Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
3.1.2. Пример построения интервалов для прогнозов [у доски]
Loading...
From the course by National Research University Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
320 ratings
From the lesson
Дамми-переменные, сравнение вложенных моделей
Дамми для дам и не только :)
Meet the Instructors
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Рассмотрим построение доверительных интервалов для прогнозов на примере.
Исследователь оценил по 2040 наблюдениям
модель стоимости квартир в Москве и получил следующие результаты.
Оценка цены квартиры равна минус 62 плюс 2.6
умножить на общую площадь квартиры, при этом известно также,
что оценка неизвестной дисперсии ε, σ² с крышкой, равна
1154 и ковариационная матрица,
точнее ее оценка для неизвестных коэффициентов, равна следующей
матрице: 13.78 минус 0.18,
минус 0.18 и 0.0025.
И по имеющимся данным нам нужно ответить на следующие вопросы.
Наша цель — мы хотим спрогнозировать стоимость квартиры площадью 60 метров.
То есть у нас есть некая квартира,
для которой мы хотим строить прогнозы, поэтому я обозначу индексом F,
общей площадью 60 метров, мы для данных регрессоров,
для данного значения регрессоров хотим посчитать прогноз точечный
price F с крышечкой и хотим посчитать два интервала.
Один 95 %-ный доверительный интервал
для неизвестной средней стоимости
квартиры с площадью 60 метров.
И хотим посчитать 95 %-ный предиктивный,
предиктивный интервал для фактической стоимости
одной случайно выбираемой квартиры опять же с площадью 60 метров.
Еще раз, в чем разница между этими объектами?
Первое — это средняя стоимость квартиры в Москве с площадью 60 метров.
А это площадь случайно выбираемой квартиры, это стоимость случайно
выбираемой квартиры в Москве с площадью 60 метров.
То есть это некая характеристика скорее города, а это вот,
если вы собрались покупать одну квартиру,
то вот y_F — это ее будущая цена.
Давайте приступим.
Получить точечный прогноз очень легко, price_f с крышечкой, надо просто
подставить значение объясняющих переменных в уравнение регрессии.
Минус 62 плюс 2.6 умножить на 60 и мы получаем примерно 94.
Теперь перейдем к построению доверительного интервала,
у нас в каждом случае, в случае b и в случае c, есть ошибка прогноза.
В первом случае — это на сколько наша спрогнозированная цена отличается
от средней стоимости по Москве для квартиры размера 60 метров.
А второй, на сколько наш прогноз отличается от конкретно выбранной
случайной квартиры с площадью 60 метров.
Насколько отличается спрогнозированная цена от ее цены.
И во втором случае ошибка больше.
Соответственно, давайте посчитаем сначала
дисперсию β нашего,
точнее прогноза price с крышечкой при фиксированных иксах.
За счет чего наш прогноз случаен?
Шестьдесят не случайно — это то, что мы выбрали, у нас регрессоры фиксированы.
Соответственно, случаен он за счет того,
что коэффициенты минус 62 и 2.6 на самом деле — это результаты оценивания.
И минус 62 и 2.6 зависели от вот этой выборки в 2040 наблюдений.
Если бы нам попалась другая выборка, у нас были бы здесь не минус 62 и 2.6
а какие-то другие числа, случайность и следовательно,
не нулевая дисперсия прогноза связана с тем, что мы оцениваем коэффициенты не по
всем наблюдениям Москвы, а по случайной выборке.
Соответственно, наша дисперсия — это дисперсия β₁ с крышкой
плюс β₂ с крышкой помножить на 60 при фиксированных иксах.
И она равняется по свойствам дисперсии, это дисперсия
β₁ с крышечкой при фиксированных иксах плюс 60
в квадрате на дисперсию β₂ с крышечкой при фиксированных иксах
плюс 2 умножить на 60 на ковариацию β₁ с крышечкой,
β₂ с крышечкой при фиксированных иксах.
Настоящую дисперсию мы не знаем и никогда не узнаем.
Зато вместо настоящей дисперсии мы можем посчитать оценку
дисперсии var с крышкой от price с крышкой при фиксированных иксах.
Тогда все компоненты в этой формуле получат крышку над ними.
Вот так я могу везде поставить крышку, крышка,
крышка, крышка, крышка, крышка.
А оценка дисперсии, оценка ковариации есть в ковариационной матрице в оцененной.
