicial para qualquer

estado final tempo finito através de sua entrada, se isso não for

possível a representação não é controlável.

Lembrando que, apesar da característica de controlabilidade se referir

a representação ou a realização, por abuso de linguagem,

acabamos nos referindo a controlabilidade do sistema.

Mas tenha mente que estamos falando sempre de uma representação específica e

não do sistema.

Note que a definição de controlabilidade não está relacionada com a existência ou

não da solução do problema geral de alocação de

polos determinante de (sI menos A mais B K) igual a P D de S.

A controlabilidade está relacionada com a possibilidade de levarmos o estado do

sistema de ponto qualquer a outro ponto qualquer.

Mas o que isso tem haver com a alocabilidade dos auto valores ou,

também com abuso de linguagem, com a alocabilidade dos polos?

A condição necessária e suficiente para que sistema seja controlável é exatamente

a mesma condição necessária e suficiente para que os polos sejam alocáveis.

Por isso, e como controlabilidade e sistema controlável

soam bem melhores do que alocabilidade e sistema alocável,

usamos os termos controlabilidade e sistema controlável.

Ou seja, para que sistema SISO seja controlável é preciso que o determinante

da matriz de Jacksíbius P C igual a B AB A ao quadrado B até A a N menos B, que

de agora diante chamaremos de matriz de controlabilidade, seja diferente de zero.

E se o determinante de PC é diferente de zero podemos alocar os auto valores do

sistema arbitrariamente.

Então, se sistema é controlável, podemos alocar os polos arbitrariamente,

mas uma observação a rigor, conforme você vê uma definição

dada pelo professor Jentoft o nome completo é de estado controlável.

Mas como já somos bons amigos, nós chamamos apenas de controlável,

ambiente mais formal, pode ser necessário usar o nome completo.

E agora podemos também passar a chamar a forma de Jacksíbius de

forma canônica controlável,

representação canônica controlável ou realização canônica controlável.

Então, se sistema SISO está na forma canônica controlável o determinante da

matriz de controlabilidade será diferente de zero e podemos alocar os polos

arbitrariamente.

Se ele não estiver na forma canônica controlável, construímos a matriz de

controlabilidade e se o determinante dessa matriz for diferente de zero,

o sistema será controlável e também poderemos alocar os polos arbitrariamente.

Mas, se o determinante da matriz de controlabilidade for zero,

não poderemos alocar os polos arbitrariamente.

Mas uma vez, só para fixar, forma canônica controlável: vetor coluna de zeros,

submatriz identidade, e coeficientes com sinal trocado e na ordem inversa,

vetor de zeros com último elemento igual a coeficientes com o mesmo sinal e na

ordem trocada.

Uma observação, você pode encontrar a forma canônica controlável com as

variáveis de estado com a ordem invertida, isso é, ao invés de X2 ser a derivada de

X1, X3 a derivada de X2 e assim por diante até que X N seja a derivada de X N

menos você terá Z N menos como a derivada de Z N, Z N menos dois como

a derivada de Z N menos e assim por diante, até que Z1 seja a derivada de Z2.

Nessa forma canônica controlável alternativa os coeficientes do polinômio

característico aparecerão na primeira linha da matriz sistema,

com o sinal trocado, a esquerda teremos uma submatriz identidade e a direita uma

coluna de zeros.

O primeiro elemento da matriz B será enquanto os demais serão zero e os

coeficientes do numerador da função de transferência ou os

coeficientes da entrada e de suas derivadas aparecerão na matriz C,

na mesma ordem que aparecerem na função de transferência.

Para quem vai trabalhar só na ponta do iceberg,

essa forma alternativa pode ser mais interessante.

Mas para algumas coisas abaixo da superfície é melhor trabalhar com a forma

canônica controlável com os coeficientes do polinômio característico na última

linha da matriz de sistema.

Como eu acho melhor já estar preparado para mergulhar, achei melhor mostrar para

você essa forma mesmo que, por enquanto, isso não faça muita diferença.

E você pode passar de uma forma para outra usando uma matriz de transformação

P com uns na diagonal secundária, mas não precisa se preocupar com isso.

Eu mostrei a forma canônica controlável alternativa apenas por que pode ser que

você encontre ela por aí.

Agora você já é capaz de explicar o que é a controlabilidade e pode parar de

chamar a forma canônica controlável de forma de Jacksíbius.

Qualquer que não tenha feito este curso vai ter achar maluco se você chamar

a forma canônica controlável de forma de Jacksíbius.

Opa, acho que deveria ter avisado isso antes, não é?

Não fique falando da forma de Jackman e da forma de Jack Snow por aí não, tá.

E no próximo vídeo, veremos exemplo de circuito que será

ou não controlável dependendo dos valores de seus componentes.

Controlabilidade

Introdução ao Controle Moderno

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