Аукцион первой цены.

[БЕЗ СЛОВ] В

отличие от предыдущего случая,

анализ аукциона первой цены представляет некоторую техническую сложность.

Поэтому мы проведём его в самом простом случае, который только можно представить,

а именно: два покупателя; ценности

равномерно распределены на отрезке [0, 1].

Попробуем найти симметричное равновесие,

то есть такой способ поведения b(v),

такую функцию,

функцию превращения ценностей заявки,

которая является оптимальным ответом на себя саму.

И будем искать эту функцию в классе монотонных.

Ну я бы мог доказать,

что в равновесии такая функция обязана стартовать из 0,

то есть при нулевой ставке записывать в конверт 0.

Мог бы это строго доказать, но я лучше просто сразу это предположу,

это на самом деле совершено очевидно любому, любому содержательному экономисту.

Когда я эти лекции читаю математикам, то я доказываю это строгим образом,

а когда я начинаю читать экономистам, у них округляются глаза, и говорят: «а зачем

вы доказываете то, что и так ясно: если у вас оценка 0, то вы и пишете 0».

Вот. Ну это, так сказать...

Давайте, в данном случае мы с вами действительно не будем,

не будем заниматься доказательством этого факта, сразу предположим: мы ищем,

ищем равновесное поведение в аукционе первой цены

среди возрастающих дифференцируемых функций, стартующих из 0.

Хорошо.

Теперь давайте выпишем функцию выигрыша

у некоторого покупателя,

первого или второго (ну для определённости — первого),

который получил сигнал v и размышляет над тем, что бы записать ему в конверт.

Что бы ему такое записать в конверт.

Ну смотрите, если он записывает в конверт число b,

то его выигрыш в случае победы составит вот эту величину — (v − b).

Это его истинная ценность владения предметом, истинная — значит,

выигрыш от того, что он получит предмет, это — то, что он заплатит.

Значит, разницу он получит.

Но это произойдёт только, если он выиграет.

А выиграет он с некоторой вероятностью.

И вероятность эта, она зависит от b.

Ну понятно, зависит, да,

потому что при маленьких значениях b он будет редко выигрывать этот аукцион.

Чаще будет выигрывать второй.

Он не знает, он знает свою v, но он не знает реализацию v2.

Поэтому, если написать мало в конверт, то в редких случаях получится,

что он выиграет, он выиграет очень много, но редко.

Наоборот, если записать значения, близкие к v, то эта вероятность, она будет,

соответственно, повышаться у него, она будет повышаться вплоть до значения P<b>.

Но при этом содержание скобки будет уменьшаться до 0.

Поэтому здесь вот такая у него, такая,

значит, получается загогулина,

стартующая из 0 и заканчивающаяся в 0 при b = v.

При b = 0 это 0, потому что он просто никогда не выиграет аукцион,

при b = v это 0, потому что то, что стоит в скобке, даёт 0.

Ну и где-то здесь есть вот этот вот максимум.

Ну вот давайте попробуем найти этот максимум с помощью дифференцирования этого

выражения.

Чтобы его дифференцировать, мне нужно понять, что такое P<b>.

Что же такое P<b>?

Это вероятность выиграть со ставкой b, да?

Но мы предположили, что наш оппонент использует вот эту искомую функцию,

нам пока не известную, но мы предположили, что мы ищем симметричное равновесие.

То есть такой способ поведения, что в ответ на него оптимальным будет он же сам.

Хорошо.

Значит, вот этот вот поиск среди функций вот таких.

И мы хотим узнать, какая вероятность события вот такого.

Вероятность, что b(v2) окажется меньше или равно,

чем написанное мною в конверте b.

b, и вот b(v2).

Ну понятно, что это то же самое,

в силу предположения о монотонности стратегии ответа,

что v2 ≤ b вот b в −1 от b.

Плохо звучит «b в −1 от b», поэтому давайте я b с чертой,

назову «b с чертой» ту ставочку, которую он размышляет сделать.

То есть если он делает ставку b с чертой, если он делает такую ставку,

то вероятность того, что он победит,

это вероятность события, что ставка второго меньше, чем b с чертой.

Но это то же самое, что оценка второго меньше, чем b в −1(b с чертой),

где b — искомая функция.

А вот это уже понятно, что такое.

Это в точности b в −1(b с чертой), потому что это равномерное распределение,

это вероятность того, что некоторая наугад взятая точка из отрезка [0,

1] окажется меньше, чем фиксированное значение.

Понятно, что она равна в точности этому фиксированному значению.

Поэтому мы можем переписать это в виде: (v −

b с чертой) * b в −1(b с чертой).

[БЕЗ СЛОВ] Итак,

если я называю b с чертой и верю в то,

что мой оппонент с неизвестным мне значением v2 использует

стратегию поведения b, то я выигрываю вот с такой вероятностью вот такую величину,

то есть я вот эту вот величину должен максимизировать по b с чертой.

Я должен решить задачу Argmax по b с чертой

из отрезка [0, 1].

{ (v −

b с чертой) * b в −1(b с чертой)} Должен эту задачу решить,

это параметрическая задача: при различных v это разные задачи.

Должен решить при любом v,

то есть для любого v из отрезка [0,

1} надо найти вот этот Argmax.

Таким образом, я сконструирую функцию.

При любом v я найду значение b с чертой.

Вот эта вот найденная b с чертой как функция от v окажется функцией,

которая является оптимальным ответом на вот эту.

После чего я напишу условие, что эта функция в точности совпадает с функцией b.

Это мы сделаем в следующем сюжете.

Аукцион первой цены

Теория игр

Meet the Instructors