Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Situación: la Olla en el Fuego. Representación algebraica.
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1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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Aplicamos: del Contexto Matemático de Nuevo al Contexto Real
Hablaremos ahora de la función lineal que hemos construido en el contexto matemático, y regresaremos con ella a nuevos contextos reales. De este modo vamos a practicar con la aplicación del conocimiento matemático.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
En nuestra presentación anterior ya tuvimos la ocasión de llegar a las X y
las Y, es típico en matemáticas que se hable de X y de Y.
Pero en nuestra propuesta llegamos a ellas después de una gran
cantidad de sesiones, en donde estuvimos analizando diferentes contextos reales.
De todos esos contextos hemos tratado de que, el modelo lineal,
la función lineal sea digamos una generalización,
sea como una organización de todo lo que vimos en los contextos reales y
que nos va a permitir digamos verlos con una perspectiva única, ¿no?
como representante está nuestra función lineal.
Por eso en la filmina, en la última filmina de la sesión anterior ustedes
pueden recordar como lo tengo ahorita en la pantalla,
que tenemos la expresión función lineal como cubriendo todo aquella variedad, ¿no?
de contextos en donde hemos estado trabajando.
Los valores ahora de la magnitud estarán representados con esta letra Y.
Esta magnitud lleva a depender de la magnitud X,
este valor Y sub cero sería el valor inicial de la magnitud Y y este valor
r sub cero que ahora me permití ponerle el sub índice cero, estaría representando la
razón de cambio de la magnitud Y con respecto a la magnitud X,
la cual ciertamente en esta ocasión es una razón de cambio constante.
Por eso es que estamos dentro de el estudio de la función lineal.
Finalmente esta razón de cambio se multiplica por la
magnitud en la cual depende la magnitud Y, o sea, por X.
En esta expresión entonces compacta es lo que les quería yo transmitir,
ya está ahí digamos implícitamente toda la información que
necesitamos sobre los contextos en particular.
Entonces, estamos en el terreno del contexto matemático,
estamos con las X y con las Y,
estamos en un caso muy particular en donde una magnitud cambia.
De tal manera que la razón de cambio se mantiene constante y
te va a dar cualquier variación que halla entre la magnitud X de la cual depende.
En este momento que arribamos a la matemática, resulta igual de importante
que uno sea capaz de regresar al contexto real.
Y al regresar al contexto real uno va a encontrar digamos una nueva visión,
una nueva visión, una nueva visión de ese contexto en donde vamos a poder trabajar y
profundizar un poco más.
Entonces si me acompañan me gustaría ahorita en la imaginación, ¿no?
pensar en una situación real distinta de la que hemos propuesto, ¿no?
Entonces yo les propongo que pensemos en, en nuestra cocina, entramos a la cocina
y sacamos una olla vamos a hervir agua, nos queremos preparar un café, ¿okey?
Y no va a ser en el micro, ahora no.
Entonces sacamos la olla, ponemos agua, la ponemos en la estufa
ya está encendida la estufa y, ¿qué es lo que va a pasar?
Pues que el agua se va a calentar, eso es obvio ¿no?
En ese contexto real podemos ubicar dos magnitudes que podríamos decir
una depende de la otra.
¿Qué es?
La temperatura va a depender del tiempo a transcurrir, ¿okey?
Si yo les dijera que para fines prácticos uno puede pensar que la razón de
cambio de la temperatura del agua con respecto al tiempo es seis
grados centígrados por minuto, ¿sí?
O sea, esa razón de cambio les estaría diciendo que cada minuto la
temperatura del agua aumenta seis grados, ¿okey?
Siendo así, ¿cuánto cambia la temperatura cuando han transcurrido tres minutos?
Esa es una pregunta que me puedo hacer, ¿sí?
Y esa es una pregunta que yo pienso que incluso mentalmente uno puede
ser capaz de responder.
Los estudiantes cuando lo he planteado esto,
bueno pues lo que hacen es emitir una respuesta, me emiten un 18.
Y ese número 18, ¿de dónde se obtuvo?
Son los seis grado por minuto que la razón de cambio que yo
les di como dato multiplicado por el número tres que sería el
representante ahorita de los tres minutos transcurridos.
¿Okey?
Esa respuesta entonces puede ser dada desde nuestro pensamiento y puedo hacer
más preguntas que llega un momento ¿no?,
en que bueno pues el control mental pudiera no ser el apropiado y entonces
vale más la pena tomar el lápiz y escribir, ¿no?.
