Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Движения плоскости
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
15 ratings
From the lesson
Движения сферы и плоскости
Meet the Instructors
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Итак,
мы уже знаем всё про ситуацию,
когда есть одна неподвижная точка, если есть хотя бы одна неподвижная точка,
то у нас либо речь идёт об отражении относительно прямой,
либо о повороте вокруг этой точки.
Поэтому вопрос возникает такой.
И, кстати, теорема о трёх гвоздях.
Как доказывается теорема о трёх гвоздях?
Если уж мы с самого начала будем идти этой дорогой,
то первым делом надо доказать теорему о трёх гвоздях.
Она доказывается так,
и вообще формулируется она так: если три точки в вершинах какого-то треугольника,
то есть не лежащие на одной прямой, сохранили своё положение, то вся плоскость
полностью осталась на месте, то есть это Id, лемма о трёх гвоздях.
Доказательство: значит, тоже нужно доказывать через вспомогательную лемму,
что если две точки сохранили положение, то вся прямая тоже сохранила.
Здесь это совсем-совсем становится очевидным, потому что если ещё на сфере
окружности надо себе как-то представлять, то на плоскости их можно просто нарисовать
и увидеть, что любая точка должна остаться на вот такой окружности и на такой,
а у них, очевидно, только одна точка, точка касания эта.
Ну и опять, кто хочет, может в формулах это написать уже в двух координатах,
это будет проще.
Хорошо, значит, это мы знаем.
Теперь предположим, что есть ещё одна точка, которая осталась на месте,
тогда осталась на месте вот эта прямая целиком, вот эта прямая, вот эта, вот эта,
вот эта и так далее, и мы можем провести все эти прямые, они все остались на месте.
Единственное, что не очень понятно,
это остались ли на месте точки вот этой вот прямой, которая параллельна исходной.
Про неё можно, конечно, тоже либо по непрерывности установить,
что все точки остались на месте,
либо рассмотрим любую точку на этой прямой и просто какие-то две другие точки.
Вот эти две другие точки, не лежащие на этой прямой, они остались на месте,
а значит, прямая, проходящая через них, осталась на месте.
Если две другие точки взять так, чтобы прямая, проходящая через них,
прошла через нашу рассматриваемую точку,
то тем самым и наша рассматриваемая точка осталась на месте.
Такое геометрическое очень простое доказательство
леммы о трёх гвоздях для плоскости.
Дальше из этого сразу выводится, что если нет трёх точек,
но есть две какие-то различные точки, остающиеся на месте,
то это отражение относительно соответствующей прямой,
потому что любая точка обязана в точности перепрыгнуть через эту прямую.
Никакая не осталась на месте, значит, каждая перепрыгнула.
Тоже из окружности, которую мы рисуем здесь, можно сделать этот вывод.
Ну и потом, значит, с одной точкой мы вообще уже всё знаем, что это поворот,
потому что мы изучали движение окружности.
И остаётся случай без неподвижных точек.
Если движение не имеет ни одной неподвижной точки,
тогда оно какую-то точку A перевело в A'.
Мы соединяем их отрезком, проводим серединный перпендикуляр,
называем l и делаем композицию движения g и отражения относительно l.
Эта композиция сохраняет на месте точку A,
значит наша композиция обязательно равна либо Id,
либо S относительно некоторой прямой m,
либо повороту R относительно какой-то
точки O на какой-то угол φ.
И он же — это композиция двух каких-то отражений,
двух отражений относительно прямых, проходящих через O.
Здесь уже нельзя утверждать,
что любые два отражения при композиции дают обязательно поворот,
потому что отражения могут быть относительно двух параллельных прямых.
Утверждение, что для такого случая отражения,
если взять композицию в любом порядке,
дадут параллельный перенос на вектор, который я сейчас нарисую.
Так, мы начинали с m2.
На двойной вектор...
Мы можем провести вектор перпендикулярно этим двум прямым, теперь его надо удвоить.
И от той прямой, с которой в начале мы работали,
отражали, к той, которая в конце, то есть вот этот вектор V.
Композиция двух осевых симметрий относительно
параллельных прямых даёт перенос.
На сфере этого случая не было, все прямые пересекались,
любые пары прямых пересекались, поэтому этого случая не было, а здесь будет.
Соответственно, появляется новое движение — перенос.
На сфере никаких переносов нет, а на плоскости, понятно, есть.
Значит, мы уже знаем на плоскости переносы,
повороты и отражения, но если неподвижных точек нет,
то у нас появляются кроме переносов ещё
некоторые специальные преобразования, которые называются скользящей симметрией.
Действительно, из вот этого вот можно, умножая на Sl слева, получить,
что g должно быть равно либо Sl, либо комбинации Sm и Sl,
либо комбинации трёх различных отражений.
Вот этого быть не может, потому что у отражения есть неподвижные точки.
Это для плоскости может произойти.
Произойдёт это в том случае, если прямые m и l параллельны,
тогда, как мы уже здесь вот установили, будет параллельный перенос,
то есть в этом случае будет параллельный перенос,
это действительно преобразование без неподвижных точек.
Упражнение: доказать,
что три преобразования-отражения относительно трёх
прямых либо даёт одно из описанных ранее преобразований,
либо то, что называется скользящей симметрией.
То есть выделяется некоторая ось, отражается от неё и потом
сдвигается на вектор, параллельный ей.
И здесь опять не важен порядок, то есть мы можем вначале отразить, а потом сдвинуть,
или вначале сдвинуть, а потом отразить.
Если вектор был параллелен этой прямой,
то порядок не является существенным, если бы он был непараллелен,
то порядок будет существенным, но вот можно доказать, что...
Можно заменить на некоторую новую совершенно прямую, не эту,
не эту и не эту, а новую, такую, что вот это преобразование будет в точности
совподать вот с таким вот сдвигом и отражением.
И это и есть то самое четвёртое, последнее,
недостающее движение плоскости, которое мы ещё не знали.
Итак, все движения плоскости — это переносы, отражения,
повороты и скользящие симметрии.
Отражение обычное — это тоже частный случай скользящей симметрии,
когда перенос происходит на вектор, равный нулю.
Поэтому можно сказать так: скользящие симметрии, переносы и повороты.
Три вида движений, но вот в отличие от сферы, где их было всего два.
Поэтому таблица композиций на плоскости выглядит ещё
более сложно, и всем желающим предлагаю её выписать целиком.
Это прекрасное упражнение, кто хочет действительно разобраться в геометрии,
обязательно его сделайте.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
