Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki iki derslik dizinin ikincisidir. Birinci ders türev ve entegral kavramlarını geliştirmekte ve bu konulardaki problemleri temel çözme yöntemlerini sunmaktadır. Bu ders, birinci derste geliştirilen temeller üzerine daha ileri konuları işlemekte ve daha kapsamlı uygulamalar ve çözümlü örnekler sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelen uygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla” tasarlanmıştır. Bölümler Bölüm 1: Multivar 1'in Özeti, Dairesel Koordinatlarda Entegraller Bölüm 2: Türev Uygulamalarından Seçme Konular Bölüm 3: Çok Değişkenle Zincirleme Türev ve Jakobiyan Bölüm 4: Uzayda Yüzey ve Hacım Entegralleri Bölüm 5: Düzlemde Akı Entegralleri Bölüm 6: Düzlemde Green, Uzayda Stokes ve Green-Gauss Teoremleri Bölüm 7: Stokes ve Green-Gauss Teoremleri ve Doğanın Korunum Yasaları ----------- The course is the second of the two course sequence of calculus of multivariable functions. The first course develops the concepts of derivatives and integrals of functions of several variables, and the basic tools for doing the relevant calculations. This course builds on the foundations of the first course and introduces more advanced topics along with more advanced applications and solved problems. The course is designed with a “content-based” approach, i. e. by solving examples, as many as possible from real life situations. Bölümler Bölüm 1: Summary of Multivar I, Integral in Circular Coordinates Bölüm 2: Topics of Derivative Applications Bölüm 3: Chain Derivatives with Multi Variables and Jacobian Bölüm 4: Surface and Volume Integrals in Space Bölüm 5: Flux Integrals in the Plane Bölüm 6: Green in Plane, Stokes in Space and Green-Gauss Theorems Bölüm 7: Stokes and Green-Gauss Theorem and Nature Conservation Laws ----------- Kaynak: Attila Aşkar, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”. Bu kitap dört ciltlik dizinin ikinci cildidir. Dizinin diğer kitapları Cilt 1 “Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, Cilt 3: “Doğrusal cebir” ve Cilt 4: “Diferansiyel denklemler” dir. Source: Attila Aşkar, Calculus of Multivariable Functions, Volume 2 of the set of Vol1: Calculus of Single Variable Functions, Volume 3: Linear Algebra and Volume 4: Differential Equations. All available online starting on January 6, 2014
Sonsuz Küçük Yüzeylerin Gösterimleri
Loading...
From the course by Koç University
Çok değişkenli Fonksiyon II: Uygulamalar / Multivariable Calculus II: Applications
9 ratings
Koç University
9 ratings
From the lesson
Çok Değişkenle Zincirleme Türev ve Jakobiyan
En büyük ve en küçük değerler: yerel, mutlak ve kısıtlama altında. Kısıtlama altında en iyiyi arama (optimizasyon) ve Lagrange çarpanı yöntemi. Kısmi türevlerin uygulaması ile değişimler hesabına giriş.
Meet the Instructors
Attila AşkarProf. Dr.
Matematik Bölümü (Department of Mathematics)
Merhabalar.
Bugün çok katlı entegrallerde önemli uygulamalara başlıyoruz.
Daha önce iki katlı entegrali gördük.
İki katlı entegrali ama düzlemdeki şekiller üzerine gördük.
Burada ise uzaydaki yüzeyler üzerine iki katlı entegraller bulacağız.
Bunlar ne gibi şeyler?
Mesela bir kürenin yüzeyinin dört pi a kare olduğunu çok eskiden beri biliyoruz.
Nasıl hesaplandı?
Ama bu sadece küre olsa hatırımızda tutarız bir daha da uğraşmayız
ama pek çok şekilleri bu düşüncelerle hesaplamanın yollarını öğrenmemiz lazım.
İki katlı entegralleri gördükten sonra üç katlı entegrallerde uygulamalar yapacağız.
İki katlı entegrallerde kartezyen ve
dairesel koordinatlarda entegraller görmüştük.
Burada uzayda göreceğiz.
