[БЕЗ_ЗВУКА] Высшие гомотопические группы.

πn(X).

Значит, берем сферу,

ну например, S² и делаем следующее.

Сферу с отмеченной точкой, тоже там какая-то точка O.

Рассматриваем множество всех таких вот сфероидов,

то есть отображений сферы в X.

Множество всех различных отображений опять с точностью до

гомотопической эквивалентности.

Что это означает в данном случае?

Нужно представить себе как бы сферу, помноженную на отрезок.

Это такой странный цилиндр в четырехмерном пространстве, который, конечно,

сложно представить в наших условиях, но формально всё написать можно то же самое:

два сфероида здесь эквивалентны, если их можно непрерывно друг к другу перетянуть.

Хорошо.

А как умножать в этом случае классы друг на друга?

В этом случае тоже классы эквивалентных отображений сферы в X можно перемножать.

Вопрос: как?

Ответ такой: надо представить, что сфера — это такой как

бы заметанный окружностями объект, то есть каждая

окружность с отмеченной точкой вот так вот начинает вырастать из нее, растет, растет,

растет, доходит до диаметра, сокращается, и вот так заметает нашу сферу.

То есть плоскость, можно сказать, такая плоскость была, касалась в отмеченной

точке нашей сферы, мы стали ее вот так вести, поворачивать, поворачивать,

поворачивать, и вот повернули целиком до конца и получили вот такой вот букетик.

Теперь, значит, самую большую сферу-экватор мы зафиксируем и запомним,

и два отображения умножать будем так: ускоренно будем

проходить вот этот поворот плоскости как бы.

То есть тоже в два раза.

Если есть два отображения f₁ и f₂, то мы делаем следующее.

Вот пока мы шли до середины вот этой вот сферы,

которую мы отображаем, мы уже прошли целиком f₁ весь,

то есть мы ускорились в два раза, и каждый раз образ вот этой точки будет та точка,

которая была на пересечении с плоскостью, удвоенной,

так сказать, по сравнению с этим положением удвоенным углу.

И тогда, когда я дойду до диаметра,

на самом деле как бы удвоенная уже схлопнет всё в точке O с чертой.

Поэтому весь вот этот диаметр весь уйдет в точку.

Как бы можно представить себе, как сфера, мы ее как воздушный шарик сжимаем,

можем сжать, и получится две сосиски, висящие слева и справа.

Вот левая сосиска будет как f₁ отображаться, а правая сосиска как f₂.

Значит, что здесь замечательно?

Все дальнейшие конструкции полностью переписываются,

получается группа π₂(X), но что здесь замечательно?

Замечательно то, что эта группа всегда коммутативна, в отличие от случая π₁.

То есть вот удивительный эффект связан с тем,

что только фундаментальная группа может быть некоммутативной.

Все остальные уже по своему построению коммутативны.

Почему?

Смотрите, почему.

Я могу взять сферу вот за эту точку и вот так повращать на 180 градусов.

И каждое положение поворота, потом сделать композицию.

Вот это положение поворота сделать, а потом посмотреть,

как произошло отображение.

То есть поворот и вот это вот отображение.

Вот я взял поворот на нулевой угол, и у меня получилась композиция f₁ ○ f₂.

На маленький угол — получилось уже непонятно что,

никакая не композиция, просто как-то перемешаны эти отображения оказались.

На большой, больше, больше, больше...

А на 180 градусов у меня получилась в точности композиция f₂ ○ f₁,

потому что в этом случае сфера поменяла полностью вот эти стороны местами.

Я держусь за вот эту точку и вот так вот поворачиваю ее, и когда я прошел путь в

180 градусов этот вот целиком, то у меня получилось уже f₂ ○ f₁,

поэтому у меня получается, что эти два отображения гомотопны.

Ну в случае с окружностью я сделать это не мог, я не мог с нее съехать никуда,

окружность, она одномерная, и ее некуда вращать.

Уже S² можно вращать, и все остальные тоже.

πn(X) по той же самой причине тоже коммутативна при

n ≥ 2, то есть получается, что информация,

которая считывается группой, когда мы берем окружность, у нас информация

довольно такая считывается тонкая, потому что эта группа некоммутативна,

может очень сложно быть устроена и дает нам серьезный инвариант множества X.

А высшие группы коммутативны.

Они тоже дают какие-то инварианты, но как бы коммутативных групп мало,

они просто устроены, поэтому это не столь серьезный инвариант, грубо говоря.

Ну вот.

Вот у нас получается, что я по X могу выписать вот такой набор групп.

Если у Y другой набор групп, то всё, я говорю, что X и Y неизоморфны.

Но здесь надо сделать одну маленькую поправочку,

что на самом деле таким образом устанавливается

нечто более сильное, чем неизоморфность.

