再下來我們要講一個很重要的觀念就是
那個陣列，尤其是多維陣列它的記憶體配置 問題，這對我們寫程式來將非常重要，因為我有了解說
陣列是怎麼樣配置記憶體的，那你才能了解說真正那個將來再學習指標
跟那個比較高維的那個陣列的時候，你才會了解中間互相的關係是什麼？所以我們先舉一個很- 簡單的範例，
就是說，我們現在有一個矩陣，它有三維，第一個維度呢， 是
2，第二個維度是 3，第三個維度是 4，所以總共呢有 24 個
元素。那我們首先呢就印這些東西出來。
這些東西就是說 a[0][0] 到底是什麼？ a[0][0]，a[0][0][0] 到底 是什麼？ a[0][0] 是什麼？a[0]
是什麼？那 a 又是什麼？那這些東西它的大小是什麼？ 我們先把它印出來，然後呢我們再把每一個元素，在這裡
按照 i，j，k，就是由左到右它的各個維度
一直去調變，然後把它的位址印出來，那注意到這裡呢，我們是在 最後一個維度，這個是 0 到 3，0，1，2，3。
就是這 4 個維度，用完了以後呢，中間有空一格，用完以後我們又換行。這樣的話
比較方便清楚。然後呢，這整個事情呢，中間再換行，意思就是說 這前面那個
i 跟後面那個 i 中間也換一行，這樣的話也方便我們來看，
那之後呢，我們會印一些 奇怪的事情，比如說像這個到底是什麼？
如果說是這樣印，如果是 a[i][1] 這到底是什麼？ 那跟 a[i][1]
值的關係到底是什麼？那這個我們等一下會說明，或者說 a[i]
是什麼？ a[i] 的值跟 a[i] 到底有什麼關係，最後我們回到說
a 跟 a 的值到底有什麼關係？這是第二個我們要 印出來的東西。所以，我們在這邊要
那個講解的第二個關係就是到底記憶體大小跟 那個 array 是什麼關係？那我麼知道
a[0][0][0] 這個是一個四個位元組的整數，所以它的
sizeof 是多少呢？自然是 4，那 a[0][0] 是什麼意思呢？ 那 a[0][0] 呢，是一個 4
乘，4個，4 個位元組的， 整數所組成的陣列，那是為什麼？因為這個維度我沒寫，沒寫的意思就是說所有
前面是兩個零的那都包含在這個集合裡頭，所以它是有 4 個位元，所以它應該是 16。
那 a 是包含所有的，那所以就是全部加起來。這個很難懂，那
我們就用一個比較簡單的例子來說明這件事情，我們把它想象成為房子，OK，所以這個房子- 是什麼意思呢？
我們現在有兩排房子，兩排房子，所以第一個維度就代表你是在第幾排，你的房子在第幾排。
第二個維度呢，就是說每一排房子有幾層。
那我們現在這個維度呢有三層，那這個維度就是說在每 一排每一層裡頭到底有幾戶？就是你家到底是哪一排哪一
層的哪一戶。那用這三個坐標呢就可以知道說你家在哪裡了。所以我們在 這邊呢就是說
a 是什麼呢，a 事實上你在記憶體裡頭看到呢
就是這個東西啊，[0][0][0]，[0][0][1]，[0][0][2]，[0]- [0][3]，這樣子一直下去。
那 a[0] 是什麼呢？a[0] 是所有
第一個注標為零的元 素，所以你可以把它想象就是說所有在第一排的房子，
我們就記得我們這邊有兩排，因為第一個維度是排，第幾排，有幾排房子，所以這邊看起來像- 是第一排房子。
第一排房子裡頭呢有 3 層，每一層呢有 4 戶，
那這樣的話呢所有 a[0] 的事實上就是，那當你說 a[0]
是什麼意思？ 當你說 a[0] 就是這些人，就是所有第一排的房子，那
a[0][0] 是什麼意思呢？a[0][0] 就是說你在第 0 排，
也就是在第一層的房子的集合，那這樣的話就有 4 戶，因為 a[0][0] 就是
包括這些人，所以 a[0] 就是前面第一個是 0 的，a[0][0] 就是前面有兩個是 0 的。
好，有了這個觀念以後呢我們就很清楚了，所以各位可以把它想象成房子，第一個呢代表排，- 第二個代表
層，第三個代表戶，這樣。記憶體擺放的順序就是這樣，a[0][0][0]，a[0][- 0][1]，
它是由右邊開始變動，由右邊開始變動，就跟你車子或者是
就跟你車子的碼表一樣，它是從右邊開始跑，你可以把它想象成碼表。
那碼錶以後，就 0 到 9，那排完以後跳回下一個。這有點像是什麼？
有點像，你看這個房子，也就是說，在第 0 層， 第 0
排，第 0 層，有 4 戶，0，1，2，3 再下來是什麼，再下來就是
第 0 排的第 1 層的第 0，所以這邊就相當於你可以把它想象成像
是一個進位，這樣子進位的觀念，所以進位到這裡來了，那到這裡呢，就是說第 0
排， 第 2 層第 3 戶再下來是哪一個？再下來就是 第 1
排的第 0 層第 0 戶，所以在 C 裡頭它是 陣列是這樣排的，它的陣列是這樣排的，
那擺放方式就是要先放第一個矩陣，不要把它想象成矩陣，你想象成這一排房屋就好了， 再放第二排的房子，那每一排的房子呢，先放第
0 層，再放第 1 層，再放第 2 層，因為我們有三層。
那每一層呢先放第 0 戶，然後再放第 1 戶，再放第 2 戶，
