Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Derivadas de funciones polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
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From the course by Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
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Derivación
La tasa de variación de una función, derivada de una función en un punto, interpretación geométrica, función derivada, cálculo de derivadas, máximos y mínimos de una función, aplicaciones.
Meet the Instructors
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este tercer vídeo dedicado al cálculo de derivadas, vamos a estudiar la
función derivada de las funciones elementales
que hemos introducido en las semanas precedentes.
Concretamente, estudiaremos la función derivada
de las funciones polinomiales, funciones exponenciales.
funciones logarítmicas y funciones trigonométricas.
Junto con las reglas de derivación introducida en los
otros dos vídeos anteriores, habremos completado las técnicas para
hallar la función derivada de casi todas las funciones
que pueden expresarse como combinación de estas funciones elementales.
Vamos pues a empezar.
Vamos a empezar con las funciones polinomiales.
Recordemos que una función polinomial, no es más que la suma de una
serie de potencias. multiplicadas por constantes.
Por tanto, aplicando las reglas anteriores sobre la derivada
de una potencia y la derivada de una constante de
una función, fácilmente puede deducirse que la derivada de una
función polinomial, es la que vemos aquí a mano derecha.
Es más fácil ver algunos ejemplos.
El primer ejemplo es, por ejemplo la función x
cuadrada, de la cual podemos ver aquí su representación gráfica.
Su función derivada que
you conocemos, es la función dos x, que es
una recta como la que está representada en el dibujo.
Para casos mas generales podríamos por ejemplo, considerar la función f de x
igual a tres x menos uno, que es una función polinomial de primer grado.
Su función derivada sería simplemente la función tres que es una función constante.
Para funciones polinomiales de grados superior
a dos y tres, aplicaríamos esta regla.
La derivada de esta función sería, aplicando
la regla, quince por x a la cuarta.
menos ocho por x al cubo, más tres x cuadrado menos uno.
Puesto que la derivada del término independiente que es dos, es cero.
Por tanto las funciones polinomiales se
pueden derivar utilizando simplemente las reglas elementales
que hemos visto antes de la suma y una constante por una función.
La regla para la función exponencial es muy simple.
Si la función es la función exponencial elevado
a x, entonces su derivada simplemente es ella misma.
Si representamos gráficamente esta función, podemos ver que, como hemos visto
en semanas precedentes, tiene la forma que aparece en la figura.
Pues bien, su derivada es ella misma y por tanto
la función derivada es la que está representada en color verde.
Veamos algún
ejemplo más en el cual intervienen otro tipo de funciones.
La primera de ellas es una función exponencial de base
el número e, pero que el exponente es una función cuadrática.
La derivada simplemente se podría obtener con la regla de la cadena, es decir
la derivada sería, la derivada del exponente
dos x, por la derivada de la base.
Por tanto la derivada de la base puesto que es
una exponencial, sería ella misma.
¿Qué pasa cuando la base no es el número e?
Por ejemplo, ¿qué pasa si por ejemplo tenemos la función f
de x igual a diez elevado a dos x menos uno?
Bien, en este caso lo que podemos hacer es recordar una fórmula que habíamos
visto anteriormente, es decir que elevado al
logaritmo neperiano de diez es igual a diez.
Y esto nos permitirá escribir esta función de la siguiente manera.
La podemos escribir como e elevado a la ln, logaritmo neperiano
de diez multiplicado por el exponente que es dos x menos uno.
Por tanto podemos hallar su derivada simplemente aplicando
la regla anterior, y la regla de la cadena.
La derivada en este caso sería simplemente la derivada del
exponente, logaritmo neperiano de diez multiplicado
por dos, multiplicado por la derivada de la función exponencial que es ella
misma. Veamos otro tipo de funciones elementales.
Para poder derivar funciones logarítmicas, la regla también es muy simple.
Partimos de la función logaritmo neperiano de x cuya derivada simplemente
es uno partido por x.
Fijémonos que la derivada solo existe para valores mayores que cero,
puesto que el logaritmo solo existe para valores mayores que cero.
Si representamos gráficamente esta función, podemos ver que
la derivada como you hemos visto en semanas anteriores,
tiene esta forma, la función logaritmo tiene esta
forma, y su derivada por tanto tendrá esta forma.
Veamos algún ejemplo de cálculo.
En primer lugar la función logaritmo neperiano de x cuadrado menos uno.
Para derivar esta función, de nuevo aplicaremos la regla de la cadena.
Y por su tanto su derivada será la derivada del valor que
hay dentro del logaritmo, es decir dos x, multiplicado por la derivada
del logaritmo que sería uno partido por x cuadrado menos uno.
Veamos un ejemplo distinto, es decir, ¿qué pasa cuando la base
del logaritmo no es logaritmo neperiano? .
En este caso la solución también es muy sencilla.
