载流长直螺线管内的磁场 载流长直螺线管内的磁场,我们也要分析它的对称性,
那么对于这样一个长直螺线管, 长直螺线管,那么我去取一个对称面,就是π,
那么应该说两边的载流线圈,
如果我忽略了螺距,忽略了螺距,也就相当于忽略了
物径,那么我们说呢实际上呢,它也是对于这个对称面是对称的。
那么因此每一对,这个线圈,
在这个对称面上产生磁场都是垂直于这个面。
所以不管它是在里边,就是在螺线管 的内部还是在外部。原则上讲它产生的磁场
都是垂直于这个对称面的。那么由此可以判断 这个长直螺线管它产生磁场是沿着轴向,
那么因此我们说 对于这样的一个问题。那么我们可以去讨论
它不管是里面外面,它的磁场都是垂直于这个镜面,
也就是沿着轴向。那么根据这个我们再进一步来探讨管外
磁场是多少?那么我们说管外,我们要论管外磁场其实是0。
这是在这个条件下。也就说管外这些有磁场它也是沿着轴向的。
那么我们呢可以去作个回路。在
管外,这个管外任意一点P点。我沿着这个
P点去作回路。那么作回路的时候我让这条线呢很短,
作一个矩形的回路。然后让这个矩形的这一边呢,可以外推到无穷远。
去做这样一个闭口回路,那么沿着这样一个闭口回路,
我积分,假如是有b的话, 那么b呢一定是沿着这个方向。所以这两个路径,
积分呢是0 。对吧?而这个推到无穷远
这个螺线管虽然很长,但是对无穷远来讲,它还是有限的。
所以我经常问同学,我说无穷远有多远? 这个事情,就说实际的问题,
这个螺线管的无限长,只是它的长度相对于线度来讲,
如果L>>R, 那么我们就可以认为这个螺线管是长直螺线管,
那么尤其是在它的中段就没有问题了。但是不管怎么样这个L是有限长的。
对于无穷来讲它还是有限的。
所以有的同学经常问我,你是无限长的螺线管,
你推到了无穷,那么这螺线管两边不也是到无穷了吗? 对吧?原则上讲无穷是一点嘛,
所以说这个就不好办了。对吧?所以说实际上我们这里的物理上面讲到的无穷的有时候是
你可以注意到它是有层次的。那么对于像这样的问题,
那么长直螺线管,它的长度对于这个无穷来讲还是有限的。
这是相对这些级别不一样。所以我们说它是到无穷远,这个
螺线管无穷远处的影响,应该它产生的磁场是0 。所以
这段积分也是0 。那么于是我们沿着这个闭合回路
积分呢,应该说就剩下这一段。假如再有闭话, 这个宽度如果是△L,那么就b△L,
而里面有没有包围电流呢? 没有。所以因此我们说这个是b
p点附近的△L就等于0, 因为你闭合回路四个边,
只有它有,这两个垂直没有。这个是本身就是0,那么于是我们就可以得到
管外的磁场应该是0。
那么这样就证明了,管外
我作这样一个回路,这点的磁感应强度是0。
那么用同样的办法,我们还可以求管内 任意一点,你注意到我们在原来求ii远里,
去求磁感应长度的时候,螺线管我们求得是轴线上一点的。是吧?现在
我们做这个安培环路定理来算这个磁场,
可以把这一点取在管内任意一点,任何一个地方。比如取在这个地方。
或者取在这样地方都可以。当然取在轴线上也是一样。
那么我过这一点也作这样的环路,
那么当然这些闭合回路里边就保包围了电流了。
因此我们可以看,这个B点dl, 应该等于μ0Σ,
这个面积内所包围的电流。这电流是多少呢? 假如它是单位长度的扎数是n,
每一扎通过电流是I,而这个长度呢叫a,
如果说,那么它包围的电流就应该是nIa。
对吧?那么再看这一积分,
这一积分,这两段也是0,那也是无穷,只有它,
对吧?因此是这边就是B
乘上a,所以说这三个都是0,那么这个是B乘上啊a,所以B乘上a,
等于nIa,那么于是呢我们等于μ0 乘上nIa,那么于是B就等μ0nIa。
这个结果和我们前面求有线
长螺线管轴线上一点的磁感应强度,然后把它推广到无穷远,
轴线上的磁感应强度是不也是这个。那么因此说明
轴线上的磁场和它是一样。所以呢你实际上呢也可以这样证明。
你在螺线管里,比如我们知道无限长螺线管轴线上的磁场
我在这里取一点P,那么我作这样的环路, 作这样的环路,
我们同样可以证明Bp等于B轴。
对吧?如果我知道轴线上的磁感应强度,那么
说明P点的长呢跟它是一样的。也可以用安培环路定律来作。为什么呢?
前提是我们利用闭是轴矢量的特点,已经证明了它所有的磁场都是
沿着这个方向的。我才可以作这样的回路,我才可以作
这样的回路。对不对?如果没有这一前提, 就不能这么作闭合回路,对吧?我作跟高斯定理
求场强一样。我必须作的回路是符合场的对称性。
这一点大家要明白,就说:“老师你为什么这么画啊?为什么 要取这样的?为什么不取这样的一个闭合回路啊?”
这样的闭合回路没有用,对不对?所以说实际上利用安培环路定理求磁感应强度
跟利用高斯定理求电场强度道理是一样的。
都要根据场的对称性。我作的环路也要符合场的对称性。
所以我们说闭是轴矢量,根据闭是轴矢量有一个 推论就是对称源在那个
对称的电流源在静向对称平面上,产生的场强是垂直于平面的。
这点是很重要的。那么这个问题里其实还有伏笔,
就说忽略螺距,一是说 我的电流呢每一圈都是闭合的。
我是n多个闭合线圈合在一起。
那自然要问了:“我的电流怎么从这头走到这头。” 对吧?没有步径的电流怎么走的?对吧?
这个问题咱们留着。你们也想想。那他为什么要加这个条件?
这个条件当然很重要,无限长,对吧?那么为什么要
忽略螺距,忽略螺距的结果是什么?那么实际又不能忽略,
实际情况又是什么?这些问题咱们就作为 一个疑问,留在脑子里,下课以后自己都去想想。