再放第 3 戶，最後這個東西你看你就可以理解了啊。
這 C 是怎麼擺放，在陣列裡頭怎麼擺放記憶體的。所以說我們再仔細看
它事實上就是這個樣子，你如果了解了這個觀念以後呢，你就會很容易算出來位址啊，如果一- 開始位址是這樣的話，
這個就是這樣，那每次跳 16，為什麼跳 16 呢，是因為它每一個 位址呢是
4 個位元組，這邊我用虛線畫
代表 4 位元組，所以這整個是一個 4 個位元組的整數。那每一排 每一層有 4 戶，所以這樣每一層就跳 16。
好，我們根據以上的討論，我們可以歸納出來說到底 一個多維陣列它的位置怎麼算，那算法就是這樣，你把它起始
位置找出來啊，你剛開始要放哪裡，先記好，然後呢 按照我們剛才的例子，就是
i乘上3乘上4，也就 乘上12， j乘上4再加上k呢就是，再乘上
4 就是位址，這個為什麼是這樣子呢？ 因為你如果把它想成，把
a 當做一維陣列的話，它裡頭第幾個怎麼算？你看啊 我是
i 是表示它是第幾排，那每一排有 12 戶，為什麼一排有 12 戶呢，因為它有
3乘4 一層有 4 戶，所以你每次跳一個 i 就要跳 12， 那每一次跳一個
j 要跳多少？要跳 4，那是為什麼？那是因為一層有 4 戶。到最後加上 k，k
就是一層裡頭 你到底在哪裡？那當然就加上去，這整個為什麼要乘
4 呢，這是因為每一戶 有 4 個位元組，因為我們這邊是用 integer 每一個 integer
是 4 個 bytes， 你現在整個算起來就知道說它到底要從哪裡開始。
那所以我們很容易看說這個到 這個是要跳
4，這個倒這個是要跳 4。那到底第幾戶怎麼看呢？我們隨便找一個來看，比如說
比如說 1，2， 1，2 是第幾個呢？ 我們知道它是
1，所以它一開始這個iii它已經跳了 12 了，因為它是在第二排， 再加上這個
1，這個 1 什麼呢？再乘上 4，所以我是 12 加 4 再加上 2。
12 加 4 再加上 2，這是為什麼呢，因為 1
告訴我說，它要先跳這麼多，2 這個維度
一開始這每一個要跳那個 12，那這個呢要跳
4，所以我已經跳了 16 了，那最後再 跳一個 2，就是
8，就是 18。所以我知道這是第 18 個元素。
這怎麼看呢？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，
15，16，17，18，所以這個確實是 18，那這樣你就可以很容易的由這些 i，j，k，
算出來說如果這些房子是擺在一個一維陣列裡頭，也就是記憶體裡頭，那記憶體像是一個一- 維陣列，
那它到底在哪一戶？在哪一戶呢，你再乘上 4。
因為這一戶有四個位元組，再加上這個起始位址，你就很容易知道說你這個記憶體是在哪裡呢？
那如果是用比較具體的數學來表示
的話，就是像這樣子，那各位可以仔細的去研究這個內容，那事實上所表達的意思就是這樣， i
呢就乘後面兩個維度，j 呢乘後面一個維度，那 k 後面沒有維度就直接乘 1，這裡是一樣的道理。
所以我元素 i，j，k，在這裡是用
k1，k2，一直到 kn 的具體位址呢可以表為上式，那我們現在就可以知道說
當初我們說陣列的注標由零開始道理在哪裡呢？因為如果由零開始的話，
這個轉換非常的容易的。如果你由一開始的話那個轉換還要減一再乘上，減一再乘上， 那很麻煩，如果直接從
0 開始的話，你是直接可以拿這個 i，j，k，直接乘 12 跟乘 4 加起來。
那就是你位於第幾個，各位可以試著研究一下，如果說這些注標都從 1
開始的話，這個位址會蠻，這個位 址計算會蠻複雜的，所以在 C
裡頭呢我們事實上， 是由，注標是由 0 開始，這可以大部分簡化這些位址的計算。
那在這邊就大致上像剛剛那些 那些和你想的一樣，就是說，任何一個陣列的
a[i] 它有三列，也就是說任何 一個講成房子的話，就是一排房子
有三層分別是第 0 層，第 1 層跟第 2 層。
好，那由這樣來看就可以很容易理解說這到底
剛才那些關係是什麼？所以每一列的位址就是第一位，第一個元素的位址，所以 a[i][0]
的位址就是 a[i][0][0] 的位址，這什麼意思呢？就是說你是 哪一排的第幾層的位址
那事實上是這樣就是哪一排那一層的第零戶的位址。
各位可以理解就是說一層從哪裡開始呢？一層由它 那一層的第一戶開始，那這個，這個，這個
這個各位可以回去想一想，從那個對，那 a[i] 是什麼意思呢？a[i] 就是說
你那一排房子從哪裡開始？ 那如果你說那一排的房子可以開始，當然是從那一排房子的第零層的第零戶開始，
所以這兩個位址是一樣的，這兩個位址一樣，各位可以回去看這個圖。
所以 a[0] 從哪裡開始呢？a[0] 從這裡開始。
所以 a 從哪裡開始呢？從這裡開始。所以 a[0][0] 從哪裡開始呢？也從這裡開始。
那如果是a[1] 從哪裡開始呢？那 a[1] 就從這裡開始。
如果這邊是 a[1] 的話，就是從這邊開始， 如果是
a[1][1] 的話就是從這邊開始。
[聲音] [空白_录音]
劉邦鋒教授 (Professor)