Üç katlı entegrallerde de gene kartezyen koordinatlarda dairesel koordinatların
genellemesi, üç boyuta genellemesi olan silindir koordinatlarında ve küresel
koordinatlarda bu üç katlı entegralleri öğreneceğiz.
Şimdi iki katlı entegrallerden başlayalım.
Uzayda yüzey entegrallerini hesaplamanın yollarını bulmak istiyoruz.
Tabii bu düzlemdeki iki katlı entegrallerden biraz farklı.
Hemen şimdi göreceğiz.
Uzayda bir yüzeyi z eşittir f x y
açık fonksiyonuyla veya kapalı fonksiyonla veya
iki değişkenli bir vektör fonksiyonuyla, buna da parametrik gösterilim diyoruz.
Bu üç yolda tanımlıyoruz.
Bir de bir özel yüzey türü var.
Bunu te birinci kısımda da görmüştük.
Bir eğriyi alıp bir eksen etrafında döndürünce, bir özel yüzey elde ediyoruz.
Çünkü bu yüzeyi her ne kadar yüzeyler iki parametreyle ifade ediliyorsa,
ikinci parametresi görünmeyen yani her nokta için dolayısıyla aynı teta, teta'nın
farklı değerleri için aynı fonksiyonla gösterilen yüzeylerden bahsediyoruz.
Şimdi hesaplamalarımıza başlayalım.
Şöyle bir yüzey olsun.
Bu yüzey üzerinde bir delta büyük s sonsuz küçük yüzeyini
bulalım ve bunun x y düzlemine izdüşümüne de delta a diyelim.
Tabii bu yüzey eğrisel bir dikdörtgenden oluşuyor.
x y düzlemine de eğrisel yüzeyin
kenarlarını düz aldığımız için bu sefer bir dikdörtgen olarak yansıyor.
Bu yüzeyin n olan birim yüzey dik vektörünü alalım.
Bir de x y z koordinatlarında z ekseni yönündeki birim vektörü alalım.
Buna da k diyoruz.
Biz bu yüzeye yandan bakalım, şekli daha iyi anlayabilmek için.
Şöyle bir durumla basitleştirilmiş olarak karşılaşırız.
Delta s yüzeyi, burdaki eğrisel olarak gördüğümüz yüzey ve buna teğet olan yüzey.
Bu ikisi sonsuz küçükler açısından aynı büyüklüktedir.
Gene n birim dik vektörü ve z ekseni boyunca olan k vektörü,
birim o da ve bu delta s yüzeyinin veya buna teğet olan yüzeyin,
düzlemin izdüşümünü aldığımız zaman x y
düzleminde böyle bir dikdörtgenin alanını elde ediyoruz.
İşte burada basit bir geometriyle şu gözlemleri yapıyoruz: k ve n
vektörleri arasındaki açı teta olsun.
Biliyoruz ki dik k vektörüne dik olan vektör yatay yönündedir.
n'ye dik olan vektörü düşünelim.
Bunların ikisinin arasındaki açı teta.
Buradaki de teta.
Buradaki açı da teta.
Şimdi bu delta s'nin yatay düzlem üzerine izdüşümünü hesapladığımız
zaman şöyle bir sonuç görüyoruz: Delta s kere kosinüs teta buradaki açı.
Bunu hesap etmenin yolu n ile k'nın iç çarpımından bulunur.
Çünkü n'yle k'nın iç çarpımı n'nin boyu bir.
k'nın boyu bir.
Aradaki açı da kosinüs teta kere delta s.
Bu da bu basit geometrik düşünceyle delta a'ya eşit.
Dolayısıyla delta s delta a'nın, n ile k'nın iç çarpımına bölümü.
Bir de mutlak değer alıyoruz çünkü iç
çarpım açı geniş açı olursa eksi değerli çıkabilirdi.
Halbuki delta s de tanım olarak artı değerli bir alan ölçümü.
Delta a da artı değerli bir alan ölçümü.
Bu nedenle bu mutlak değeri koyuyoruz.
