Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. Se propone la reinterpretación de los contenidos matemáticos relativos a Modelos con Radicales y Exponentes en términos de nociones y procesos del Cálculo Diferencial. Esto servirá como puente para el desarrollo de un pensamiento matemático avanzado con el que se trabajará en la Matemática Universitaria. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Argumentamos la regla del producto
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4.- El Cálculo - Otros Modelos
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Reglas de derivación
Hablaremos de las Reglas del Producto, Cociente y Cadena para dar cabida al estudio de otros modelos matemáticos en cuya representación algebraica aparecen exponentes negativos y/o fraccionarios. Practicaremos con las Reglas y apreciaremos los aportes de tecnología especializada en este proceso.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues continuamos ahora y estamos iniciando nuestro tema de otros modelos y,
otros modelos matemáticos y bueno, pues
es necesario que les haga algunas aclaraciones
al respecto de cómo podemos abordar este estudio de otros modelos, que
realmente van a ser unos pocos, pero que pienso que son importantísimos, ¿no?,
para que ustedes vayan bien
preparados a un curso de cálculo you con todas
las de la ley, donde, digamos, incluso lo conozcan, ¿no?,
conozcan a la matemática como un
sistema conceptual lógicamente estructurado u organizado.
Entonces, al respecto me gustaría hacer algunas precisiones sobre el papel, ¿sí?
Y este, iremos avanzando en este sentido hasta
que les logre presentar a estos nuevos modelos, ¿okay?
Entonces, si me siguen en el papel, o sea, hasta
ahorita hemos hablado de los modelos lineal, cuadrático y cúbico.
Realmente estos modelos son modelos particulares
de un modelo más general que en
matemática se llama un modelo, voy
a escribirlo aquí, modelo polo, polinomial, ¿sí?
El modelo polinomial con nuestro último video
ustedes you pueden estar seguros que lo
conocen en su totalidad, en el sentido que, de que cuando invento
una función por ejemplo de grado 5, digamos
un menos 3x quinta más 8x cuarta menos 2x.
No tengo por qué poner x cúbica o you x cuadrada, pudieran ser 0, ¿no?
más 7, ¿no?,
por decir, ¿okay? Una función como esta, you sabemos
que aquí implícitamente en estos coeficientes están sus
derivadas, incluso en el coeficiente de x cúbica
que es un 0, y en el coeficiente de x cuadrada, que es un 0, ¿okay?
Entonces estas funciones están bien caracterizadas
desde el punto de vista matemático.
Si comenzamos a derivarlas llega un momento en que
eventualmente llegaremos a que una de las derivadas suce,
sucesivas, perdón, es igual a una constante, y de
ahí para adelante todas las demás derivadas son 0.
Durante algún tiempo se pensó que esto
eran los únicos modelos matemáticos que existían, ¿hm?,
y realmente en cierto sentido, sí, cuando se desarrollaron las series de potencias.
Pero igual, esa es otra historia con la que podrán convivir posteriormente.
Lo que yo quiero hacer de ustedes claro ahorita es que los otros
modelos de los que les quiero hablar son modelos en donde trabajaré un poco con
estas potencias porque veo que también, en cuanto
a álgebra, esto de las los exponentes, ¿no?,
con fracciones o dos exponentes negativos es
algo que ofrece sus buenas dificultades, ¿okay?
En el momento en que yo escriba x a la menos 1,
¿no?, ¿sí?,
you no es una función de este estilo.
Aquí el exponente es negativo y you es otra cosa diferente de lo de acá.
Si yo escribo x a la un medio, también.
O sea, este exponente, al no ser un número natural, ¿no?,
you no es, digamos, una, elemento de estos términos.
Entonces son cosas radicalmente distintas.
Vale la pena que las estudiemos porque vale la pena que ejercite con ustedes esto
del manejo de los exponentes fraccionarios y negativos, ¿okay?
Entonces, en ese sentido, pues, estudiaremos estos otros modelos.
Sin embargo, quisiera que los estudiemos también
desde el punto de vista de cálculo.
O sea, vean cómo en nuestro discurso el álgebra,
la geometría analítica o la geometría incluso, ¿no?,
y el cálculo, son cosas que hemos estado intercalando, ¿no?,
tratando de que los objetos, los modelos matemáticos sean para
ustedes algo más reconocible desde los diferentes puntos de vista, ¿no?
Y, complementar así, ¿no?, la información que tengan sobre ellos.
Entonces, para poderles
hablar de las derivadas de este, de estos modelos, o sea, voy a tener que hablar
de lo que en cálculo se conoce como las reglas de derivación.
Es importante que ustedes you tengan un manejo de estas reglas.
Puede ser que desde la misma preparatoria you les hayan enseñado la
derivada de la suma, resta, producto, cociente en la regla de la cadena.
Probablemente estos temas les suenan, ¿no?,
familiares.
Bien.
Ahorita lo que yo quiero con ustedes es recordarlos.
Si ustedes bien recuerdan, nosotros hemos visto que la made, matemática
tiene su parte como sistema conceptual lógicamente estructurado.
No es esa parte la que yo pretendo
aquí utilizar para convencerles de las reglas de derivación.
