Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Un parámetro "k"... ¿un mismo efecto?
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Aplicaciones con cúbicas
Hablaremos de la aplicación conocida como la optimización de funciones considerando el Modelo Cúbico. Con ayuda de la tecnología, interpretaremos el efecto gráfico que se refleja al introducir un parámetro en la representación algebraica de ciertas funciones cúbicas.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues ahora, ¿qué nos falta? .
Si no regresar a nuestras imágenes visuales y ver esto que estábamos
platicando, de que algunas cúbicas le sumemos una parábola ¿no?
Cúbica más cuadrática fíjense así se llama esta animación, cúbica más cuadrática.
Cúbica más cuadrática, estoy pensando ¿por qué?
Porque tengo cúbica más cuadrática, pero al mismo tiempo tengo aquí su
derivada que a su vez es cuadrática. Y que no es esta cuadrática, se fijan.
O sea estoy teniendo una función cúbica que tiene un término cuadrático y
también en la imagen les he aumentado la derivada de esta función.
Y gracias a este software lo que estamos viendo es una animación.
Una animación donde simultáneamente estamos viendo la variación
de la función y de su derivada, ¿sí?
Pudiera hacer una imagen bonita pero más bonito es saber, entender ¿no?,
lo que está diciendo esa imagen.
Entonces a eso nos vamos a abocar. Voy a dar un clic ¿sí?,
y vean en este clic que dí, y vemos estas gráficas.
Yo esperaría you de ustedes a estas alturas que digan,
pues si.
O sea ciertamente, si aquí hay un máximo, aquí cruzó la derivada roja.
Fíjense digo, o sea aquí hay un máximo en la azul.
La roja cruzó de positivo a negativo, o sea aquí hay un mínimo en la azul.
La roja cruzó de negativo a positivo.
Si aquí hay un mínimo en la roja, aquí hay un punto de inflexión en la azul, ¿sí?
. O sea, esas conexiones entre función
y derivada son las que hacen del cálculo
una herramienta muy útil en la predicción ¿no?,
de magnitudes que varían ¿no?,
con respecto a otra, ¿no? .
Y la derivada de la magnitud es algo que está intrínseco
en la magnitud y que me dice como es ella ¿no?
Entonces ahorita que estábamos viendo esta
animación, podríamos pensar que pasa en una
zona como por ejemplo ¿no?, acá.
Vean, la diferencia que pasó ahora que puse este parámetro como dos
punto cuatro es que, se nos hizo algo como que equivalente ¿no?
O sea la parábola ahora sigue mostrándome un
máximo y un mínimo y un punto de inflexión.
Cuando nos movemos para acá, o sea como que el máximo se levanta.
Lo que estoy haciendo es que el parámetro crezca.
Si me muevo acá que el parámetro disminuya, entonces el
máximo se hace más abajo, está en una altura menor ¿no?,
llega un momento en que coincide el gráfico ¿no?,
con la cúbica.
Ese momento es ahí ven, donde las curvas se juntan y parece que ven como negro.
Y después de eso, you empieza la cúbica a desprenderse ¿no?,
otra vez para tener un mínimo.
Y entonces su parábola asociada va a tener aquí el corte, ¿no?
Y entonces mientras más nos movamos hacia acá, va bajando el mínimo.
Y pero el corte siempre va a mantener
esa relación con respecto a la gráfica azul ¿no?
Aquí es donde va a estar acá abajo el mínimo.
Aunque ahorita no lo vean.
Bien, you habíamos sacado nosotros las condiciones para el
caso en que teníamos el, justamente el acá, el menos tres que
es el que tenemos ahorita. Y entonces si ahorita regresan a nuestras
operaciones, nos dimos cuenta que en el cero y en el dos la derivada valía cero.
Ahorita viendo este gráfico podemos decidir en el dos
hay un mínimo, en el cero hay un máximo.
Y vimos que en el uno estaba el punto de inflexión.
Es el mínimo de la roja, o sea de la derivada
que corresponde con el punto de inflexión de la azul ¿okay?
Queríamos hacer esto en general, esto es un gran reto realmente ¿no?
Entonces me gustaría que me acompañen en estos procedimientos ¿no?,
y este, tratemos de hacerlo recordando lo que
nos pasó cuando lo hicimos con los números.
Porque al final de cuentas ese parámetro
es un número también.
Entonces si tomamos aquí nuestra expresión, estoy copiando la
que tengo acá en la pantalla, nuestra función ahorita que
estamos conociendo a profundidad es y igual a y de
x igual a x cúbica más k, por x cuadrada.
La que estamos llamando coloquialmente cúbica más cuadrática ¿no?
