[МУЗЫКА] Добрый

день!

В этой лекции я хочу вам рассказать,

как делать замены переменных в кратных интегралах на плоскости,

в пространстве и вообще в многомерном пространстве.

Давайте начнем с интегрирования функции на плоскости.

О чем идет речь?

Итак, на плоскости у нас есть некоторая область,

и обычно, когда говорим про интеграл,

обычно это записывается вот так: вектор x обозначает точку, dx1dx2,

такой значок это обозначает интегрирование нашей функции по данной области.

Что это означает?

Это означает следующее: то, что мы нашу область разбиваем

на очень маленькие прямоугольнички,

стороны каждого из которых идут

вдоль соответствующих декартовых координатных линий.

Здесь, скажем, dx1, здесь dx2.

И вычисляем площадь каждого элементарного прямоугольничка,

это просто dx1, это сторона его dx1, другая сторона dx2, и,

соответственно, площадь будет dx1 * dx2.

Вычисляем значение функции внутри этой области в любой точке,

потому что она очень маленькая, и складываем по всей области.

Эта сумма и в пределе бесконечно малого разбиения,

как в математике любят говорить, и есть наш интеграл.

Так вот, что такое замена переменных в этом интеграле?

Это по существу просто изменение разбиения.

Разбивать мы можем как угодно.

Если следовать такой процедуре, что совсем необязательно эти прямоугольнички

должны быть одинаковы, совсем необязательно должны быть прямоугольнички.

Например, мы можем разбить это на параллелограммы.

Внутри каждого параллелограмма вычисляем

значение функции, вычисляем площадь этого параллелограмма и складываем.

Это будет все тот же самый наш интеграл.

То есть, если интеграл — это число, то это будет ровно то же самое число.

Интеграл не зависит от способа разбиения, это интуитивно понятно,

доказывать, естественно, я это не буду,

это доказывается в математических курсах, повторяю, это интуитивно понятно.

Параллелограммчики совсем не обязаны быть одинаковыми, и вообще

это разбиение вот так вот зрительно совсем не обязано состоять из прямых линий,

оно может состоять из кривых линий,

но в малом каждый элемент разбиения по-прежнему будет параллелограммом.

Поэтому, для того чтобы научиться переходить от одних координат к другим,

нужно сначала вспомнить, что такое площадь параллелограмма.

Вспоминаем, что такое площадь параллелограмма,

построенного на векторах a1 и a2,

я его сейчас нарисую, это вот a1,

a2, вот такой параллелограмм.

Значит, его площадь есть школьный способ вычислять — это

произведение длин векторов на синус угла между ними,

но это способ не очень хороший, потому что обычно эти вектора заданы покомпонентно,

то есть мы знаем их компоненты в нашей декартовой исходной системе координат.

Все-таки вот какие бы ни были кривые линии разбиения,

за кадром все время остается то, что у нас есть декартова система координат.

Пока ограничимся только этим случаем,

потом я расскажу, как это может быть вообще обобщено.

Итак, чему равняется площадь этого параллелограмма,

если мы знаем компоненты векторов a1 и a2?

Ответ выглядит очень просто: это детерминант матрицы, давайте

я так вот напишу, знак равенства в данном случае просто обозначает, что это площадь.

Детерминант матрицы построен из векторов a1 и a2, из их компонент.

Это так: a1 (1), a1 (2),

a2 (1), a2 (2).

Верхний индекс в скобках обозначает компоненту

вектора в нашей декартовой системе координат,

а нижний индекс, как уже понятно, обозначает просто номер этого вектора.

Давайте я это напишу немножко в более общем виде,

чуть более абстрактном, чтобы потом было понятно

обобщение на случай произвольной размерности.

Это будет матрица вот такая вот: значит,

верхний индекс у меня j, нижний l.

Верхний индекс обозначает номер компоненты 1,

2 в данном случае вот для 2 на 2, а нижний индекс обозначает номер вектора.

Вот такая матрица 2 на 2.

Понятно, что эта запись сразу же обобщается

на случай произвольной размерности,

то есть косоугольный параллелограмм, параллелепипед,

косоугольный параллелепипед в n измерениях — это объем этого параллелепипеда,

построенного на n векторах.

Понятно, что если n измерения, то у нас должно быть n векторов,

чтобы образовать косоугольный параллелепипед, и объем этого

косоугольного параллелепипеда тоже будет таким детерминантом,

только каждый индекс будет пробегать уже от 1 до n, в трех измерения от 1 до 3.

