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Probabilité, c'est donc une fonction qui va être définie de A ronde à valeurs dans
0 1 et qui va donc pour chaque événement aléatoire de A ronde
mesurer en un certain sens cet événement en lui donnant une chance de réalisation.
Donc, les axiomes qu'on va poser ici sont que premièrement la probabilité de
l'ensemble tout entier est égal à 1, ça, ça ne change pas avec ce qu'on avait vu
et deuxièmement, on va supposer une propriété d'additivité
comme on l'avait vu précédemment mais ici on va avoir une propriété d'additivité
sur une réunion dénombrable d'événements aléatoires qui sont deux à deux disjoints.
Donc, on va considérer une suite An de tels événements et
l'axiome va nous dire que la probabilité de la réunion de ces événements aléatoires
deux à deux disjoints est égale à la somme des probabilités des An.
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Alors, c'est très facile, néanmoins, il faut quand même le remarquer,
de vérifier que notre sigma additivité entraîne ces propriétés-là.
Première remarque, si on pose que An égal vide,
pour tout n, eh bien l'union des An va être encore égale au vide hein.
Je vous rappelle donc déjà les An sont deux à deux disjoints donc,
notre axiome de sigma additivité nous donne cette propriété-là mais ici,
l'union des An, c'est encore le vide qui doit être égal à la somme
donc de la série de terme général P de vide.
Et ça, vous voyez qu'il n'y a qu'une seule manière de l'avoir,
c'est d'avoir P de vide égal 0.
Alors, maintenant qu'on sait ça, c'est facile de déjà de voir que si
on se donne un événement aléatoire A, donc cet événement aléatoire A,
on va également l'appeler A1 et puis je vais appeler A2 le complémentaire.
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donc P de A plus P de A2 donc P de A complémentaire
plus 0 puisque les autres probabilités sont égales à 0,
on vient de voir que la probabilité du vide était égale à 0.
Et on obtient donc notre deuxième propriété qu'on demandait pour une
probabilité, à savoir que la probabilité du complémentaire d'un événement
aléatoire, c'est 1 moins la probabilité de l'événement aléatoire en question.
Troisième propriété, l'additivité.
Eh bien, vous voyez que si je prends A1 égal A et
A2 égal B dès lors que A inter B égal vide,
et si je prends An égal vide pour tout n supérieur ou égal à 3,
ma propriété de sigma additivité va se traduire par en fait la propriété
d'additivité pour mes événements aléatoires A et B.
A savoir que la probabilité de la réunion A union B est
égale à la probabilité de A plus la probabilité de B.
4:57
Deuxième remarque, ben,
on aimerait s'assurer que avec notre axiome de sigma additivité, on peut
retrouver la propriété que l'on souhaitait avoir sur notre exemple de pile ou face,
c'est à dire que ce que l'intuition nous poussait à vouloir montrer hein
dans notre exemple quand on disait que on souhaitait obtenir que la probabilité
de n'obtenir jamais pile dans un jeu de pile ou face infini soit égale à 0.
Donc en fait, c'est le résultat de cette proposition si on
considère une probabilité donc sur oméga A ronde, on va pouvoir montrer que si on
a une suite croissante d'ensembles, une suite An qui vérifie que pour tout n,
An est inclus dans An+1, croissante au sens de l'inclusion, eh bien la
probabilité de l'union des An, ça va être la limite des probabilités de An.
Donc, les probabilités de An, vous voyez ici,
forment une suite croissante comme on vient de le rappeler et donc on sait que
elles convergent soit vers plus l'infini soit vers un nombre fini, ben,
là ce qu'on dit c'est que elles convergent vers la probabilité de la réunion des An.
De même, je vous rappelle que les probabilités des An ici sont
bornées donc une suite croissante bornée, ça converge toujours.
Si maintenant on regarde une suite An décroissante,
hein donc toujours au sens de l'inclusion,
eh bien, on peut montrer que la probabilité de l'intersection des An,
c'est encore la limite des probabilités de An qui est ici une limite décroissante.
Remarque, cette propriété-là n'est pas vraie dans tous les cas,
on pourra avoir des contre-exemples en exercices.