Buradan, sonsuz küçük simgelere geçersek, d s'nin d
a bölü n nokta k'nın iç çarpımı ve s yüzeyi
de bu d s'nin entegrali olur.
Şimdi biz dedik ki dört gösterim var.
Hatta daha doğrusu üç gösterim var ama bir dördüncüsü de özel bir yüzey türü.
Gösterimler açık gösterim, kapalı gösterim ve parametrikti.
Özel durum da dönel yüzey.
Şimdi bütün bu gösterimler arasında hesaplamanın temel
farkı bu n'nin hesabından gelir.
Yani n'ye açık bu yüzeyin denklemi açık yüzey ol,
açık fonksiyon olarak verildiğinde veya kapalı fonksiyon olarak verildiğinde veya
parametrik verildiğinde, nasıl hesaplayacağımıza geliyorum.
Dönel yüzey için de biraz daha özel bir durum var ama gene orada da
önemli olan bu n'yi bulabilmek.
Şimdi sırasıyla gene burada bu şekli tekrarlıyorum:
sırasıyla açık fonksiyon olarak gösterildiği zaman yüzey z eşittir f x y.
Bunun dik vektörünün biliyoruz.
Defalarca gördük.
Eksi d f d x,
yani gradyanın eksi işaretlisi ve z yönünde de bir var üç boyutta.
Bunu i j k'lar cinsinden ifade edersek de bu şekilde buluyoruz.
Bu f x, d f d x'in kısa yazılımı,
benzer olarak da f y ise d f d y'nin kısa yazılımı.
Ama bizim ihtiyacımız birim dik vektör.
Birim dik vektörü bulabilmek için de tabii ki her zaman yaptığımız bir işlem.
Bu boyu bir olmayan vektörü kendi boyuna bölersek birim vektörü elde ederiz.
Bu vektörün uzunluğu, işte bu f x'in karesi,
f y'nin karesi artı bir toplamından bulunuyor.
Burada da bir vektör olduğu için, bu vektörün bileşenleri.
Biz bunun k ile iç çarpımını alırsak k'nın i
ve ji'ye dik olması nedeniyle bu ilk iki terimin katkısı kalmaz.
k'yla k'nın çarpımı da boyu bir olduğu için bir verir.
Gördüğünüz gibi paydada da bir değişiklik olmaz.
Biraz daha farklı.
Yazım olarak daha sade görünüyor.
Biri öne alıp f x kare f y kareyi de sona alarak elde ediyoruz.
Bu bilgileri değerlendirirsek, d s'nin d a bölü n nokta k olduğunu biliyorduk.
Burada n nokta k'nın artı değerli olduğu görülüyor.
Yukarısı da artı değerli.
Karekökten de artı değerlisini alıyoruz.
Demek ki paydadaki n nokta k burada paya bir artı
f x kare artı f y karenin karekökünü getiriyor ve d a'yla çarpımı.
Şöyle basit bir mantıksal soru soralım: d s mi büyüktür, d a mı büyüktür?
Her zaman biliyoruz ki bir şeyin izdüşümü kendi boyundan küçüktür.
En fazla yatay olsaydı bu yüzey eşit olurdu.
Buradan da görüyoruz ki karekök altında bir'den büyük bir sayı oluşuyor.
d s'nin d a'dan daha büyük olduğunu burada sağlamış, doğrulamış oluyoruz.
Bazı problemlerde d s'nin kendisi değil, n kere d s de gerekir.
Bakınız, n kere d s'yi alırsak burada n var.
d s de burada var.
İkisini çarpınca payda bu vektör kalıyor.
Paydada ise bakınız burada da karekök içindeki terim var.
Burada da karekök içindeki terim var.
Biri payda biri paydada olduğu için birbirini sadeleştirir.
Ve n kere d s gördüğünüz gibi bu vektör ile dik vektör,
ama boyu birim değil burada, kere d a olur.
Şimdi aynı büyüklüğü yani n kere d k'yı
çünkü d s'nin içinde her zaman her, ne türlü hesap edersek edelim ana formül bu.
Genel formül bu.
Tek fark bu n'nin nasıl hesap edileceğinde.
k a hep aynı.
