好，那怎樣叫做一個 random walk？random walk 它其實是這樣來看，就是說
首先一個網路，一個網路的連接的情況， 在這一個 random
walk 裡頭，我們事實上是用一個所謂的 轉移機率矩陣這個 P 來表示，這個矩陣來表示。
那舉一個例來看， 假如說現在我面臨到的這個所謂的這個網路連接情況是這樣，這個
使用者 1 呢他跟隨者使用者 3 跟使用者 2， 使用者 2 呢跟隨使用者 1，使用者 3 跟隨使用者 1，
那這一個幾率矩陣呢，到底要怎麼去來描述這件事情？其實呢它是一個，假如說你有三個點， 那就是一個三乘三的矩陣。
裡頭的任意點，假設這一個點好了，這個點叫做 P12，
代表什麼意思呢？就是說我從 1 這邊 1，這邊
2，從點 1 走到點 2 的幾率 那你看看點 1 現在要麼就走到點
2，要麼就走到點 3，所以它走到點 2 的幾率是多少？是一半，是 0.5。
所以你可以看到， 這個矩陣呢你就可以用來描述這個網路裡頭的連接情況。
好，那有了這個轉移幾率矩陣這個 P
之後呢， 我們現在要來想一件事情，就是所謂 random walk
這邊的 所講到的這件事情，就是說，假如說你今天處在這個網路裡頭， 你開始在裡頭瘋狂地亂逛，一直走來走去，一直走來走去，無窮盡地走來走去，
走來走去，那你走久了以後呢，你會發現到一個有趣的事情， 什麼事情呢？就是說你會發現說你常常會逛到一些特定的點，
OK？那這些點呢會有一些特性，什麼特性？這些點通常都是會有很多人指向它，
為什麼你會常逛到，因為太容易就走向它嘛，對不對？
那除此之外呢？它除了有很多的這個連線指向它，還有什麼樣的特性？
這些從這個連線過來的前面那個點也常常會被走到， 常常會被走到。
好，那我們再呼應到前面我們說影響力 這些想法，我們剛剛講說，一個人有沒有影響力源自於他有沒有很多跟隨者，
對不對？還有這些跟隨者是不是也相對有某種程度的影響力， 那呼應到這邊的
random walk 也是一樣的想法，就是說，如果在網路上亂逛， 你會發現說你很容易走到這些點，這些點為什麼容易走到？因為它有很多的
link 指向它，連接指向它， 它的跟隨者眾，對不對？那再一個是怎樣呢？為什麼你容易找到它？除了它
的跟隨者眾，還有很多連接指向它，你也很容易走到它的上一步。
那這些人，假如說你把這個，這個容易走到這件事想象成影響力，就是說這些人的影響力- 也不差。
好，所以呢，基於這樣的想法，你可以想象下假如說我今天，
在這一個社群網路裡頭，我開始瘋狂地亂逛，瘋狂地亂逛，瘋狂地亂逛， OK。
那久而久之你會發現說，我很很容易就遇到一些人，很容易就遇到一些人。
這些人呢有些特性就是他的跟隨者眾。
而且呢，在這些被跟隨者也是一些很容易被逛到的點，那些邊緣他影響力也不差。
好，所以如果你可以接受這樣的概念上，我們繼續來看， 這個上述這個
random walk 就像我們剛剛講到，用白話方式 你可以說一件事情沒做，但是通常我們需要用一些數量的方法，
來吧一些現象用一些數學方式來做一些表達，你這樣才有辦法 去定義這些數值出來，影響力的數值出來。
好，那上述的這個 random walk 呢其實呢可以用一個數學的方式來表達，那這邊就
會涉及到我們要有一些所謂的線性代數的一些很簡單，非常簡單的概念。
好，那首先第一件事情就是說，我們現在在講說我不斷地走，不斷地走，那假設說我們有時間- 點好了。
用 t 這個變數來表示時間點，那 t=0 當然就是時間點
0，那 t=1 就是下個時間點，2 就是下下個時間點，以此類推。
好，那有了這個時間點的概念之後，我們定義一個向量叫 q，
這個 qt 呢，它是，假如說今天你 網路裡頭有
n 個點，那它的維度呢就有 n 就是它有 n 個格子在裡頭。
那它這裡頭的數值是什麼呢？就是說，第一格就是說你在時間點 t
的時候你逛到這個第一個點的幾率，那第二格是 什麼呢？代表就是你在時間
t 的時候你走到這個點 2 的幾率。
現在呢假設說我們在時間點 t=0 的 情況之下，我們開始還模擬，剛剛我們講到的所謂的 random walk 這件事情好了。
好，那假如說在時間點 t=0 的情況下你現在停在點 1， 那開始你要準備開始瘋狂地去逛這個網路。
那這時候，你的這個所謂的 q0 要怎麼去表示呢？好，我們可以看到下面這個地方來。
這個 q0 可以這樣來表示，就是裡頭格子是這樣子，1,0,0，為什麼呢？你看，你時間點
