Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. Se propone la reinterpretación de los contenidos matemáticos relativos a Modelos con Radicales y Exponentes en términos de nociones y procesos del Cálculo Diferencial. Esto servirá como puente para el desarrollo de un pensamiento matemático avanzado con el que se trabajará en la Matemática Universitaria. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Derivemos pero volvamos a las gráficas
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4.- El Cálculo - Otros Modelos
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Consejos algebraicos sobre derivadas y gráficas clásicas
Hablaremos del proceso algebraico de cálculo de derivadas y de las complicaciones a que da lugar con el fin de minimizar dificultades seguiendo los consejos planteados. Hablaremos además de modelos matemáticos clásicos cuya gráfica se asocia con curvas clásicas como parábolas, círculos y elipses.
Meet the Instructors
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues como quien dice al mal paso darle prisa, ¿no?
Vamos a, a hacer esta derivada con todo lo complicado que parece.
Vean ustedes, eh, la expresión que teníamos en el vídeo pasado, ¿si?
Acuérdense que hay que hacer un común denominador,
sacar un común denominador para esta parte de arriba.
Estamos trabajando la parte de arriba que, por otro lado,
bueno igual y pudiera habérselas puesto acá, este habiendo trabajado esta x con
esta x para que vean ustedes aquí hay un x cuadrada entre el radical, ¿si?,
y todo esto esta entre este radical al cuadrado pero, o sea,
radical al cuadrado nos va a quedar solamente x cuadrada más uno, ¿si?
Estoy con esta expresión por que, les digo, he observado que visualmente,
¿no?,
como que esto invita a bajar este término para acá y eso no es
posible por que el no es un denominador de toda la expresión en el numerador.
Entonces vamos a hacerlo que sea un denominador de toda la
expresión y eso se logra cuando sacamos este como común denominador.
Entonces es el entre un 1 que esta aquí queda el por este radical de
acá nos va a quedar ese radical de x cuadrada más 1 pero va
a estar al cuadrado y con eso las cosas se van a ver mejor, ¿no?
Luego, ¿qué seguiría?
Este radical entre el mismo me da 1, ¿no?
Por lo que tengo arriba pues me va a quedar nada más menos x cuadrada, ¿okay?,
y todo esto va a estar entre x cuadrada más 1, ¿no?
Entonces cuando hacemos esta operación acá en el numerador
vean ustedes que este radical al cuadrado queda simplemente
x cuadrada más 1 Luego sigue menos x cuadrada
y todo esto está entre radical de x cuadrada
más 1 y aquí nos queda nuestra división, ¿no?,
que teníamos antes entre x cuadrada más 1.
Ahora si, extremos por extremos, medios por medios, ¿no?,
podríamos trabajar esta expresión de tal manera que, ¿qué nos va a pasar?
Esto que está acá arriba se va a quedar solito arriba y si hacemos
la operación x cuadrada más uno menos x cuadrada nos queda un 1, ¿de acuerdo?,
y en la parte de abajo tendríamos x cuadrada más 1 por raíz de x
cuadrada más 1 que es justamente la expresión
algebraica que trabajamos en un vídeo anterior, ¿no?
O sea, yo puedo escribir esto así o puedo simplemente decir 1 entre x cuadrada más 1
a la, ¿cuánto? A la 3 medios, ¿no?
Entonces hemos logrado you encontrar nuestra derivada para esta función.
Aquí está la expresión, ¿si? Hemos derivado bien.
Me gustaría que ahora acabemos este ejercicio.
Metiéndolo en Gramphática y viendo cual es la gráfica de esta función, ¿no?,
cuya expresión es y igual a x entre radical de x cuadrada más 1.
Entonces yo
creo que me acompañan acá en la
computadora para que metamos esa expresión en Gramphática.
De hecho, creo que you la tenía por aquí tecleada, a ver.
Aquí esta justamente.
Vean es x entre x cuadrada más 1 a la 0.5.
Le puse aquí a la 0.5 y vean la gráfica que observamos, ¿no?
Es una gráfica que, eh, sí, así viéndola nada
más uno diría, es creciente en todos, todos los reales que es todo su dominio.
¿Qué otra cosa podemos notar de ella?
¿Un máximo?
Yo no veo. ¿Un mínimo?
Yo no encuentro, ¿no? ¿Punto de inflexión?
Yo diría que este 0 es el punto de inflexión por
que observo que aquí hay concavidad arriba y luego concavidad abajo, ¿no?
O sea, sería, digamos, en un sistema coordenado apropiado
esa sería una magnitud que está creciendo que primero crece cada
vez más rápido pero después continúa creciendo cada vez más lento, ¿no?
Es más, parece que se estabiliza en el valor 1, ¿no?
O sea, como que esta curva tiende, ¿no?,
a la altura 1, ¿no?,
a quedarse you en esa, en esa misma altura, ¿no?