Ahorita lo que yo quiero hacer con ustedes es darle una evidencia, ¿no?
de cómo se puede escribir números nada más y después cómo se puede adquirir un
lenguaje matemático que nos permita operar con esos números.
Entonces si me acompañan ahorita puedo,
yo tengo aquí una manera de representar lo que les he estado proponiendo entonces
tengo mi versión de la estufa y ahí tengo yo mi olla que se está calentando.
Y entonces ahí sobre este dibujo, que pude yo hacer ¿no?
Vamos a poner algunos datos, o sea, los datos que dijimos que fueron ¿no?
Que la razón de cambio de la temperatura del agua va a ser
seis grados centígrados por minuto ¿no?
Bien, si yo no uso letras ahorita letras matemáticas,
yo nada más digo seis grados centígrados por minuto como si fuese un dato ¿okey?
Entonces pasaron tres minutos,
fíjense que pasaron tres minutos ¿cuánto aumento la temperatura?
Y la respuesta fue un 18.
Y eso podría estar a un nivel numérico, o sea,
un nivel que nada más diríamos a quien yo le digo le pongo un seis por un tres.
Y esto pasa mucho con los estudiantes,
es más no ponen seis por tres no más dicen es 18 ¿no?
18 grados centígrados aumentó la temperatura ¿okey?
Esta fue una primer pregunta ¿no?
Recuerden, esa pregunta fue ¿cuánto aumentó la temperatura dados los
tres minutos transcurridos, okey?
Ahora, si yo les preguntara o bueno lo siguiente vamos a suponer les voy
a dar un dato, voy a decir que a los dos minutos a los dos minutos
la temperatura es 50 grados,
digamos 50 grados, ¿okey?.
50 grados centígrados en nuestra olla con el agua, ¿okey?
Si esta es la situación les pregunto,
¿qué temperatura va a tener el agua a los cinco minutos?
Vamos a poner a los cinco, ¿qué temperatura tendría?
Probablemente en su cabeza ya esté haciéndose la operación necesaria.
¿Cuál sería esa operación?
Bueno, les voy a decir por si se lo pensaron ya, la respuesta es 68.
¿Okey?
¿Cómo voy a llegar yo a ese 68?
Lo que tengo que pensar es que yo tenía inicialmente,
bueno no inicialmente sino inicialmene a los dos minutos ya sabía que había 50
grados y a esos 50 grados le estoy agregando, ¿cuánto?
El cambio de la temperatura cuando pasaron de los dos minutos a los cinco minutos.
Pero, ¿cuántos minutos pasaron de los dos a los cinco?
Pasaron tres minutos y yo ya se que cada tres minutos la temperatura aumenta 18
grados.
Entonces, a este 50 le puedo agregar un 18 y entonces la respuesta del
estudiante típico es un 68 grados centígrados ¿no?
Esto es una simple suma, ¿okey?
Pero esta simple suma es un pensamiento que hemos querido recuperar en
nuestro discurso matemático porque aquí estamos diciendo que a un valor
que ya conocía le estoy sumando el cambio que tuvo la magnitud.
De tal manera que obtengo una respuesta de predicción.
O sea, si yo sé que a los dos minutos la temperatura es 50,
puedo predecir cuál va a ser el valor de la temperatura a los cinco minutos.
¿Cómo? Sumándole al valor que yo tenía
inicialmente, el cambio que sufrió la temperatura que es un dato que se
obtuvo acá con una simple multiplicación.
Entonces llegamos a los 68 grados centígrados.
Incluso pensándolo desde este punto de vista,
podríamos pensar ¿cuál era el valor inicial?
¿Cuál era el valor inicial de la temperatura?
Recuerden que cada vez que uno está analizando un fenómeno de la realidad,
uno tiene que tomar en cuenta el tiempo.
Bueno digamos, en este caso es el tiempo.
Pero que tiene que haber un origen, un inicio ¿no?
Entonces probablemente, siendo un tiempo lo más natural es tomar
un cronómetro por decirlo y decir mi tiempo cero,
es el tiempo en el que tengo el valor inicial de la temperatura.
Entonces el decir ahorita el valor inicial,
es como hacerles pensar ¿qué pasó cuando apenas fui y puse la olla, no?
sobre la estufa.
O sea, ¿qué temperatura tenía el agua?
Allí, si lo que yo sé es que a cada, a cada minuto
la temperatura aumenta seis grados y a los dos minutos la temperatura era 50 grados.
Entonces, hay estudiantes que ante esto lo que hacen es aquél regreso que les decía
como de brinco hacia atrás o sea ¿no?