Yo quiero convencerles
de estas reglas más en otro sentido intuitivo, ¿no?
Y en dado caso, hacer uso de que sé que muy probablemente you han manejado
estas reglas porque es lo que comúnmente se maneja en la preparatoria, ¿no?,
cuando se habla de cálculo, ¿okay? Entonces, en ese sentido permítanme
hacer cierta argumentación que me lleve a recordarles la regla,
por ejemplo, del producto, ¿okay?
Para la regla del producto hm, me propongo yo hacerles un comentario, ¿no?
¿Qué pasa con los estudiantes?
Cuando tenemos una expresión, por decir, ¿sí?,
digamos una expresión del tipo y igual a x cuadrada
menos 1 más x cuadrada más 1, ¿sí? Vean ustedes ahorita.
Esta expresión
es muy simple, y si les pido la derivada, nuestra acción
cognitiva es simplemente poner 2x más 2x.
O sea, como que en nuestra cabeza implícitamente derivo aquí y
luego le agrego lo que es la derivada de acá, ¿de acuerdo?
Esta simplicidad en este razonamiento, que es válido
desde el punto de vista de las matemáticas,
luego nuestra mente lo puede extrapolar y lo
puede aplicar en situaciones donde you no es válido.
Entonces resulta que, cuando propongo a veces x
cuadrada menos 1 por x cuadrada más 1, ¿no?,
a los estudiantes si les pido derivar, entonces la acción
que ellos realizan es algo así: 2x por 2x.
O sea, ¿qué es lo que se está haciendo aquí?
Está haciéndose lo mismo que se hizo acá desde el punto de vista cognitivo.
O sea, saco la derivada de este, la pongo. Saco la derivada de este y la pongo.
Si antes había un signo de más, bueno, pues aquí hay un signo de por, ¿no?
Y entonces la respuesta es un 4x cuadrada, ¿okay?
Realmente, desde el punto de vista matemático, tendría yo que traerme mi
marcador rojo y decir, mal, ¿no? O sea, esto es un error,
es un error digamos garrafal desde el punto de vista matemático, ¿no?
Sin embargo, les digo, nuestra postura con la investigación educativa es que
este tipo de error sí está,
digamos condicionado por una práctica anterior, ¿no?,
que sí dio resultados. Entonces, esas son las cuestiones que en
la simbología matemática les digo yo que son muy importantes de considerar.
A veces esto puede estar manejado a un nivel, ¿no?,
cognitivo, ¿no? muy automatizado, muy visual incluso.
¿Por qué no si le pongo aquí esta y esta acá, por qué no voy a hacer lo mismo acá?,
¿no?
¿Cierto? La cuestión es que
el fundamento de esto o la justificación de
esto tiene que ser el de la teoría, ¿okay?,
el de la teoría matemática, ¿no?,
que ha demostrado un teorema y que nos dice eh, que para
derivar un producto no se procede multiplicando las derivadas, ¿okay?
¿Cómo podría yo, este, tratar de convencerles sobre esto, en la derivada
del producto comparando con la de la suma?
Síganme en este pensamiento tan simple a ver si esto ayuda a que cuando haya
que derivar un producto, no apliquen esto de estar multiplicando derivadas, ¿sí?
Piensen que tengo dos magnitudes, o sea, una
magnitud va a tener color este, morado, ¿no?,
y esa magnitud vale 2, y luego va a valer 5,
¿okay?
¿Cuál es el cambio que sufrió esa magnitud?
Pues el cambio es un 3, ¿no? 2 más 3 da 5, ¿okay?
Tengo otra magnitud naranja que antes era 3 y
luego es un 7, digamos, ¿sí? ¿Cuál es el cambio que
sufrió esa magnitud? Pues es de 3 a 7 es un 4, ¿no?
¿Okay?
Si ahora yo hago la asociación de ambas, ¿no?,
de ambas magnitudes y las pongo con otro
color, vamos a poner aquí con un azul, ¿no?
Si asocio ambas magnitudes, estas dos, y digo, ahora voy a pensar una nueva
magnitud que va a ser 2 más 3, o sea, 5. La suma de estas dos.
Y esta nueva magnitud
va a cambiar. Ahora va a ser 5 más 7.
O sea, va a ser más 7, ¡ay, me equivoqué!
5 más 7. O sea, va a ser un 12.
Yo you estaba pensando en el 12, ¿no? 5 más 7 es 12.
Entonces, ¿cuál es el cambio que sufrió esta
magnitud que es la suma de las dos anteriores?
El cambio es igual a, de 5 a 12, ¿cuánto nos da?
Pues nos da 7, ¿no?
¿De acuerdo? En este momento, este número 7 que está
aquí, sí podemos verlo como eh, la suma de este 4 con este 3.
¿Se fijan? O sea, sí hay esa coincidencia, ¿no?,
porque la magnitud que estamos considerando es una suma.
¿De acuerdo?
Pero ahora, ¿qué pasaría si consideramos, vamos
a cambiar acá el color por este verde,
entonces, si consideramos ahora un producto?
O sea, estas dos magnitudes, la na, la
morada y la naranja, las vamos a multiplicar.