Eğer yüzeyin denklemi bir kapalı fonksiyonla verildiyse her zaman gördük.
Gradyan yüzeye dik vektörü verir.
Demek ki gradyanı hesap etmek demek birinci, ikinci,
üçüncü bileşenleri bu f'nin x'e y'ye z'ye göre türevleri.
Burada da kısa yazılım görülüyor.
Şimdi birim vektörü bulmak istersek bu
dik vektörün kendi boyuna bölünmesi ile elde ederiz.
Gördüğünüz gibi burada bu vektörü yazıyoruz, bileşenleri cinsinden.
Bunun boyu da birinci bileşenin karesi artı
ikinci bileşenin karesi artı üçüncü bileşenin karesi ve kareköküdür.
Bu pitagor teoreminin üç boyuta genellemesi.
n böyle olduğuna göre n nokta k sadece buradan bu f z'yi çeker alır.
Çünkü k bileşenleri sıfır, sıfır, bir olan vektör.
Bu iç çarpımı hesaplayınca sıfır kere f x
artı sıfır kere f y artı bir kere f z gördüğünüz gibi f z kalıyor.
Paydada bir değişiklik yok.
Dolayısıyla d s, d a'nın bu n'yle k'nın iç çarpımına bölünmesi.
Buradan paydadaki terim paya geliyor.
Payda da f z'nin mutlak değeri çünkü f z'nin eksi değerli olması mümkün olabilir.
Böyle örnekler de göreceğiz.
O nedenle mutlak değerini alıyoruz ki d s
tanımı olarak artı bir değere sahip olabilsin.
Çünkü bir alan ölçüyor.
Gördüğünüz gibi gene d s, d a'dan büyüktür.
Çünkü buradaki pa, pa, karekökü f z'ye bölsek buradan bir kalır.
Buradan da mutlak değerleri artı olduğu için bir artı
bir başka değerler geldiği için birden büyük bir sayıyla çarpıyorsunuz d a'yı.
Böyle d s'yi buluyorsunuz.
Bu da gene bildiğimiz gibi herhangi bir şeklin izdüşümü daha küçüktür.
Veyahut şekil izdüşümünden daha büyüktür uzunluğu olarak.
n kere d s'ye de gerek olabilir.
n böyle olduğuna göre bu d s ile çarpınca bakınız paydada bu kareköklü var.
d s'de de ğayda bu kareköklü var.
Dolayısıyla bunlar birbirini sadeleştirir ve payda bu gradyan vektörü kalır.
Paydada da bu f z'nin mutlak değeri kalır.
Alanı bulmak istersek işte bu d s'nin entegralini iki
katlı entegralini alacağız.
Çünkü d a iki katlı entegral.
Gördüğünüz gibi burada bir önceki problemde de
olduğu gibi bu yüzey üzerindeki eğrisel yüzey
üzerindeki alanın hesabını izdüşümünün hesaplanmasına indirgiyoruz.
Bu da x y düzleminde bildiğimiz iki katlı kartezyen entegrale veya
dairesel koordinatlarda ki entegrale indirme, indirgeme.
Ama buradaki alan,
sonsuz küçük alanı birden büyük bir sayıyla çarparak bu entegral hesaplanıyor.
Şimdi üçüncü türe gelelim.
Üçüncü türde de parametrik gösterim bir yüzeyin parametrik yüzeyinin gösterilimi.
Bu şekilleri hemen açıklayacağım.
Parametrik gösterim bir vektör fonksiyonu.
Ama iki de değişkenli gösterilen bir vektör fonksiyonu.
Tek değişkenli vektör fonksiyonlarının bir uzayda eğri çizgi gösterdiğini biliyoruz.
Bu ise iki parametreyle iki değişkenli vektör fonksiyonsa uzayda
bir yüzey gösteriyor.
Bunu daha açık yazarsak birinci bileşeni x, u ve v'ye bağlı.
İkinci bileşeni y, u ve v'ye bağlı.
Üçüncü bileşeni z, u ve v'ye bağlı.
Bunları biliyoruz.
Şimdi şu şekillere gelelim.
