第一个例题求相对介电常数为ε的无限大均匀介质当中
点电荷q的场分布,啊,用D-Gauss定理来求
那么因为这个是点电荷的场,所以它是球对称的场
我们可以作球形的Gauss面,球形的Gauss面,那么也就是说
我在这儿画个图啊,这是点电荷的场
啊,那么外面呢充满了电介质,啊是无限大的
均匀的电介质,它的介电常数是ε,相对介电常数是ε
啊,那么我们呢当然可以看到这时候它是各个方向
都是一样的,都是一样的,它的场呢
基本上还是点电荷的场,但是是多少呢,我们作个
Gauss面,这是r,啊,那么于是呢
D的Gauss定理,对这个闭合面去积分,在这个
任意一个r处它的D是一样的,所以D可以取出来
然后对这个面积积分是4πr²,里边呢就包含一个电荷
尽管这个电荷在介质里会有极化电荷 但是D的通量只关心
自由电荷,所以只有一个自由电荷,对吧?那么于是 我们就可以得到D=q/4πr²
对吧?啊那么就说明D呢其实它跟E
啊,它的D呢是跟ε没关系在这 在这个问题里没有关系,因为它是球对称
那么于是我们再利用D和E的线性关系,就得到了E=q/4πε0πr²
那么这个结果告诉我们 它和真空中的点电荷场
就相差一个1/ε 对不对?也就说如果是介质充满整个空间
点电荷的场这是原来真空中场 的1/ε,啊,内部的场削弱
内部的场削弱,那么因此按照这个逻辑推下来的话
它可以得到什么,你看这是ε0,D/ε,
E0/ε,由这两个式子相等 也就ε消掉,就可以得到D=ε0E0
大家注意啊这个公式,这也可以在某些场合上用
但是你要注意这里的E并不是介质当中的E,而是什么啊?
真空中的场,那么在某些特殊的条件下
可以有这个关系。啊,那么这个问题 里面是什么特殊条件呢?是点电荷场
在点电荷在一个充满整个空间的 一个介质当中有这样的关系,它不是普遍的
赵凯华书上有这么一段来讲这个事情 但它不是普遍的,不是普遍的。那么由此
我们看到E是这样那么它的电容呢
也是原来电容的,就把那电压算一下 就可以看到电容是真空中相应的电容的ε倍
ε倍,这个呢是点电荷的情况
那么因此我们从这里可以看到介质内部场呢削弱了ε倍 电容呢增加了ε倍
这个是第一个例子,这个很简单,但是这个例子告诉我们它也可以有这样一个关系
但这个关系是要有条件的我们下面还可以进一步来讲 第二个例子。我们下面我们就讲这件,就是说
特殊情况下,你像刚才这个就是特殊情况啊 一个点电荷在一个充满整个空间的介质当中
那么特别是在各项同性线性介质当中
D和E之间关系是比较简单的,那么从理论上可以证明
当均匀介质充满整个电场空间
就刚才这个算一个例子,或者 均匀介质的是等势面的时候,有介质部分内
下述关系是成立的。什么关系呢?
D=ε0E0,E=E0/εr
那么什么情况呢?比如我一个电容器 平行板电容器我里面充了一半介质
那么这个一半介质这个介质和非介质的界面呢是等势面 是等势面,那么这个时候呢
它这个结论有什么好处呢?你可以把这儿的场叫E0
这儿的场呢就是 有介质的场,对吧?是等于
E0/ε那么因此呢这里的D呢就是ε0E0
啊这个这种情况,所以呢你可以把这个电容器分成两个电容器看
一个是真空中的电容器,还有一个是 电容器整个里边都充满了介质
是吧?所以这样我就可以先求出比如平行板电容器
这个电容和这个电容,然后把这两个电容串联,我可以先把电容储存
有了电容我再去求什么啊?求电场,是吧?也是可以的 就是我刚才说的第二条路径它可以用这个来做
还比如像这个,球形的或者柱形的电容器,那么它里边
这是内轴,这是外面,那这块地方呢是真空,这是导体,那么蓝色的呢是充满了介质
但是呢这个蓝色的边界和外面真空的边界呢上面
这是个等势面,那么这时候我也可以看成这一层
里面是一个充满了介质的,外面 是一个什么啊,真空的电容器,我也可以这么去做
也可以利用电容器来做,所以说 说到用电容器来做其实要利用到这一条规律,利用到这一条规律
这都是等势面,所以我们说这种情况下
可以把有介质部分和真空部分看成两个电容器
然后再分别算出电容再用串并联公式来算总的电容
这是一种解决问题的途径,是一种解决问题的途径,当然有同学说
我就不管你这了,我也不去记,我每次都从D出发来做
没问题。啊 没问题,不一定非要这么做
就是说因为原则上你如果是对称的 你先用D-Gauss定理把D先求出来
再用各项同性线性关系把D和E的关系搞出来 那么E有了就去求p这条途径是
比较顺畅的,那么这个呢有的人喜欢用电容器做,那么我告诉你也是可以做的
那你要怎么做呢?你可以把填满介质
部分看成一个充满介质的电容器,那么看成这些电容器的串联或者并联
这也是可以的。好,所以我们
可以把刚才讲的问题呢再小结一下
我们说真空当中场的规律是高斯定理
环路定理。那么有介质情况下呢是满足D-Gauss定理
环路定理呢?环路定理呢? 啊,还是E点dl=0
为什么啊,为什么不是d点dl?