在 0 的時候你在點 1，這時候你還沒有逛到點 2 跟點 3。
所以你逛到各點的幾率當然就是在點 1 是 100%，點 2 跟點 3 幾率各為 0。
OK？好，那接著呢我們如果想要知道 時間點，在下個時間點 t=1 的時候逛到各點的幾率為何。
我們可以透過這個算式，這個矩陣跟向量乘法的算式來進行驗算。
那這個算式其實非常簡單，首先第一件事情就是說我們必須要把 剛剛之前講到的那個前面那一個
P 的那個幾率矩陣呢做一個 轉置，做一個 transpos。
那所謂的轉置是什麼意思呢？就是原本把這個 ij 這一個格子變成
ji，換句話說就是好像把它映射過去的意思一樣。
好，那這一個式子，這個矩陣乘法意思代表什麼意思呢？其實非常簡單，我們來看。
這裡頭經過轉置，這個 Pt 經過轉置之後呢，它 每一個
row，每一個橫列呢，我們都可以代表說它現在呢 從某個點走到某一個點的幾率。
舉例而言，我們看第一個 row 好了。
第一個 row 代表什麼意思呢？就是說你如果現在呢，想要走回點 1， OK？那如果你現在身處點
1 的時候你回到 1 的幾率是多少，如果你身處在 2 的時候，
點 2 的時候，你走回去點 1 的幾率是多少，如果你現在身處在點 3
的時候，你回到點 1 的幾率是多少，那其實你可以從左邊這個圖形來看。
假如說你現在處在點 1 的話，因為你要往前走到點 2 點 3，你不可能回到點 1，所以它的幾率是 0。
假如說你在點 2 的時候，因為它只有一個指出去的連接，就是回到點 1，
所以你回到點 1 的幾率是百分之百，對不對？那點 3 也是同樣的意思，
好，那透過矩陣乘法呢，我們知道說，這個乘出來的結果，第一格呢 等於這個矩陣的第一個 row 乘上這個第一個 column。
所以乘出來就代表說你現在處於哪一點，你再走回去這一個點的幾率是多少，那你可以來看到- ，乘出來的結果，
q1 就變成 0、 0.5、 0.5，那你可以用直覺去驗證，假如說你現在在點
1 的話， 下個時間點你要麼就是在點 3，要麼就是在點 2，所以跳到這兩點的幾率就是
各 50 percent，對不對？好，那透過這個
非常簡單，非常簡單的矩陣跟向量的預算，於是我們寫到這邊來。
你可以依樣畫葫蘆，你可以算出，現在如果在時間點 1 的時候，我想要在時間點
2 到各點的幾率是多少，你也可以把上面這個式子，只是帶不同的
q 進去，就可以算出下一個 q 時間點 2 的時候，各點造訪的幾率。
那你這樣一直重複，一直重複，重複，重複計算，計算久了，像我們剛剛講到， 所謂 random
walk 就是你在裡頭瘋狂亂逛，對不對？ 你可以一直重複，重複計算、
重複算……算很久之後， 你似乎，我們這邊要強調，你似乎就可以得到一個解答。
那假如說你算很久， 算很久，對不對，算很久結果叫 qn，n 可能是非常久的一個時間點。
那你就可以從這個 qn 裡頭去看，哪些點的幾率值特別高，
那這些點呢就是代表你最容易逛到的點，那這些點 按照之前講到的，可能就是一些重要的點。
好， 那你可以看到說，我這邊一直在強調，這邊是說，你似乎就可以 得到這個解答，為什麼說是似乎呢？
主要原因就是說上面這個式子我們還必須要面臨兩個很重要的問題，什麼問題呢？
我們剛剛想想看，我們在隨機亂走，瘋狂亂逛的時候，我們說我們一開始 就停在點
1 嘛，對不對？然後開始進行這個瘋狂的亂逛。
那假如說我一開始出發點就在點 2 或點 3，
會不會影響最後的結果，會不會因為我起始點的不同 最後得到這個亂逛久了以後，那個幾率會不一樣？
那如果不一樣的時候，我該相信從哪個起始點出發才是對的呢？那另外一個問題是什麼呢？
另外一個問題是說，我這樣瘋狂地亂逛，那我要逛多久啊？ 我逛一百步，逛一千步，到底什麼時候該停下來？
那其實這個逛多久這個問題，其實衍生到另外一個問題是說， 我是不是能夠說明一件事情，就是說我逛夠久之後，這個
qn 那個 n 是代表時間點，n 很大的時候，是不是 qn 跟
qn+1 開始慢慢變得很相似，最後變成一樣，或者換句話說這個結果會不會收斂？
如果我們沒辦法解答這兩個問題，那其實我在裡頭瘋狂亂逛，我沒有要告訴你一個確切的結果。
魏志平教授兼系主任 (Professor and Chair)
李正國玉山金控數位金融長暨副總經理
楊立偉兼任助理教授 (Adjunct Assistant Professor)
陳建錦教授 (Professor)