Si era 50 grados y pasaron dos minutos, para que llegara a los 50 esos
pues esos dos minutos multiplicados por seis me darían 12 grados de diferencia.
Si son 12 grados de diferencia entonces probablemente,
no probablemente seguramente el valor inicial va a ser a 50 le quito el 12 ¿no?
y entonces me quedan los 38 grados, 38 grados centígrados.
Este cuadro donde estamos ahorita, se los he estado llenando
de preguntas y respuestas que se hacen con un simple cálculo aritmético,
¿no?, razonando sobre el contexto del problema.
¿Okey?
Ahora lo que quisiera es proponer otras preguntas y ver cómo usar nuestras
herramientas de matemáticas.
Para la organización en nuestro pensamiento también de toda esta
información.
Entonces yo los invito ahora a volver sobre nuestras X y
Y pero nuevamente en un contexto real.
Entonces ya no voy a usar la letra T de temperatura,
ni la letra t minúscula para el tiempo.
Lo que les propongo es que nos atrevamos ahora a decir que la Y, la variable
Y va a significar esa magnitud que estoy estudiando, en este caso la temperatura.
Y la variable X va a ser la magnitud de la cual depende la magnitud Y.
En este caso sería el tiempo.
Entonces podríamos organizar nuestra información diciendo,
Y significa temperatura y X significa tiempo.
¿Okey?
Entonces este es un paso digamos en la abstracción en la manera de representar,
de sintetizar la información utilizando la simbología matemática.
Lo que sabemos es que la Y depende de X, ¿de acuerdo?
Y este dato que tenemos aquí arriba, ¿este dato vendría siendo qué?
La razón de cambio de Y con respecto a X, razón de cambio que hemos escrito
en otras ocasiones como razón que es división de cambios, ¿okey?
Aquí sería ahora con mi letra Y y con mi letra X y que por otro lado,
ya hemos visto también cuando hemos usado nuestro software gramática, ¿no?
Que este dato de aquí es lo que estamos representando ahora como Y prima ¿no?,
de X la derivada de nuestra función, ¿okey?
Entonces siendo esta, esta elección de letras no de
variables yo puedo modelar, modelar la situación de la
variación de la temperatura con respecto al tiempo con una expresión lineal, ¿no?
¿Cuál sería esta expresión?
Pues la expresión que teníamos en la pantalla de la computadora, ¿recuerdan?
O sea, aquí tendríamos que poner el valor inicial de la temperatura.
¿Que cuánto sería?
Pues es un dato que ya sacamos acá, vamos a ponerlo aquí este 38 lo pongo
acá más la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo,
que es donde lo tenemos pues es este dato de aquí que es un seis,
que se va a multiplicar por el tiempo, ¿no?
En este caso representado con la letra X.
Y lo que obtuvimos es una función lineal, esta función lineal
seguramente nos pudo haber contestado las preguntas que teníamos acá.
Por ejemplo, pensemos ahorita en unas preguntas distintas, ¿no?,
para poder aprovechar mejor nuestro tiempo.
Qué tal si yo ahorita hago la pregunta, vamos a cambiarle el tono aquí, ¿no?
Para que veamos cómo se caracteriza este modelo lineal.
Piensen ustedes que vamos a preguntarnos número cuatro,
¿cuánto cambia, cuánto cambia la temperatura
entre los
cinco y los 5.5 minutos?
¿Okey?
Contestar esta pregunta sería como pensar en dos valores de la Y, ¿se fijan?
O sea, si yo expreso Y de 5.5 esto estaría
expresandome la temperatura a los 5.5 minutos.
Y si yo expreso Y de cinco,
esto estaría representandome la temperatura a los cinco minutos.
Y entonces la respuesta del cambio de la temperatura sería la resta
de estos valores.
Podemos hacerlo, utilicemos nuestra expresión Y de 5.5 sería un 38,
más seis por 5.5.
Y acá en cinco serían 38 más seis por cinco ¿no?
Y al hacer esta resta Y de cinco punto cinco menos Y de cinco lo que
tendríamos nosotros es un 38 más seis por
5.5 menos 38 más seis por cinco, ¿sí?
He dejado a propósito todas las cantidades,
no la opere aritméticamente porque quiero que observen algo.
O sea, al hacer esta operación este número 38 que tenemos aquí,
se va a cancelar con este por el signo negativo, ¿cierto?
Y acá nos quedaría el seis por 5.5 menos seis por cinco, ¿okey?
Esas dos cantidades sin multiplicar las podría
factorizar en seis que multiplica a 5.5 menos cinco.
Dirán ustedes esta se está complicando demasiado,
bueno alguna intención yo tengo aquí, ¿no?