为什么不是d点dl?
因为这个环路定理啊,它背景是什么啊
是做功是吧?移动电荷做功是不是啊?
那么你那D有没有实际物理意义啊 它没有,它是个辅助矢量,是不是啊?
就说我们看到这个要动动脑筋想一下 其实它环路定理的背景是做功和路径无关
那么做功呢是要移动电荷电场力做功,所以在基本规律里边来讲
有介质情况下是D的通量和E的环路
这一点大家注意一下就可以了 那么这个两个区别要注意,这是
所有的电荷,这是自由电荷 那么当然各项同性线性介质D正比于E
啊,普遍情况两者关系不简单,不一定呈正比关系
各项同性的时候是成正比关系 好,均匀介质内部极化体电荷密度等于0,
这件事情我们原来说可以证明。
那么现在呢我们就来证明一下,你们想想该怎么证明。
你们想想。其实呢这里边 均匀介质是什么性质的介质啊?
是各向同性的肯定,对吧?所以在这里边D和E是成正比的。
D既然和E成了正比。D和P成不成正比啊?
也是。所以我们可以利用D的Gauss定理证明。
在介质内取任意的高斯面,对吧?
那么就有呢D点dS等于0,因为介质内部没有自由电荷,
就说没有那个自由电荷,它介质嘛,但是它不排斥有极化电荷,
那么现在呢我们知道P
和E的关系,因为是均匀介质。那么E呢又和D成正比,
所以从这两个式子我们可以得到P和D的关系。
我们就得到了P和D成正比的。
好,那么现在呢我们就可以看P点dS
它是等于闭合面内所包围的 极化电荷的代数和,负的代数和。
那么现在把P呢用这个关系代进去,而它呢又是0,
那么于是这q'自然就是0。所以这样就证明了q'。
因为闭合面可以做的要多少有多少,所以我当然可以得到
体电荷密度密度是0。所以从这里可以看到其实呢
P只要和D成了正比,那么D的通量是0,那么P的通量也是0。
这就证明了。所以对于各向同性线性介质来讲,同样有这样的一个结论。
尽管它可以不是均匀极化,我们 上次讲了均匀极化P是0,里面体电荷一定是0,
那么如果它是 各向同性线性介质它不是均匀极化,
比如说
一个圆柱形的电容器
它呢, 这有介质,有介质。
那么应该说这一地方,我就不要弄那么复杂,就所有的
全部都是介质吧,圆柱形的。
那么圆柱形的电容器我们说它的电场呢
应该就是什么沿着这个径向,应该是
2πε0ε假如这是ε, r分之λ,
λ是单位长度的电荷。对吧?线电荷。那么这是它的电场。
那么因此呢这个P它和E成正比, 对吧?自然也是应该和r的1次方成反比的。
对不对?我们就很容易推算出P是多少。
那么因此可以说P它实际上是跟r是有关系的。
正比r分之1, 所以,像这种情况不是均匀极化。
但是这个介质里面有没有体电荷密度呢?
有没有呢?还是没有的。为什么呢?按照这个证明,
是吧?你P虽然 跟位置有关,它不是常量,
但是呢它跟D成正比关系。
因为从这里可以看到,P和D的关系,对吧?那么于是呢,这个
里边呢,各向同性线性介质也就在这个两个表面会有极化电流。
内部呢,体电荷就是0。对不对?所以我们说均匀极化,
它内部肯定没有体电荷,极化电荷,没有体积化电荷。
而非均匀极化,但是是各向同性线性介质, 它内部也没有。这个证明就说明了这一点。
对于均匀的介质内部就是0。
体电荷是0。