[音乐] 嗨,你好,我们接下来看看命题公式
当中的一类非常重要的命题公式。
首先呢 我们说命题公式它的数量呢是无穷的
但是如果我们从赋值和真值的角度出发 我们能够发现,命题公式呢可以进行分类
那么分类呢,其中一种很重要的就是如果命题变元的所有的赋值
都是命题公式的成真赋值的话,那么我们就把这一类的命题公式称作为重言式
或者也叫作永真式,也就是说无论命题变元的赋值如何变化
那么命题公式的它的真值始终为真,所以呢它是叫做重言式
那么当然另外还有一类,就是不管命题变元的赋值如何变化 那么命题公式的这个真值始终为假
那么这种呢就叫做矛盾式,或者叫做永假式 或者呢我们可以称之为不满足式
那么不可满足式的对面就是可满足了 那么可满足呢可以用这样的说法来表达
就是命题公式至少包含一个成真赋值,那么这种就叫做可满足式
那么我们需要 对这三种这个说法:永真式、 永假式
和可满足式来进行一个概念的区分 那么首先呢,我们说所有的永真式都是可满足式
因为永真式呢是所有的赋值都是它的成真赋值,那么可见
它满足这个可满足式的这个定义 其次呢,矛盾式都不是可满足式
因为矛盾式里头所有的赋值都是矛盾式的成假赋值 所以呢,它是不可满足的。
第三呢,非永真式 并不都是永假式。
也就是说 除了在永真式之外的这些公式里头
并不一定全都是永假式,它有可能有一些成真赋值,那样呢
它所以呢它有一部分是可满足式,有一部分呢是永假式
但是呢如果具体到某一个命题公式,比如说 命题公式A,那么对于命题公式A来讲
A是永真式的话,那么我们在A的前面加一个¬ 那么这个¬A那就应该是永假式
反之亦然,也就是说如果A是永假式,那么¬A呢肯定就是一个永真式了
那么重言式呢,我们可以举几个例子
首先,比如说,对于任何的公式大A,那这里头要注意的是
我们所说的这个公式大A是指所有的任意的命题公式
也就是说你A呢可以是一个P,也可以是一个Q,或者也可以是一个P∧Q 或者P∨Q,或者说P→Q,或者说
P、 Q组成的更复杂的一些命题公式,那么也就是任何的公式A 那好,那么我们说A∨¬A
那这里头你可以把所有的命题公式都可以代入,只要是A∨¬A这种形式
那么它就一定是重言式,因为这反映了排中律的这么一个概念
那么反过来,A∧¬A,那么它就是一个矛盾式
也就是说A不管A的这个真值如何的变化 A∧¬A呢始终为假,所以呢它反映了矛盾律的这么一个概念
那么如何去证明一个命题公式它是否是重言式呢?
我们可以用命题公式的真值表来对它进行证明 那么真值表呢,我们在上一次做
连接词的定义的时候,我们已经看到了,对
命题分类的时候也看到了,所以呢我们下面呢以这个为例子 来证明一下。
我们先来看看这么一个命题公式 P∨Q然后在∧¬P→Q
那么按照优先级来讲,它应该是做,先做P∨Q
然后呢再做这个¬P ¬P,然后呢再把P∨Q
跟¬P做一个合取,然后最后呢做这个蕴含的这个操作 蕴含的这个运算。
那么因为它包含着两个命题变元 所以呢它这个真值表它应该有4行,2的2次方,应该有4行
那么它包含了1 2 3 4,四个这个连接词
再加上原来的两个变元,所以呢它应该,这个真值表呢有6列 所以呢是4行6列。
我们任意地抽取一列来看一看,比如说1,0,P=1
Q=0,那么P=1,Q=0,那么P∨Q,那么它就是为1
然后呢¬P,那就是0,然后呢1∧0 那么它应该是0。
那么再由0 去蕴含这个Q,0→0,那么它应该等于1
所以呢我们经过这种4种情况的这个检验,我们发现呢
不论P和Q的取值状况如何,00011011
无论这样的组合如何,那么在最后那一列,最右边的那一列里头 它的真值呢是全1。
所以呢我们 说这样的一个命题公式它是一个重言式 是一个永真式。
好