De 5.5 a, 5.5 menos cinco es igual a punto cinco, me distraje un poco.
Y seis por punto cinco finalmente nos va a dar un número tres, ¿okey?
Este número tres que tenemos aquí nos estaría representando
el cambio de la temperatura cuando pasó el tiempo de cinco a 5.5, ¿okey?
Bueno, este razonamiento que está aquí me lleva ahora a proponerles
verlo desde acá, ¿no?
Verlo desde la razón de cambio ¿okey?
En el momento en que yo se que la razón de cambio de Y con
respecto a X es igual a seis, esto me permite operar
aritméticamente y decir, que el cambio de Y seis veces el cambio de X.
O sea, esta expresión me está diciendo la proporcionalidad
entre el cambio de Y y el cambio de X.
Esta constante de proporcionalidad es el número seis.
Cuando ocurre esto, se dice que estamos ante un cambio uniforme, ¿no?
Ese cambio uniforme está hablando justamente de
que la razón de cambio es constante.
Entonces pensando en esta expresión delta Y igual a delta X,
uno podría interpretar aquí la, la pregunta ¿no?
Y si yo se que pasaron de los cinco a los
5.5 minutos, ¿cuánto tiempo pasó?, ¿cuánto vale delta X?
Pues vale punto cinco, ¿no?
Entonces encontrar el cambio de la temperatura sería multiplicar seis
por punto cinco y eso nos va a llevar al número tres,
al que habíamos arribado haciendo el uso de nuestra función matemática ¿no?
como la tenemos acá.
O sea, si se fijan ustedes estamos tratando ahora ¿no?,
de darle el significado, el significado a este objeto que llamamos cambio, ¿no?
Cambio de Y entre cambio de X.
Estamos viendo como, caracterizando como un modelo lineal siempre
va a tener esta característica, ¿no?
de que la razón de cambio de una magnitud con respecto a otra es
constante y por ende el cambio de la magnitud es proporcional al
cambio de la magnitud de la cual depende, ¿no?
Hagamos una última aprovechando este espacio que nos queda,
hagamos una última pregunta utilizando nuestro modelo lineal.
Y preguntémonos ahorita, ¿cuánto tiempo hay que esperar para,
vamos a poner cuánto tiempo tarda para llegar a hervir?
Y vamos a suponer que el punto de ebullición,
aunque claro es algo que también varía según las condiciones ¿no?
Pero que sea a los 100 grados centígrados, ¿no?, que es típico de considerar.
Entonces pensemos ahorita, van a ser 100 grados centígrados
lo que necesito para contestar que llegue a hervir el agua.
En este momento estoy buscando que mi Y de X sea igual a 100.
Y me estoy preguntando por una X, ¿okey?
Esto me lleva a que, proponga que el modelo que tenemos acá, ¿no?
sea igual a 100.
De ahí pasamos el 38 del otro lado restando,
100 menos 38 y nos va a quedar aquí que seis X es igual
a cuánto le quitamos, a ver dos, 62 ¿verdad?, 62, sí.
Finalmente, X es igual a 62 entre seis o
sacando aquí una mitad sería que 31 tercios, ¿no?
Este 31 tercios, a ya llegamos a nuestros números racionales, ¿no?
Y si le pongo en la calculadora 31 tercios ya se que me va a decir,
¿cuánto me va a decir?
Ya aquí en mi cabeza ya pensé,
31 tercios es como tener 30 tercios y sumarle un tercio, ¿no?
Entonces sería como 10.33333, ¿no?, eternamente tres.
Bueno en términos del tiempo ahorita si que es fácil que uno pueda decir la
respuesta, porque estos diez serían diez minutos y
este un tercio de minuto significaría, ¿qué?
20 segundos, ¿no?
Entonces tendríamos diez minutos con 20 segundos
para que nuestra olla llegue al punto de ebullición.
Pues entonces en esta ocasión ya hemos trabajado un poco sin X y Y,
con X y Y, hemos hecho nuevas preguntas, hemos contestado también en términos
con estos objetos que hemos llamado el cambio de la Y y el cambio de la X.
Hemos contestado otra pregunta más,
aquellos números racionales que antes eran esa interminable, ¿no?
cifras decimales,
ahorita en el contexto del tiempo los pudimos poner con una respuesta compacta.
Yo los dejo hasta aquí,
me gustaría que en la próxima presentación retomemos otro contexto real,
ahondemos en nuestra notación matemática y seamos capaces incluso ahora de
hacer una representación gráfica que nos permita interpretar la información.
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