Следующая задача такая: есть тяжелый однородный параллелепипед с ребрами a,
b и c скользит по гладкой горизонтальной плоскости таким образом,
что ребро длины c вертикально.
Направление скольжения перпендикулярно ребру длины b,
то есть направление движения такое.
Внезапно, это ребро b задерживается препятствием и становится неподвижным.
Необходимо найти,
при какой скорости движения v произойдет опрокидывание параллелепипеда.
Ребро b становится неподвижным.
Значит, следующее послеударное движение параллелепипеда —
это вращение вокруг оси u.
И момент, кинетический момент, относительно этой оси сохраняется,
а это значит, что 1/2 mvc = момент инерции параллелепипеда
относительно этой оси умножить на угловую скорость, с которой параллелепипед
начинает вращаться вокруг этой оси u после того, как ребро b стало неподвижным.
Отсюда можем выразить угловую скорость.
Кроме того, момент инерции параллелепипеда относительно оси u равен
1/3m (a² + c²).
Теперь, как мы и говорили,
послеударное движение параллелепипеда — это вращение вокруг оси u.
Для того чтобы параллелепипед опрокинулся,
необходимо, чтобы центр
масс в своем вращении пересек вертикальную плоскость, соответствующую ребру c.
Что это означает?
Что запаса кинетической энергии, 1/2 Iu * ω² должно
быть достаточно для того, чтобы преодолеть высоту h,
то есть набрать потенциальную энергию mgh,
где h — это насколько центр возвысится над
исходным положением, то есть h равняется
1/2 (√
a² + c² − c) Теперь,
если мы выразим отсюда угловую скорость,
угловая скорость будет равна mvc разделить на
2 момента инерции, возьмем h, подставим всё сюда,
то получим, что скорость движения параллелепипеда должна превышать,
квадрат этой скорости должен превышать 4g * (a²
+ c²) * (√ a²
+ c² − c) разделить на 3c².
Если скорость превышает это значение, значит,
произойдет опрокидывание параллелепипеда при внезапной остановке ребра b.
Спасибо за внимание!
Задача решена.