Это определение, можно проверить,

для случая 2 на 2 буквально соответствует школьному.

Дальше можно действовать по индукции, то есть на плоскости мы проверили,

теперь, что такое объем в трех измерениях мы знаем, проверяем,

что в трех измерениях это совпадает, ну а дальше, значит, можно проверять,

а можно просто сказать, что и так все понятно.

Но с самого начала можно говорить об элементе объема,

не апеллируя к школьному определению, как немножко в более

абстрактном изводе, именно объем параллелепипеда,

построенного на n векторах, должен обладать какими свойствами?

Это некая полилинейная, что называется, функция,

если вместо одного вектора я поставлю линейную комбинацию каких-то двух других,

то у меня должна получиться линейная комбинация объемов, это раз.

И два — объем не зависит от поворотов, то есть я могу крутить

данную фигуру, как угодно, при этом объем должен сохраняться.

Так вот, определение через детерминант этому свойству

удовлетворяет, поскольку при повороте...

А поворот как задается?

Я тут же напоминаю, по крайней мере,

в линейной алгебре должны были проходить, он задается матрицей поворота O,

ортогональной матрицей, у которой свойство, что она транспонировано

равняется себе в минус первой, но главное ее свойство, что детерминант ее равен 1.

Так вот, при таком повороте компоненты векторов, конечно, будут меняться.

Как будет меняться вот эта матрица?

Легко проверить, что она просто перейдет, давайте вот эту матрицу я так,

две палочки обозначают то, что это матрица, она перейдет в

произведение матриц поворота на исходную.

[БЕЗ_ЗВУКА] Вычисляем детерминант у того, что получилось.

Детерминант произведения матриц — это произведение детерминантов матриц,

детерминант матрицы 1, поэтому эта так определенная величина

инвариантна относительно вращения.

Это, значит, то первое, что нам нужно от объема.

Какое это отношение имеет к

замене переменных, замене координат на плоскости?

Что такое замена координат на плоскости?

Это так, что мы вместо наших исходных координат вводим другие,

вместо x1, x2 вводим y1, y2,

и задаем явно способ пересчета,

как старых координат, евклидовские наши, декартовы простые, выражается через новое.

Это некоторые функции, будем считать эти функции хорошими,

то есть их нужно дифференцировать, ну и, скажем, допустим,

никаких особенностей в новой системе координат мы не имеем.

Даже если эти особенности есть, мы как-нибудь с ними разберемся.

Я буду избегать каких-то самых общих утверждений,

пока будем считать, что все функции хорошие, которые мы интегрируем,

и функции, которые задают пересчет системы координат.

Геометрически это означает следующее: что на плоскости была вот такая координатная

сетка, а стала какая-то вот такая координатная сетка, кривая.

Если вы почитаете книжки или особенно переписку ученых начала XX века,

когда вот идеи кривых координат мощно вошли в физику, а они вошли,

в первую очередь, при создании общей теории относительности,

все эти ученые — Эйнштейн и его корреспонденты,

там Лоренц, Планк, они использовали такой образ под называнием

«моллюск отсчета», это вот, значит, координатный моллюск.

То есть у нас вот был с таким прямым скелетом, внутри которого располагались

точки нашего пространства, а теперь это стал такой кривой моллюск.

Но при этом чего нужно от системы координат?

Только то, чтобы однозначно любая точка имела однозначные лейблы, однозначно

задавалась этими координатами, кривые они, или прямые — совершенно не важно.

Хорошо.

Зачем вообще нужно менять системы координат?

Ну это нужно, если границы области, скажем, в декартовых координатах

исходных довольно плохо определяются какими-то сложными формулами,

если сама функция не очень красиво выглядит в декартовых координатах,

а, скажем, мы можем подобрать такие новые координаты,

что и функция хорошая, и границы области хорошо определяются,

тогда интеграл может вычисляться проще, гораздо проще.

Это самая первая, самая прагматическая цель наших упражнений.

Итак, мы пришли к координатам y1, y2, так вот как переписать наш интеграл,

который по-прежнему все то же самое число, он не зависит ни от систем координат,

ни от чего, зависит только способ вычислений.

Как переписать наш интеграл dx1, dx2 в терминах dy1,

dy2, вот это будет вторая часть нашей лекции.

[МУЗЫКА]

Замена системы координат на плоскости

Введение в математические методы физики

Meet the Instructors