Hatırlayalım dairesel koordinatlarda ne yapıyorduk?
r'ye u desek yani bu genel gösterilim kapsamında.
r eşittir sabite alıyorduk.
r'yi biraz artırıyoruz.
İkinci bir çember buluyoruz.
Teta'yı alıyoruz bir doğru.
Teta artı delta teta'yı alıyoruz.
İkinci bir doğru.
İşte bu dört çizginin kesişmesinden burada
gördüğünüz eğrisel kenarlı da olsa bir dörtgen oluşuyor.
Genel eğrisel koordinatlarda da aynı düşünceyi sürdürüyoruz.
Zaten bunu jakobiyen konusunda da gördük.
Uzayda bir eğri var.
u'yu sabitlerseniz buna v eğrisi diyoruz.
Benzer olarak v'yi sabitlerseniz bir u eğrisi diyoruz.
Bunları biraz artırdığımızdan u artı delta u çizgisi,
v artı delta v çizgisi oluşuyor ve bunlar da kendi aralarında bir dikdörtgen,
pardon dikliği yok, eğrisel bir dörtgen oluşturuyorlar.
İşte bulmak istediğimiz alan bu.
Bunun yerine kenarlarındaki delta u ve delta v vektörlerini alıyoruz.
Çünkü bunlar sonsuz küçükler açısından bu eğrinin uzunluğuyla aynı mertebede.
Bu vektörleri şöyle buluyorduk.
x vektörünü u'ya göre türevi bütün bileşenlerinin x,
y, z'nin u'ya göre türevi demektir.
Bu da v'nin sabit tutulduğu zamanki vektörü veriyor.
Benzer olarak u'yu sabit tuttuğumuz
zaman konum vektörünün konum vektörü x'in v'ye göre türevi var.
Bu da küçük v vektörünü veriyor.
Bunları sırasıyla delta u sayıs, sayıyla ve delta
v sayısıyla çarpınca işte bu eğrisel dörtgenin kenarlarını
oluşturan çizgileri, düz çizgileri doğruları elde ediyoruz.
Sonsuz küçük doğrular.
Bu ikisinin bu iki vektörün vektör çarpımı bize alan verecektir.
Bunun mut, bunun uzunluğu tabii alanı verecek ama bu n kere bunun yönüne
birim vektörlerine n dersek alan da bunun mutlak değeri, uzunluğu olacaktır.
Buna delta s, burada s vektör olarak çünkü alanlar vektör iki
vektörün vektör çarpımını alınca n doğrultusunda bir vektör elde ediyoruz.
Bunun büyüklüğü de,
bu alanın büyüklüğü de bu vektör çarpımının uzunluğu.
Bunu simgesel deltaları d'ye çevirerek
hesaplarsak gördüğünüz gibi u'yla v'nin vektör çarpımıyla
d u d v sayıları, simgesel büyüklükleri, sonsuz küçükleri.
Bu da alanın delta s yerine küçük harf d kere
s'yle tanımlanan sonsuz küçük alan simgesi.
Şimdi bu hesapları yaparsak gördüğünüz gibi u'yla v'nin vektör çarpımı
gene vektörler bölümünden bildiğimiz gibi i j k'yı birinci satıra yazacağız.
u, x'in u'ya göre kısmi türevleriydi.
v ise gene aynı x vektörünün bileşenlerinin v'ye göre kısmi türevleri.
İşte bu determinantı hesaplayınca i
j k'lar nedeniyle bu vektör çarpımından bir vektör çıkacak.
Bunun bileşenlerine ji x ji y ve ji zi, ji z diyelim.
Çünkü biz bu vektör çarpımında bakınız burada gene jakobiyanla karşılaşıyoruz.
i'nin çarptığı terim buradaki bu ikili jakobiyan.
y ve z bileşenlerinden oluşan u ve v'ye göre kısmi
türevler olan i'li bileşen olduğu için buna j x diyoruz.
J'li bileşen de bir eksi olacak.
j'nin bulunduğu yani birinci satırı ve
ikinci sütunu ayırınca gene ikiye ikilik bir determinant oluyor.