O cúbica más parábola ¿okay? .
Y entonces queremos saber si tiene máximo,
si tiene mínimo ¿no? .
Entonces para eso lo que vamos a hacer es derivarla.
Entonces al derivarla tenemos aquí nuestra mecánica, de bajar tres por x
cuadrada, bajar el dos por k por x, ¿okay? .
Después justificamos para sacar el máximo y mínimo, el
hacer que la derivada sea igual a cero y entonces
nos llevaría que tres x cuadrada más dos k por x sea igual a cero, ¿okay?
Y esta ecuación cuadrática no merece fórmula general, y eso es mejor ¿no?
Entonces vamos a sacar, ¿qué sacamos de factor?
Pues sacamos una x ¿no?, x que multiplica a tres x más dos k, ¿no?,
y esto va a ser igual a cero.
Y otra vez tengo el producto de dos números igual a cero.
Vean está pasando lo mismo que nos pasó con los números antes, ¿no?
Hacemos x igual a cero, hacemos tres x más dos k igual a cero.
De aquí podemos despejar, nos queda que tres x es igual a menos dos k.
De ahí que x es igual a menos dos tercios de k.
Las dos terceras partes de k negativo, es en donde la parábola va a cruzar,
o sea la derivada vale cero ¿no? .
Entonces you tenemos esos dos valores y por último,
tendríamos nosotros aquí el cálculo de la segunda derivada.
La segunda derivada sería la derivada de esta expresión
que nos quedaría, seis x más dos k, ¿sí?
Si andamos buscando los puntos de inflexión,
lo que andamos buscando son los máximos
y mínimos de la derivada, y por tanto lo que andamos buscando
es donde esta, que es su derivada, de la derivada es cero ¿no?
O sea la derivada segunda la tenemos que igualar a cero.
Y al igualar a cero nos queda que seis x es igual a menos dos k.
Donde x es igual a menos dos sextos de k, ¿sí?
O lo que es lo mismo menos un
tercio de k, ¿cierto? .
Y otra vez vemos la relación entre estos dos números, ¿verdad?,
porque estamos con una cúbica, ¿cierto? .
O sea como que esta es la mitad de este, ¿verdad?
Bien, aquí you podemos hacer decisiones, tomar decisiones, sabiendo
qué es lo que pasa con el parámetro k.
Si es positivo o negativo.
Ciertamente, si la k valiera cero, vamos a hacerlo este acá, explícito
¿no? .
O sea en el caso de la k igual a cero, este caso no tiene caso, ¿no?
¿Por qué no tiene caso? .
Porque si la k vale cero y pongo aquí un cero,
entonces lo que estoy viendo realmente es qué, mi cúbica ¿no?
Y mi cúbica pues you la conocemos a fondo, ¿no?,
a profundidad.
O sea no es más que la gráfica ¿no?,
la original que you teníamos siempre creciente.
Entonces no tiene caso que consideremos que
k vale cero ¿okay? .
Ahora en el caso de que k sea mayor que cero, en el caso de que k sea mayor que
cero, igual esto no va a afectar que siempre va
a aparecer el cero y menos dos tercios de k, ¿sí?,
como dos valores donde la derivada es cero.
Entonces podríamos decir que siempre va a tener un máximo y un minimo, ¿no?
. ¿De acuerdo?
. Es más, o sea cuando
esta k es mayor que cero, vean ustedes que esta x va a ser menor que cero, ¿no?
O sea, el caso de que k sea mayor que cero, esto va a ser menor que cero, y
entonces tendríamos que un corte de la parábola sería
en un x negativo, y también en el origen ¿no?
Cosa que vamos a comprobar con el software en unos momentos.
Nada más déjenme hacerles la aclaración
al final con este también.
Aquí si la segunda derivada es menos un tercio de k, y estoy en un análisis cuando
k es mayor que cero, pues entonces también
tengo que decir esto es menor que cero, ¿no?
Entonces esto me está diciendo que como que la
gráfica que andamos analizando, anda en la zona negativa, ¿no?
. Está en esa zona negativa ¿por qué?
Porque el punto donde va a haber máximo
y mínimo, el de inflexión van a ser negativos.
Por esto y por esto, ¿no? .
¿Okay?
Nos faltaría analizar nada más en el caso que la k sea menor que cero.
¿Qué pasaría si la k es menor que cero?
Necesariamente este valor de x sigue quedando, ¿no?
Nada más en este caso, ¿no?
Como la k you es negativa y este menos dos tercios es
negativo, pues aquí nos tendría que corresponder con un mayor que cero, ¿no?
. Lo mismo nos va a pasar acá abajo.