Соответственно, мы получаем 13.78 плюс
60 в квадрате помножить на оценку дисперсии второго коэффициента 0.025
плюс 120 помножить на оценку ковариации на минус 0.18.
Если это вычисление выполнить, то у нас получится примерно 1.
Зная оценку дисперсии прогноза,
мы можем легко оценить дисперсию ошибки прогноза в
первом случае и дисперсию ошибки прогноза во втором случае.
Давайте мы их сразу оценим.
Значит, на сколько прогноз наш не похож на среднюю стоимость
квартиры с площадью 60 метров в Москве.
Это var с крышкой,
E от y_F при условии, что totalspan
F равно 60 минус наш
прогноз y_F так,
здесь мне крышечка не нужна,
и от y_F и соответственно,
при опять же фиксированных регрессорах.
При фиксированных регрессорах,
вот эта величина является константой.
Соответственно, она не влияет на дисперсию.
А дисперсию y_F с крышечкой,
дисперсию price с крышечкой мы уже посчитали — это примерно 1.
Вторая дисперсия чуть-чуть сложнее.
Это дисперсия фактического значения y_F минус y_F
с крышечкой при фиксированных иксах.
Но, поскольку фактический y_F, это есть, то есть фактическая
стоимость какой-нибудь случайно выбираемой квартиры в Москве — это что такое?
Это среднестатистическая стоимость квартиры с данными параметрами плюс
случайная составляющая, вызванная тем, что мы случайным образом выбираем квартиры
с данными характеристиками и минус ŷ при фиксированных иксах.
Опять же, при фиксированных иксах, вот эта случайная величина, ее значение известно,
поэтому она не влияет на дисперсию и следовательно, на оценку дисперсии и нам
остается просто var с крышкой ε_F минус y_F с крышкой.
Поскольку мы строим прогнозы вот эти по 2040 наблюдениям,
а это мы строим прогнозы для какой-то новой квартиры,
которая не входит в наши 2040 наблюдений.
Это некое наблюдение, условно 2041,
то есть мы строим прогнозы не для той квартиры, которая у нас есть в выборке.
Поэтому эти случайные величины независимы,
поэтому это есть просто сумма оценок дисперсии
var с крышкой y_F при фиксированных
иксах и здесь тоже при фиксированных иксах.
И мы получаем — это σ² с крышкой,
11154 плюс 1155.
И теперь мы легко можем построить оба доверительных интервала.
Доверительные интервалы у нас строятся по принципу.
Доверительный интервал в b.
Поскольку у нас очень много наблюдений, n = 2040, то мы можем спокойно
использовать нормальные распределения для 95-% значения,
критические для статистики нормального распределения, равны примерно 2,
но если быть точным: 1.96 и, соответственно,
первый доверительный интервал мы строим по принципу ŷ минус 1.96
помножить на стандартную ошибку для первого случая,
а стандартная ошибка для первого случая — это корень из единички
до y_F с крышечкой плюс 1.96 помножить на корень из единички.
А в случае с мы используем стандартную ошибку,
равную корню из второй дисперсии.
Соответственно, у нас получается y_F с крышечкой минус 1.96
помножить на корень из 1155,
и y_F с крышечкой плюс 1.96 помножить на корень из 1155.
Вот у меня получается два доверительных интервала.
Из них первый выходит 94-точечный
прогноз минус 2.94 плюс 2,
а второй доверительный интервал выходит: корень из 1155 — это примерно 34.
Соответственно, 34 умножаем на 2, это получается 68.
Здесь 94 минус 68, а здесь 94 плюс 68.
То есть ширина доверительного интервала и ширина прогнозного интервала
резко отличается.
Почему?
Потому что наша модель довольно хорошо точно оценивает среднюю
стоимость квартиры с площадью 60 метров.
И вот про среднюю стоимость квартиры в Москве, мы уверены, что она от 92 до 96.
Однако если мы возьмем не некую мифическую среднестатистическую квартиру,
а просто выберем наугад из всех предложений квартиру
с площадью 60 метров, она, естественно, не среднестатистическая.
Она может отличаться от среднестатистической как в плюс — быть
дороже ее, так и быть дешевле нее.
Поэтому наш доверительный интервал, наш предиктивный интервал для конкретного
значения y, он оказывается шире и он соответственно равен от 94 минус 68,
до 94 плюс 68.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