Gene bu da jakobiyen yapısında.
Çünkü x ve z koordinatlarının u'ya göre türevi gene x ve z koordinatlarının
v'ye göre türevlerinden bunlara j y diyoruz çünkü bu j'li bileşen.
Birde k'lı bileşen aynı şekilde elde ediliyor.
Bir dairenin jakobiyanını dairesel
koordinatlar jakobiyanı hesap ederken bu j z'yle karşılaşıyorduk.
Çünkü z'yinci bileşen yok bunlar sıfır olduğu için,
j x ve j y sıfır oluyordu onun için.
Bunun yani bu j vektörünün mutlak değerini de j s'yle gösterelim.
Mutlak değeri de burada.
Tabii buradan birincinin karesi artı ikinci bileşenin karesi artı üçüncü
bileşenin karesi ve bunların karekökü olduğunu da biliyoruz.
Şimdi bu hesaplarımızda iki seçenek ortaya çıkıyor.
Bunlardan bir tanesi gene yatay düzlemdeki koordinatlarla hesaplama yani
d a'yı kullanarak yapılan hesaplama.
d a yatay düzlemdeki alan ögesi.
d s ise uzaydaki eğrisel yüzeyin alanı, sonsuz küçük alanı.
n'yi bakınız burada n kere d s'yi biliyoruz.
Bu j x j y j z'den oluşuyor.
Ama bunun birim boyunu bulmak istersek, bu vektörün boyuna bölüyoruz.
Yani bu vektör çarpımını bu determinantın değeri
bize vektörün doğrultusunu gösteriyor ama buradan
elde edilen j x j y j z bileşenli vektör bir boyutunda olmasının bir garantisi yok.
Dolayısıyla bu vektörü götürüp boyuna bölmemiz lazım ki
birim vektörü elde edelim.
Bu birim vektörü elde ediyoruz burada.
Bizim n ile k'ya ihtiyacımız var hep daha önceki örn, yaklaşımlarda da olduğu gibi.
Bu iç çarpımı alınca k'nın bileşenleri sıfır sıfır bir.
Bu n ile çarpınca sıfır kere j x artı sıfır kere j y bir kere j z.
Yukarıdan dolayısıyla sadece j z kalıyor.
Paydada da bu j'nin uzunluğu olan bu j s değeri kalıyor.
Şimdi bakalım d s'yi bulalım.
d s, d a'nın, n ile k'nın paydada olduğu durum.
Dolayısıyla bu paydadaki j s paya gelir,
n nokta k'yı paydaya koyduğumuz için.
j z de paya gelir.
Burada da mutlak değerini almamız lazım.
Çünkü j z de eksi değerli olabilir.
Ama pek çok uygulamada koordinatların sırası uygun seçildiği zaman j z'nin
artı geleceği de hemen pek çok durumda bir olgu.
Şimdi burada gördüğümüz gibi d s'yi gene d a cinsinden bulduk.
Gene burada birden büyük bir sayı var.
Çünkü d s d a'dan büyük olması gerekiyor.
Bir izdüşüm şeklin kendisinden daha küçük olacağı için.
Yalnız burada ikinci bir seçenek daha ortaya çıkıyor.
Çünkü biz u ve v eğrisel koordinatlarını biliyoruz.
Dolayısıyla n kere d s'nin j kere d u d v olduğunu
bildiğimiz için bize de lazım olan d s.
d s demek bu tarafın boyunu hesap edelim.
n'nin boyu bir olduğu için d s demek ki bu j'nin boyuyla d u d v'nin çarpımıdır.
E j'nin boyunu biliyoruz.
j s. Dolayısıyla j x kare artı j y kare j z
karenin karekökü olduğunu buluyoruz.
Yani burada eğrisel koordinatlarla parametrik
gösterilimde yarı yolda vazgeçip biz izdüşümünü alalım diyebiliriz.
Bu şekilde çalışabiliriz.
Veya madem ki eğrisel koordinatları biliyoruz ve çoğunlukla eğrisel
koordinatlar da o yüzeyin doğal en uygun gösterim koordinatlarıdır.