Entonces tendríamos el valor 2 por 3.
O sea, tendríamos un 6. ¿Cierto?
Y al final cuando sufrieron el cambio las dos,
tendríamos un 5 por 7, que da tanto como 35,
¿verdad? Entonces, aquí hubo un cambio, ¿cierto?
Y ese cambio va a ser de 6 a 35.
El cambio nos va a dar entonces tanto como, ¿cuánto?
Tanto como eh, 29, ¿no? 29 es el cambio, ¿sí?
Ahora, chequen este 29 y compárenlo con el producto de 3 y 4.
Y you no es ese 12.
Como acá sí nos salió 3 más 4 da 7.
3 por 4 da 12 y no es el cambio que sufrió el producto de las magnitudes, ¿sí?
Con esto, lo que quisiera yo hacerles entender es
que cuando consideramos el producto de las mat, magnitudes,
la variación de ellas como producto, you no es
tan simple de estudiar como la variacion cuando simplemente
se sumaban, ¿no?
Esto es algo que me recuerda
incluso cuando aprendimos las operaciones aritméticas, ¿no?
Cuando yo puedo sumar un segmento con otro lo que hago es esto, ¿se fijan?
Si un segmento era antes a, y luego es b, luego es a más b, ¿sí?
Si alguno de estos segmentos cambia, como que yo puedo poner ese cambio
de este lado, y lo pongo de, de este lado y nada más.
Entonces, todo cambió, digamos, en la suma de los dos cambios, la longitud original.
Pero cuando estoy haciendo una multi, multiplicación, tengo algo
así aquí y tengo algo así acá, una b acá.
Entonces al multiplicar aquí you se genera un área, ¿se fijan?
Y entonces los cambios que se, que sufren las dos magnitudes
you afectan en estas direcciones de tal manera que me puedo imaginar
aquí como un este, como un rectángulo, ¿no?,
que está ampliado, ¿no?,
por estos, estas partes, ¿no?,
y esas partes van a aportar a lo que sería el producto de la magnitud completa, ¿no?
No es tan simple como esto de acá, ¿no?
Entonces, en ese sentido a lo mejor con esto
you estén ustedes los suficientemente motivados al menos a no
hacer una multiplicación de las derivadas de los cambios.
Y por otro lado quisiera que acepten eh, o
reconozcan, lo que se llama la regla del producto.
¿Cómo dice esa regla del producto?,
¿no? Vamos a ponerla así: del producto.
Esa regla nos va a decir que, cuando tengamos eh,
por ejemplo eh, la mu, función que teníamos hace ratito,
y igual a, prefiero mostrárselos con con los ejemplos ahorita, ¿no?
El producto de dos magnitudes, ¿no?,
esta y esta son como si yo tuviera eh, aquí la a y la b, ¿no?
¿Sí?
O tuviera el 2, la magnitud morada y la magnitud naranja, ¿no?
Entonces aquí tengo morado y naranja, ¿no?
Tengo esa multiplicación.
Entonces, la derivada del producto nos dice que para encontrarla tendríamos que
poner la primera expresión, ¿sí?, multiplicar, o sea, la primera acaba aquí.
Multiplicar por la derivada de la segunda, que es esta, 2x, más la segunda
expresión que es x cuadrada más 1, multiplicada por la derivada
de la primera, que es un 2x, ¿sí?
Si esto you lo recuerdan de la preparatoria,
primero por derivada de segundo, más segundo por
derivada de primero, eso es lo que tiene
que ver con esta variación en este rectángulo, ¿no?
En esta afectación del área, ¿okay?
Y entonces al hacer las operaciones, ¿qué nos va a quedar?
2x cúbica menos 2x, más 2 x cúbica más 2x.
Estoy haciendo
la multiplicación, ¿sí? Aquí.
¿Y ahora qué nos va a quedar?
Este se va a ir con este y entonces nos va a quedar 4x cúbica, ¿okay?
En este momento, 4x cúbica sí es la respuesta
correcta y tenemos la manera de comprobarlo, ¿por qué?
Porque si se nos ocurre acá multiplicar estos
dos, tendríamos la diferencia de cuadrados, x cuarta
menos 1. ¿Cierto?
Entonces, directamente de aquí ustedes pueden comprobar
que hemos llegado a la respuesta correcta, ¿Ok?
Entonces, con esto, ¿qué es en lo que hemos quedado en este video?
En este vídeo hemos quedado en poner atención
en cómo multiplicar el producto de magnitudes, lo
que hemos es recordado algo que muy probablemente
ustedes you lo sabían, que para derivar el
producto la regla dice, hay que colocar
la primera expresión, la primera función, por la
derivada de la segunda, más la segunda
expresión por la derivada de la primera, ¿no?
Lo comprobamos en un ejercicio, en un problema que
podíamos hacerlo, porque teníamos oportunidad de hacer esta multiplicación.
Pero claro que esta regla la vamos a aplicar
cuando los términos que tengamos aquí en el producto sean
cada vez más y más complicados, ¿no?
Yo les espero en el siguiente vídeo porque
tendremos también que recordar la regla del cociente.
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