Ahora, eh, la información que estamos viendo
ahora en gráfico es información que nos dio
la derivada y sí se acuerdan ahorita de la fórmula de nuestra
derivada es 1 entre x cuadrada más uno a la 3 medios.
O sea, yo le puedo decir a Graphmática, derivale, y ahí esta la derivada, ¿no?,
y entonces vean ustedes lo que pasó con esta expresión.
La gráfica de 1 entre x cuadrada más 1 a
la 3 medios es una gráfica que siempre es positiva, ¿no?
Se nota la expresión también lo dice por que tengo
un 1, que es positivo, entre algo que es positivo, ¿no?
Positivo entre positivo da positivo.
Entonces lo que la gráfica roja esta encima, encima del eje horizontal, ¿no?,
me dice que la gráfica azul siempre va a crecer, ¿no?,
por otro lado el que la gráfica roja tenga aquí su máximo, ¿no?,
eso me va a decir que aquí esta justamente
el punto de inflexión, entonces, y no hay otro máximo en la gráfica roja, ¿no?
Entonces podríamos decir que tenemos razón en el
sentido de que aquí hay un punto de inflexión.
Cortes con el eje horizontal, vean ustedes que esta gráfica no los tiene esos cortes,
o sea, siempre es una función que se va a, digamos, a estabilizar a la altura 0.
Ese tipo de comportamiento asintótico
tendrán oportunidad en un curso de cálculo you, ¿no?,
de verlo más a fondo, ¿no?
No sería ahorita el momento para poder trabajar con esas expresiones, ¿no?,
pero la podemos observar en el gráfico. Vean que este gráfico tiende hacía la
altura 0 y eso hace que este gráfico tienda hacia una altura constante, ¿no?
Como que la derivada tiende a ser 0, la función tiende a ser
una constante, ¿no?
Entonces, con esto you tendríamos, digamos, este visto, interpretado
también el proceso algebraico que hicimos acá de la derivada.
Eh, tenemos con ello you muchos modelos matemáticos que podemos
meter en el software y analizar, podemos derivarlos y comparar, ¿no?,
entre si con lo que el software nos da.
Esa era la intención ahorita de
introducir ahorita este software como Graphmática, ¿no?
Me gustaría que antes de terminar con este tema, ¿no?,
de estos modelos básicos, ¿no?,
modelos clásicos, eh, viéramos la, ciertas gráficas, ¿no?,
con Graphmática incluso, ¿no?
que you hemos estado nombrando pero que, bueno, podríamos familiarizarnos
un poquito con ellas desde el punto de vista visual.
Entonces déjenme abrir otro documento de Graphmática y
en este documento les voy a pedir que introduzcamos,
ustedes pueden hacerlo también, ¿no?,
introduzcamos y igual a x, le voy a poner a la, ¿no?,
menos 1, ¿si?
O sea, vamos a usar nuestros exponentes negativos.
Entonces yo escribo x a la menos 1, lo están viendo
ustedes aquí, y ustedes tienen que interpretar 1 entre x, ¿no?,
y la gráfica es la que tenemos ahorita en este tono azul.
Vean como esta gráfica también
presenta este tipo de comportamiento asintótico, ¿no?,
en la vertical y en la horizontal, en ambas.
Realmente es una curva conocida como hipérbola, ¿okay?,
y, bueno, pues tiene esta particularidad que cuando tenemos valores
de x muy pequeños, al dividir 1 entre algo muy
pequeño se hace muy grande por eso se van estos,
estos valores acá tendiendo a infinito y por otro lado
cuando la x es muy grande, 1 entre algo muy grande se hace
muy pequeño y entonces por eso la curva se pega al eje horizontal.
Como que se, se acerca a la altura 0.
En el 1 vale 1 la función. En 2 vale un medio.
En un medio vale 2, ¿no?
Todos esos son puntos, digamos, claves, ¿no?,
para entender a este gráfico de 1 en x. Ahora, ¿qué pasa,
esa es nuestra, una primera básica, ¿no?,
y que you sabemos derivarla, ¿qué pasa si le ponemos
en lugar de a la menos 1 a la 0.5?
Hm.
Al poner a la 0.5, esta también you la sabíamos
derivar y vean el gráfico realmente es la mitad de
una parábola pero una parábola que era completa como se
las estoy tratando yo de dibujar aquí con el cursor, ¿si?
O sea, realmente la parábola era y cuadrada
igual a x, ¿okay?
O sea, la mente que ahorita se está partiendo en
dos para poder verla como la gráfica de una función.
Sí la parábola estuviera completa hasta acá eso no
podría ser la gráfica de una función por que piensen
que una función es algo como lo que nos ocurre
con la posición de la partícula o de nuestro personaje.
No puede ser que en un tiempo determinado la posición tome dos valores distintos,
¿no?