Bu koordinatlarla devam etme olanağımız da var.
Dönel yüzeylere gelirsek,
bir kere şu soruyla başlanır: Niçin önemli dönel yüzeyler?
Çünkü doğada da, teknolojide de, modellemelerde de çok yaygın bir şekil.
Yapılan işlem şu.
z eşittir f r fonksiyonu olsun.
Yani diğer dairesel koordinatlarda teta'yı unutuyoruz şimdilik.
Bu şekli z ekseni etrafında döndürdüğümüz zaman bakınız gördüğünüz gibi
şu şekilde bir yapıyla karşılaşıyoruz.
Üç boyutlu bir uzayda bir yüzey elde ediyoruz.
Eğrisel bir yüzey ve özelliği de bunun dönel yüzey olması.
Burada herhangi bir teta'da bunun düşeyde kesitini alsanız bu tet,
z fonksiyonu teta'dan bağımsız
olduğu için hepsi bütün bu şekiller aynı çıkacaktır.
Şimdi gene bunu eğrisel koordinatların bir özel hali diye düşünebiliriz.
Buradan r'yi r artı delta
r alırsak bakınız bu
ve arasındaki del, r'li ve r artı delta r'li teta'yı
da artırırsak şu düşey iki eğri çizgi olacak.
r'lerde birinci r bu.
r artı delta r dediğimizde bu yukarıdaki.
Gene dört çizginin kesişmesi.
Bir önceki elde ettiğimiz gibi bir eğrisel yüzey, sonsuz küçük yüzey buluyoruz.
Bu yüzeyin alanını bulmamız gerekiyor.
Şimdi dönel yüzeyin denklemi buydu.
Aslında buradan kolaylıkla iki parametreli gösterilime geçebiliriz.
x vektörü, x vektörü r kere kosinüs teta.
y bileşeni r kere sinüs teta.
z bileşeni de buradan verilmiş zaten.
f, r.
Gördüğünüz gibi biz burada dönel yüzeyi için yüzey
denklemini iki parametre r ve teta parametreleri cinsinden yazabiliyoruz.
Şimdi bunu aynı işlemleri yürütürsek yani
bir öncekinde parametrik gösterilimdeki r'yi u,
v'yi de teta olarak seçersek, u vektörü dediğimiz d x d r olur.
Bakınız burada r'ye göre türev.
Burada f'nin r'ye göre türevi çıkıyor.
Buralarda da r doğrusal olarak kendi başına göründüğü için r'ye göre
türevi alacağız.
Sadece kosinüs ve sinüs kalıyor.
İkinci vektör x'in teta'ya göre türevi.
Burada da gördüğünüz gibi r'ler sabit kalıyor.
Kosinüs teta'dan eksi sinüs teta.
Kosin, sinüs teta'dan kosinüs teta.
f r'de de teta olmadığı için bunun teta'ya göre türevi sıfır.
Şimdi bu iki vektörün vektör çarpımını alırsak,
bir önceki işlemleri tekrarlayınca gördüğünüz gibi şu vektör oluşuyor.
Burada uzun uzun yazmadım.
Çünkü bu, üçüncü terimde
teta'ya göre türevde sıfır çıktığı için hesaplar biraz kolay oluyor.
Bu f üssü r kosinüs teta eksi f üssü r sinüs teta ve bir çıkıyor.
Bu büyüklüğü hesap
edersek buradan delta s bu vektör çarpımının büyüklüğü.
Bu vektör çarpımının büyüklüğü demek burada üç bileşenli bir vektör var.
Demek ki bir artı birinci vektörün,
birinci bileşenin karesi artı ikincinin karesi ve karekök.
Ama çok ilginç bir yapı var tabii burada.
Kosinüs kare artı sinüs kare teta aynı f üssüyü çarptığı için buradaki
gibi bir artı f üssü'nün karesi kere r elde ediyoruz.
delta r delta teta var.
Bir de burada hep r çıkıyordu.
Bu şekli
yani z eşittir f r şeklini tam döndürebildiğimiz gibi
bir teta bir değerinden bir teta iki değerine kadar da döndürebiliriz.