Puesto qua you vimos en su momento que
podemos hacer un cambio de base y logaritmo en
base dos de x sería equivalente al logaritmo neperiano
de x partido por el logaritmo neperiano de dos.
Por tanto puesto que tenemos el cociente de dos logaritmos
neperianos, en el que el denominador es una constante, la derivada simplemente la
podemos escribir como la constante multiplicado por la derivada del
logaritmo que you sabemos que es uno partido por x.
Por tanto nos quedará simplemente uno partido por x, logaritmo neperiano de dos.
A continuación vamos a calcular
las derivadas de las funciones trigonométricas.
La primera de ellas es la función seno y su derivada es la función coseno.
Si representamos gráficamente estas dos funciones
podemos observar que la función seno tiene la forma que aparece en la figura, y
la función coseno es la misma función pero
desplazada exactamente pi medio radianes, o noventa grados.
Vamos a calcular la derivada de algunas funciones donde interviene el seno.
La primera de ellas es la función f de x igual a seno de dos x.
Si derivamos esta función, simplemente aplicando la
regla de la cadena sería dos multiplicado
por el coseno de dos x.
Veamos otro ejemplo en el cual aparece también la
función seno, pero en este caso elevado al cuadrado.
Si de nuevo aplicamos la regla de
la cadena, obtendríamos dos por la base elevado
menos que es seno de x, por la derivada del seno que es coseno de x.
Si recordamos las fórmulas que habíamos visto en la semana
de trigonometría, dos seno de x, coseno de x es
equivalente a seno de dos x. Por tanto podemos observar que la derivada
de la función seno cuadrado de x es exactamente la función seno de dos x.
¿Qué ocurre con la función coseno?
Pues bien, de la misma manera que con la derivada del seno es la función
coseno, en este caso la derivada del coseno
es la función seno pero cambiada de signo.
Esto puede verse simplemente con su representación gráfica.
Si esta es la gráfica de la función coseno, y esta es la gráfica de la
función menos seno, podemos ver que ambas tienen
la misma forma desplazada exactamente en noventa grados.
Como antes vamos a calcular la derivada de
alguna función en la que interviene el coseno.
La primera de ellas es la función f de x igual a coseno de x cuadrado más uno.
De nuevo podemos obtener la derivada aplicando la regla de la cadena,
es decir, primero derivaremos x cuadrado más uno, dos x, y después la derivada
del coseno que sería menos seno de x cuadrado más uno.
Reduciendo los paréntesis, obtendremos simplemente menos
dos x por el seno de x cuadrado más uno. Veamos otro
ejemplo. En este caso se trata de la función f de x
igual a raíz cuadrada de coseno de x. En primer lugar, vamos a expresar esto
como una potencia, es decir, coseno de x elevado a un medio.
Ahora podemos aplicar simplemente la regla que nos permite derivar una potencia.
Por tanto la derivada sería un medio por coseno de x elevado a la menos un
medio, multiplicado por la derivada del coseno que es menos seno de x.
De nuevo, reduciendo los paréntesis obtendríamos
el valor menos seno de x partido por dos raíz cuadrada de coseno de x.
Finalmente vamos a estudiar la derivada de la función tangente.
La derivada
de la función tangente es simplemente uno partido por coseno al cuadrado de x.
Si como antes hacemos la representación gráfica de
ambas funciones, podemos observar que la función tangente como
you sabemos tiene esta forma, y la función
uno partido por coseno cuadrado estaría, tendría esta forma.
Finalmente vamos también a hacer un par de ejercicios en
el cual, de derivadas, en el cual interviene las funciones tangente.
El primer caso sería la función
f de x igual a tangente de x cuadrado.
Aplicaríamos simplemente la derivada de la función compuesta, es decir la regla
de la cadena y obtendríamos simplemente dos x multiplicado por la derivada
de la tangente, que es uno partido por coseno cuadrado de x, que podemos
escribir como dos x partido por coseno cuadrado de x.
Vamos a
ver otro ejemplo.
Ahora se trataría de hallar la derivada de
la función logaritmo neperiano de tangente de x.
También en este caso tenemos una composición de dos
funciones y por tanto aplicaremos la regla de la cadena.
La derivada sería, la derivada de la tangente que es uno partido por coseno
cuadrado de x, multiplicado por la derivada del logaritmo que es uno partido
por tangente de x. Podemos intentar simplificar estas dos
expresiones, calculando el valor de la tangente
que you sabemos que es el seno partido por el coseno.
Y simplificando obtendremos simplemente uno partido
por seno de x, coseno de x. Resumiendo, en este vídeo
hemos repasado las derivadas de las funciones
que hemos estudiado en las semanas anteriores.
Concretamente hemos, estudiado la regla para
derivar funciones polinomiales, funciones exponenciales, funciones
logarítmicas y funciones trigonométricas, es decir,
el seno, el coseno y la tangente.
Y con esto hemos terminado las tres lecciones dedicadas al cálculo
de derivadas.
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