Un menos un tercio de k siendo k negativo,
nos va a quedar una cantidad mayor que cero.
Espero que con este tono negro si se distinga más.
Y entonces lo que podríamos decir nosotros es que, en el caso de una k negativa, la,
el máximo y el mínimo van a estar en cero y en un número positivo,
se fijan. Y el punto de inflexión también.
O sea se va a ver ese efecto que veíamos en la animación del gráfico, en
donde se veía que la curva o estaba en la zona negativa o en la zona positiva.
Yo creo que valdría la pena que volviéramos sobre el gráfico.
Vean ustedes en donde lo habíamos nosotros parado ahorita, en menos tres, ¿no?
Pero vamos a dejarlo que se mueva.
Esto es lo que les digo, fíjense ahora en el parámetro,
es negativo.
Mientras sea negativo el parámetro, como que la curva está del lado positivo ¿no?
Y cuando el parámetro es positivo, la curva anda del
lado negativo, la voy a poner más en el centro ¿no?
Fíjense ahorita, la k es negativa, la curva anda del lado positivo ¿no?
La k es positiva y la curva anda del lado negativo, ¿no?
Me paro en alguno de ellos.
Y por ejemplo aquí observo lo que decíamos, ¿no?,
siendo una k positiva el máximo estaría en, si
estoy leyéndolo acá, en menos dos tercios de k ¿okay?
Y el mínimo en el cero y el punto de inflexión en menos un tercio de k ¿okay?
Donde la k es positiva, por eso ese menos la hace negativo a las cantidades.
Por otro lado si le dejo la animación y me quedo
por ejemplo aquí, ¿no?,
entonces tendríamos nosotros esta situación y podríamos
decir que ahora nuestra k es negativa.
Y tendríamos en el cero un máximo, ¿verdad?,
y en menos dos tercios de k un mínimo ¿no?
Ahorita digo menos dos tercios de k, pero esta k es negativa.
O sea que ese menos dos tercios con la k negativa,
me va a quedar una cantidad positiva
como efectivamente se está viendo aquí, ¿de acuerdo?
Por su parte el punto de inflexión estaría justamente en este lugar, en donde la
derivada tiene su mínimo, ¿no?, que sería menos un tercio de k.
Donde siendo la k negativa, menos un tercio por menos tres punto cuatro,
va a salir algo positivo como era de esperarse en esta zona, ¿no?
Estamos en
la zona positiva, ¿no? .
Entonces con esto lo que hemos hecho es ver de manera general, ¿no?,
lo que está pasando, ¿no?, con este tipo de gráficos.
Esta animación que estamos viendo ahorita, you no es digamos una sorpresa, ¿no?
. you no es una sorpresa, ¿por qué?
Porque estamos viendo que no es solamente curvas que se están moviendo, ¿okay?
Son curvas que están entrelazadas
entre sí.
Son curvas que tienen información matemática ¿no?,
entre ellas. Y que esa información matemática, si este
lo vemos acá en el papel, esa información matemática está también aquí, ¿no?,
dentro del papel.
Un papel que me está diciendo también, ¿no?,
diferentes cosas a medida que yo veo aquí valores positivos o negativos
de la k. Hay un parámetro.
El manejo de los parámetros dentro de
las expresiones matemáticas es realmente una necesidad.
Y si bien ustedes recuerdan, o sea siempre en nuestro discurso hemos retomado, ¿no?,
que nos importa que el lenguaje simbólico en matemáticas, sea
para ustedes una herramienta en el aprendizaje de las matemáticas.
Por otro lado,
estamos conscientes de que ese manejo no es sencillo, ¿no?
Entonces espero que con este tipo de trabajo que hemos hecho.
Vean ustedes lo hicimos con números y luego ahora con las letras, ¿no?
Espero que este tipo de trabajos con ustedes y su conexión con lo gráfico, sea
digamos un medio para que, ustedes puedan habituarse, ¿no?,
en este manejo del lenguaje simbólico
que sea más fluido ¿no? .
Porque necesariamente hay que aprender a hablar
con el lenguaje de las matemáticas ¿no?
. Y pues para eso que mejor ¿no?,
que mejor ¿no?,
que estar practicando, ¿no?,
y detallándoles cuando hay digamos problemas al respecto, ¿no?
Este ha sido nuestro objetivo dentro de este curso.
Yo creo que ahorita hemos conocido
más a fondo a nuestra función cúbica.
Ciertamente no le agregamos otro término, you lo habíamos manejado con anterioridad.
Pero pues me parece que es un buen
momento you, para que en nuestro siguiente video podamos
hacer un resumen completo de lo que este
modelo cúbico representa desde el punto de vista matemático.
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