Dolayısıyla bu yüzey elamanından bir şeritin alanını
bulmak için bu ilk bulduğumuz d s d teta üzerine entegrali alıyoruz.
Ama burada teta görünmüyor.
Dolayısıyla burada sadece teta iki eksi teta bir kalıyor.
İşte dönel yüzeyin de özelliği burada.
İki katlı entegral doğrudan doğruya tek katlı bir entegrale iniyor.
Eğer tam bir dönüm alırsak teta iki iki pi olacaktır.
Teta bir de sıfır olacaktır.
Burada iki pi faktörü gelir.
Ve burada bakınız biraz daha farklı yazılan d s sonsuz küçük alanı,
bu bir şeritin alanı oluyor çünkü teta'yı
teta birden teta ikiye kadar döndürürken r'nin değeri de
r artı d r olarak
bakın şu şeritin alanını buluyoruz, yatay şeritin.
Çünkü biz bunu teta üzerine alanı hesap ediyoruz ve iki pi geliyor tam dönümde.
Kısmi bir dönümse de buradaki açı kadar geliyor.
Bu şeritin alanını buluyoruz.
Dolayısıyla geriye sadece r üzerine bir entegral kalıyor.
Şimdi bundan sonra bu çözümlü problemlere başlıyacağız.
Yalnız çözümlü problemlere geçmeden önce bu yaptığımız hesapları,
bulduğumuz sonuçların bir derlemesini burada görelim süratlice.
Biz d s'yi altı değişik yoldan bulduk.
Dolayısıyla yüzey hesaplamaları altı değişik yoldan yapılabilir.
Bunlardan birincisinde yüzeyin fonksiyonunu,
yüzeyi veren fonksiyonu açık bir fonksiyon olarak seçtik.
O zaman d s bu şekilde bulunuyor.
En genel yapıda.
Bundan sonraki
seçimimiz yüzeyin bir kapalı fonksiyonla gösterilmesiydi.
Bu kapalı fonksiyonla gösteriminden de buradaki d a bölü n nokta
k'nın yani bu üç çarpımın bölümünden şu ifadeyi elde ediyoruz.
Dolayısıyla bi s'yi bulmak istesek birinci durumda şu
entegrali hesap edeceğiz alan üzerinde.
Bu da düzlemdeki iki katlı entegrallere dönüştürmüş oluyoruz.
Burada da düzlemdeki iki katlı entegrallere dönüştürmüş oluyoruz.
Parametrik fonksiyon olarak verilince de gene düzlemdeki
entegrale indirgiyoruz buradaki bu katsayıyla çarpılarak.
O katsayının nasıl bulduğu da bu iç çarpımdan yani bu
jakobiyanlardan oluşuyor.
i j k'ya x'in u'ya göre ve y'ye göre türevlerinin bileşenleri
olarak yazınca elde ettiğimiz vektör.
Biz e, burada bu seçenek
yanı sıra eğrisel koordinatlarla da hesap yapmayı tercih edebiliriz.
O da gördüğünüz gibi u ve v üzerine doğrudan doğruya yüzey,
eğrisel yüzey üzerine hesaplamaya eşdeğer geliyor, geometrik olarak.
Bir de eğer yüzeyimiz dönel bir yüzeyse bu
iki katlı entegral yerine tek katlı entegrale bu şekilde iniyor.
Gördüğünüz gibi bu ilk dördü bir tanesi genel gösterim.
Bu da teker teker açık fonksiyon,
kapalı fonksiyon ve parametrik fonksiyon olara gösterimlerle ama x,
y düzlemi üzerine izdüşüm alarak elde edilen sonuç.
Şimdi bugün burada duruyoruz.
Bundan sonraki oturumumuzda çeşitli örneklerle bu
elde edilen sonuçları kullanacağız ve hem örnekler
kendi başına da ilginç diye düşünüyorum hem de bu elde ettiğimiz
yapıların uygulamasını görerek kavramları da pekiştireceğiz.
Bir daha ki oturuma kadar hoşça kalınız.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