То есть с помощью этих групп устанавливается более сильный фактор.

А именно, если эти группы разные, то пространства не только неизоморфны,

но и, как говорят, не гомотопически эквивалентны.

Что значит гомотопически эквивалентны?

Это могут быть пространства даже разных размерностей, которые снабжены двумя

отображениями друг в друга со свойством,

что g ○ f гомотопна (так, это из Y в Y получится),

гомотопна тождественному отображению на Y, а f ○ g...

Так, нет, секундочка.

Наоборот, X, конечно же.

Здесь X.

А f ○ g гомотопна тождественному отображению на Y.

То есть что такое g ○ f?

Это я пошел вначале сюда, потом вернулся сюда.

Значит, это какое-то отображение X.

Так вот, оно должно быть гомотопным просто тождественному отображению,

которое, естественно, непрерывно, и его можно тоже рассматривать.

Класс тождественного отображения можно рассматривать.

А f ○ g гомотопно тождественному Y.

Вот такие два множества называются гомотопически эквивалентными,

и они могут даже разных размерностей быть.

То есть очень часто бывает, что они неизоморфны,

но гомотопически эквивалентны.

У таких множеств, что очень легко показать,

вот этот набор групп будет одинаковый.

Поэтому это такой как бы инвариант, вот эти гомотопические

группы — это такой инвариант, на самом деле, достаточно грубый.

Он различает не только неизоморфные, он различает не гомотопически эквивалентные.

Но уж если у вас есть два множества, у которых эти наборы разные

хотя бы в одном месте, то всё, вы говорите о том, что они неизоморфны точно.

Потому что они даже не гомотопически эквивалентны.

Упражнение это понять, ну это просто совсем очевидно, ну, собственно,

что изоморфизм — это гомотопическая эквивалентность,

ясно просто потому что f ○ g в этом случае равно IdX, а g ○ f = IdY.

То есть мы заменяем равенство на гомотопическую эквивалентность и тем самым

разрешаем, так сказать, более общее сравнение X и Y.

Теперь еще одна интересная деталь,

связанная с этими группами.

До сих пор до конца не ясно, чему равно πn(Sk).

То есть, иными словами, не при всех n и k понятно,

как устроена гомотопическая группа всех

отображений одной сферы с отмеченной точкой в другую сферу, Sn в Sk.

То есть мы имеем две сферы разных размерностей,

и мы рассматриваем множество всех

классов гомотопных отображений одной сферы в другую.

Ну как бы первое, что мы хотим померить таким образом& у нас есть некоторый

инструмент, что мы будем мерить?

Ну давайте померим сферы.

Давайте посмотрим на их списки.

Ну и вот до сих пор неизвестно, более того, здесь интересно, что если n < k,

то есть, например, если мы рисуем на сфере окружность,

то это всегда один класс будет, то есть это тривиальная группа.

Только одним способом с точностью до гомотопности можно нарисовать

окружность на сфере.

Можно нарисовать окружность в трехмерной сфере,

можно нарисовать двумерную сферу на трехмерной, это всё будет один класс.

Вообще думали, что старшие группы...

Вначале, когда эту теорию создавали сто лет назад,

думали, что, скажем, как-то нетривиально вложить S³.

Не вложить, а как-то нетривиально отобразить S³ на S² так,

что это будет негомотопно, а просто тождественным отображением, нельзя.

Но потом, собственно говоря,

усилиями Хопфа было построено расслоение Хопфа, которое мы с вами рассмотрели,

и класс вот этого расслоения Хопфа оказывается нетривиальным.

То есть это пример не от гомотопически эквивалентного тождественному отображения

S³ в S².

И стало ясно, что всё очень сложно, и насколько сложно,

до сих пор непонятно это до конца.

Но по крайней мере уж хотя бы как-то различить эти множества нам бы хотелось.

Поэтому хотя бы вот про это хотелось бы что-то узнать,

ну хотя бы самую минимальную информацию: верно ли, что множество

классов отображений сферы в саму себя нетривиально.

А что значит нетривиально?

Мы можем же угадать сразу какие-то два конкретных отображения: одно,

которое всю сферу схлопывает в одну точку, а другое — это тождественное.

Вот они гомотопны друг другу или нет?

Или они лежат в разных классах, но если они лежат в разных, это хотя бы оставит

нам какую-то веру в то, что это правильный способ различать множества,

иначе что тут можно различить, если у нас гомотопно тождественное отображение,

которое всю сферу переводит в сферу поточечно, с тривиальным,

которое просто всю сферу схлопывает в одну точку?

Вот к этому сейчас мы и перейдем.

Высшие гомотопические группы

Геометрия и группы

Meet the Instructors