Une deuxième remarque, c'est que le petit b ici nous donne exactement ce qu'on
voulait, à savoir que dans notre exemple du pile ou face,
on a bien que la probabilité de n'obtenir jamais pile est égale à 0.
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Nous connaissons, je, la probabilité d'une réunion
dénombrable d'ensembles aléatoires disjoints puisque je vous rappelle
que c'est sur ces ensembles-là que porte la propriété de sigma additivité.
Nous savons que si les ensembles aléatoires sont disjoints,
la probabilité de la réunion est égale à la somme des probabilités.
Ici nous n'avons une information que sur la croissance de la suite An mais nous
allons en fait transformer cette suite en, enfin, lui a transformé
la réunion des An en une réunion d'ensemble Bn qui seront disjoints, donc
à la suite croissante, on va associer une suite d'événements aléatoires disjoints.
Alors, comment on fait ça.
Eh bien, on considère, on a A0, ici,
ensuite A0 est inclus dans A1, qui est lui-même inclus dans A2,
10:25
Donc, vous voyez que l'union A0, union A1, union A2,
union An qui n'est rien d'autre que An puisque la suite des An est croissante,
peut s'écrire comme une réunion d'événements disjoints.
Donc, je vais appeler Bn, donc, vous voyez que cette suite d'événements Bn,
on va la construire de la manière suivante, B0 va être égal à A0,
B1 va être égal à A1 moins A0, qui est aussi,
ici, A1 moins B0, B1 ça sera cette couronne,
que je suis en train de hachurer, B2 ça va être A2
11:05
moins A1, donc c'est cette nouvelle couronne ici,
que j'hachure un petit plus finement, et etc.,
Bn sera égal à An moins A(n- 1).
Donc, on fabrique cette succession de couronnes qui sont disjointes 2 à 2,
et par construction, écrivons-le,
les Bn sont disjoints 2 à 2
[AUDIO_VIDE] et de plus,
on peut montrer que l'union,
vous voyez An s'écrit comme A0,
comme, pardon, A0 mais on va plutôt écrire B0, union, donc, A0 égale à B0, union B1
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Alors, maintenant c'est assez facile, vous voyez qu'on a,
si on veut on sait que Bn est égal à An moins A(n- 1)
et je vous renvoie aux axiomes sur les probabilités pour écrire que, donc,
je ne vais peut-être pas l'écrire en rouge, pour écrire
que P de Bn est égal à P de An moins P de A(n – 1),
A(n – 1) est inclue dans An par hypothèse.
Donc, vous voyez que la somme, j'écris encore,
de P égale 0, à n, de P de Bn,
15:47
Nous allons maintenant voir une dernière propriété,
qui est bien utile dans la pratique.
À savoir que si maintenant,
on considère une famille dénombrable d'événements aléatoires quelconques,
donc on ne suppose plus du tout d'hypothèses d'évènements disjoints, ici,
on prend des évènements aléatoires quelconques, et on souhaiterait avoir un
contrôle, une estimation de la probabilité de leur réunion.
Bien évidemment ils ne sont pas disjoints 2 à 2,
on ne peut pas dire que cette réunion est égale à la somme des probabilités, mais,
néanmoins on peut avoir une information, à savoir que cette probabilité est plus
petite que donc la somme de cette série de terme général probabilité de Ai.
Nous allons maintenant démontrer cette dernière propriété.
17:07
Et ceci peut se faire par récurrence sur k,
[AUDIO_VIDE] bien sûr,
c'est immédiat pour k égale 1.
Et maintenant, je suppose que pour toute suite de taille (k – 1),
toute suite d'événements aléatoires A1, A2, A(k- 1),
on a que la probabilité de A1 union, etc.,
union A(k- 1) est inférieur ou égal
à la somme de i égale 1, à (k – 1) de probabilité de Ai.
Montrons-le maintenant avec k événements aléatoires,
nous allons appeler cette union B, et ce que je regarde maintenant,
c'est la probabilité de A1 union A2 union A(k- 1) union Ak.
C'est-à-dire la probabilité B union Ak.