No puede ser que esté el chico Tec aquí y al mismo tiempo en otro lado.
Eso todavía no lo hemos logrado los humanos, ¿verdad?
Entonces, ahorita la función matemática es una función tal
que en cada valor del domino, en este caso del
tiempo, tenga un, un valor de la imagen, o sea, la y o, en dado caso, de la posición.
Entonces esta es nuestra gráfica.
Ustedes pueden ver que es una gráfica que solo
toma valores en los números positivos, que
es creciente, que es concava hacía abajo, ¿okay?
No se le ven máximos ni mínimos ni puntos de inflexión, ¿okay?
Por otro lado, la última curva que si
quisiera que ustedes trajeran a su mente, ¿no?,
así como una imagen espontanea you es una que tendría el exponente a
la un medio pero le vamos a poner aquí un paréntesis y vamos
a ponerle un 1 menos la x y a la x le vamos a poner también que esté al
cuadrado y después que esté al cuadrado entonces ponemos el
paréntesis y todo va a estar a la 0.5, ¿no?
Entonces, ¿qué es lo que estoy escribiendo?
Estoy escribiendo radical, ¿verdad?, de 1 menos x al cuadrado,
¿no?
Radical de 1 menos x al cuadrado tiene una gráfica
como esta se trata de la mitad de un círculo, ¿si?
Ahí se ve así como que un poquito más chaparrito, ¿no?,
el círculo pero realmente es la mitad de
un círculo como lo podemos comprobar algebraicamente, ¿no?
Vamos a ver si nos deja ahorita hacerlo.
Quería antes para, para ver con el software, ¿no?,
poder utilizarlo.
Vean ustedes lo que pasa sí en lugar del 1 le pongo un 4
y entonces el gráfico ahora sería la mitad del círculo pero de radio 2, ¿okay?,
y bueno puse 4 por costumbre pero no los quiero mal acostumbrar.
Puedo ponerle aquí un raíz de un 6.
you se que 6 no tiene raíz exacta pero, esa
raíz exacta como entero, pero que la tiene si la tiene.
O sea, la raíz de 6 es raíz
de 6.
Entonces sí pongo raíz de 6 ese es el número real, ¿no?,
que me esta denotando este radio, ¿okay?
Entonces, estas curvas, ¿no?,
son las que quisiera que estudiáramos nosotros, eh, con detalle vamos a tomarle
aquí una imagen para estas curvas y vamos a poner sus expresiones algebraicas, ¿si?
Acabamos así con este vídeo y entonces las retomamos
pero las retomamos, ¿no?,
para ver algunas cuestiones de corte gráfico, ¿no?,
con ellas.
Entonces, ¿cuáles son los objetos que yo quisiera que manejemos por un ratito?
El objeto, función y igual a 1 en x, recíproco de x.
Este es un recíproco de x, eh, sería la
gráfica que tenemos en este tono azul, ¿de acuerdo?,
luego vamos a estudiar, bueno pues you no
nos deja el otro color, pero vamos a ponerle
con un color primero rojo, eh, vamos a
poner esta gráfica que está aquí que sería, ¿qué?
Y igual a x que decíamos es una media parábola, ¿no?,
la mitad de una parábola que se abre hacía la derecha, ¿okay?,
y por último vamos a tomar este, el caso de las tres que estaban acá
que, bueno, había distintos valores y sería el caso de tener y igual a la raíz.
Puse un 1 luego puse un 4 luego puse un 6, ¿no?,
todo esto menos x al cuadrado, ¿no?
Entonces, estas expresiones ahorita están viendo la forma gráfica,
están viendo la forma que tiene la expresión algebraica.
Son expresiones sobre las que me gustaría, ¿no?,
en el siguiente vídeo, que podamos trabajarlas un
pun, un poquito desde el punto de vista algebraico.
Esas las sabemos derivar, ¿eh?
¿Por qué las sabemos derivar?
Pues porque you tenemos nuestras reglas, eh, de la
potencia y tenemos también nuestra regla de la cadena.
Entonces, incluso lo que podemos ver gráficamente o visualmente lo
vamos a poder comprobar con nuestros procesos de derivación, ¿no?,
pero por lo pronto, bueno,
pues yo los dejo aquí en este vídeo.
Los invito a que para el próximo vídeo, sí no lo tienen
aún pues adquieran el software que hemos estado manejando para la iPad, ¿no?,
en donde vamos a tener un graficador.
Un graficador que, que es libre, ¿no?, y que nos va a permitir ver todas estas
imagenes las vamos a poder ver ahí en el graficador y vamos a estarlas moviendo.
Entonces, sí ustedes
no lo tiene, eh, traten de conseguirlo para el siguiente vídeo y para
que me puedan seguir en las cosas que vamos a hacer juntos, ¿no?,
en, en ese graficador.
Entonces los espero en el próximo vídeo.
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