В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Матрица поворота. Поворот с пассивной и активной точек зрения
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
11 ratings
From the lesson
Способы задания ориентации тела
Meet the Instructors
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
На лекции вам уже показали, как получить матрицу поворота вокруг оси x.
Теперь мы с вами получим матрицу поворота вокруг оси z.
Что у нас есть?
У нас есть Оси x и y,
ось z перпендикулярна плоскости доски и смотрит на нас.
Есть вектор r в системе координат xyz.
Вектор r лежит в плоскости Oxy.
Что мы делаем?
Мы поворачиваем этот вектор r вокруг оси z на угол ψ.
И хотим получить, как будет выглядеть этот вектор r, опять же,
в неподвижной системе координат.
Первоначально вектор r выглядит в системе
координат следующим образом — его длина r * cos α; r * sin
α и компонента проекция на ось z равна 0.
α — это угол между вектором r и осью x.
После того как мы повернули вектор
на угол ψ, его компоненты запишутся
уже следующим образом: r cos α + ψ.
r sin α + ψ и 0.
Можно изобразить на рисунке, что происходит.
Вот это вектор r' после поворота на угол ψ.
И теперь видно, что обе формулы имеют право на существование, все верно.
Давайте это выражение распишем, раскроем cos,
sin по известным тригонометрическим формулам.
cos от суммы — это r * cos α * cos
ψ − sin α * sin ψ.
Вторая строчка.
sin от суммы — r sin α
cos ψ + sin ψ cos α.
По третьей компоненте все также 0 и все хорошо.
И оказывается, что это выражение можно переписать
при помощи матрицы домноженной на вектор r исходный.
Вы можете убедиться, что если матрицу выписать следующим
образом: cos ψ − sin
ψ sin ψ cos ψ 0,
0, 0, 0, 1,
то при доумножении на вектор r, мы получим наш вектор r'.
То есть вот эта матрица является матрицей поворота вокруг оси z.
Получили.
Теперь...
Давайте на примере этой же матрицы поворота поговорим о
пассивной и активной точки зрения на повороты.
Что это такое?
Активная точка зрения — если у вас есть неподвижный базис,
вы находитесь в этом неподвижном базисе, вращаете вектор r и в каждый момент
времени вам необходимо записать проекции его на неподвижную систему координат.
Это активная точка зрения.
Это в принципе то, что мы сейчас сделали.
Давайте только проиллюстрируем на конкретном примере.
Пусть наш вектор r изначально имеет компоненты 0...
1, 1, 0 Давайте
изобразим на этой картинке его
положение.
Если он имеет компоненты 1 1 0, это значит, что углы 45° здесь и здесь.
И давайте совершим поворот вокруг оси z на угол ψ равный 45°.
Что у нас произойдет с вектором r после поворота на 45°?
Он просто начнет совпадать с осью y.
Давайте проверим, а полученная формула дает нам нужный результат или нет?
Давайте запишем матрицу поворота вокруг оси z.
Для угла ψ, равного 45°.
Подставляем cos ψ, cos от 45° =
√2 / 2 − sin ψ − √2 / 2
И здесь дальше по аналогии √2 / 2,
√2 / 2 0, 0, 1,
0, 0 Что нам нужно сделать, чтобы получить координаты вектора r'?
Мы должны нашу матрицу A умножить на вектор r заданный.
То есть мы должны √2 / 2 − √2 / 2,
0, √2 / 2, √2 / 2,
0, 0, 0, 1 домножить на вектор 1, 1,
0 Давайте домножим.
Что получаем?
Первая компонента — 0.
Вторая компонента — √2.
Третья компонента — 0, что полностью согласуется с нашим рисунком.
Действительно r' — это вектор вдоль оси y длины √2.
Вот так.
Давайте теперь проиллюстрируем пассивную точку зрения.
В чем отличие?
Теперь мы уже находимся в подвижном базисе.
Мы сидим в подвижном базисе и наблюдаем за тем,
как меняются компоненты неподвижного какого-то вектора на наш подвижный базис.
В качестве примера что можно привести?
У вас есть спутник, камера которого должна обязательно смотреть на Землю.
И вы его маневрируете таким образом, чтобы повернуть камеру на Землю.
Но при этом вам необходимо, например,
для разворачивания солнечного паруса отслеживать вектор направления на Солнце.
В данном случае это как раз и есть пассивная точка зрения.
Ваш спутник поворачивается и вы наблюдаете это в системе отчета, связанной со
спутником, а вектор направления на Солнце — это некий неподвижный вектор,
который вам необходимо знать в проекциях на вашу подвижную систему отсчета.
Давайте теперь для нашего же вектора применим пассивную точку зрения.
Что у нас есть?
У нас есть система отчета xy
и вектор r.
Что здесь происходит?
Мы вместо того чтобы поворачивать вектор r,
поворачиваем нашу систему координат на угол ψ 45°.
Что получается?
Получается, что система координат поворачивается таким образом,
что вектор x' начинает совпадать с вектором r заданным.
А ось y' перпендикулярна им таким вот образом.
Давайте вспомним.
На лекции вам давалась формула для пересчета вектора
r в новую систему координат.
Вы хотите получить координаты вектора r в штрихованной системе координат.
Что вы для этого должны сделать?
Вы должны
транспонированную матрицу поворота умножить на исходный вектор r.
Давайте выпишем транспонированную матрицу поворота.
Это √2 / 2 √2 / 2,
−√2 / 2, √2 / 2,
0, 0, 1, 0, 0.
Вектор r имеет все те же компоненты: 1, 1, 0.
Чтобы получить его компоненты в подвижной
системе координат, давайте умножим A транспонированную на r.
[БЕЗ СЛОВ] В
качестве первого элемента получаем √2.
В качестве второго элемента получаем 0.
В качестве третьего элемента получаем 0.
Это координаты вектора r' в новой штрихованной системе координат.
То есть так наш неподвижный вектор спроецировался на новую повернутую систему
координат.
Видим, что действительно
картинка не противоречит полученному результату.
Значит все хорошо.
Мы проиллюстрировали применение формул, полученных на лекциях,
с пассивной и активной точек зрения.
Спасибо.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