Nous avons vu en séance 3 que cette probabilité était égale à la probabilité
de B plus la probabilité de Ak moins
la probabilité de B inter Ak,
19:47
Et nous savons que ces réunions, vous voyez que ces ensembles Bn, ils croisent,
puisque Bn plus 1, ça va être cette réunion de i égale 1,
à n, des Ai, union l'événement aléatoire An plus 1.
Et donc, la suite des événements Bn
est croissante, au sens de l'inclusion et elle croît vers la réunion des Bn,
qui est également la réunion des An.
Donc, ça, c'est ce qu'on peut appeler A et par nos axiomes, on sait que dans ce cas,
la suite des probabilités des Bn va croître, elle également,
donc, là maintenant ce sont des nombres réels, compris entre 0 et 1, donc cette
suite de nombres réels est croissante et croît vers la probabilité de A.
D'autre part, nous savons par ce qu'on vient de montrer, par le premier cas
qu'on a étudié, Bn est la réunion d'un nombre fini d'événements aléatoires,
nous savons que la probabilité de Bn est plus petite ou égal à la somme
de i égale 1, à n, des probabilités de Ai.
23:51
Donc, vous voyez que dès qu'on a une probabilité eh bien, on peut lui
associer une suite de nombres réels compris entre 0 et 1, de somme égale à 1.
Bien sûr, ce qui est intéressant,
c'est la réciproque, c'est, est-ce qu'à partir d'une telle suite,
on peut définir une probabilité sur oméga, munie de sa tribu P de Oméga.
Nous devons donc définir la probabilité de n'importe quel événement aléatoire A,
de A ronde.
Eh bien, nous allons la définir ainsi,
nous savons que A est égal à la réunion des singletons oméga n,
qui constituent A, et donc, comme ces singletons sont disjoints,
grâce à notre propriété de sigma additivité, la probabilité de A est égal
nécessairement à la somme sur les oméga n dans A des probabilités de oméga n.
On l'a définie comme étant égale à la somme pour oméga n dans A de pn.
Donc, vous voyez que dès qu'on s'est donné une suite de nombres réels, pn,
compris entre 0 et 1, et de somme égale à 1, nous pouvons définir par cette formule,
ici, la probabilité de n'importe quel événement aléatoire A,
comme étant la somme sur oméga n dans A, de pn.
Et il est très facile de montrer,
que P de A ainsi défini, va nous permettre de définir une probabilité.
Donc, théorème, une probabilité sur un ensemble dénombrable est
caractérisée par une suite de nombres réels de 0 à 1 et de somme égale à 1.
Comme exemple et cela terminera cette longue séance numéro 5,
introduisons un nombre réel thêta strictement positif et considérons
la suite de nombres réels, définis par pn égale exponentielle moins thêta,
thêta puissance n, sur, factorielle n.
Je vous rappelle que factorielle n est égal à n fois n moins 1,
etc., fois n moins 2, fois n moins 3, fois etc., fois 2, fois 1.
Nous pouvons vérifier de manière évidente que pn est compris entre 0 et 1.
Et je vous rappelle, c'est même une manière de définir l'exponentielle,
que la somme des pn, donc pn, on regarde si la série de terme général pn
est convergente, et que vaut sa somme, eh bien, la somme des pn,
c'est e puissance moins thêta, fois la somme de thêta n sur factorielle n, et ça,
on sait que c'est une série convergente, cette série de terme général thêta n, sur,
factorielle n est convergente et de somme égale à e puissance thêta,
donc la somme des pn vaut bien 1.
Et ceci, nous permet de définir une probabilité sur N, hein,
j'ai oublié de préciser ici, que n appartenait à N,
donc entier de 0 à plus l'infini, et cette probabilité est appelée loi de Poisson,
de paramètre thêta, puisque vous voyez que vous avez autant de loi de probabilité
que vous avez de thêta réel, strictement positif.
Donc, on reviendra plusieurs fois sur cette loi de Poisson, ultérieurement.
Donc, Poisson, du nom de la personne qui l'a introduite,
Siméon Denis Poisson, qui a écrit un essai en 1837,
sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile
et qui a introduit cette probabilité dans ce cas-là.