Вот такая задача 11.15.
На вход колебательного контура будет
подана последовательность прямоугольных импульсов.
11.15.
Ну я вот ее условно, так сказать, изображу, особенно не стараясь.
Вот такая вот последовательность.
Амплитуда этих импульсов — A, длительность этих
импульсов — τ, а период их следования — T.
И задано, что τ = T / 4.
То есть длительность импульсов вчетверо меньше периода их следования.
Ну вот эта последовательность, вот это U входное
подается на такую схему.
Это U входное.
Схема состоит из катушки индуктивности L,
емкости C и резистора R.
Напряжение снимается с резистора.
Вот.
Это есть уже U выходное, то есть выходной сигнал.
Резистор R.
Вот такая последовательность прямоугольных импульсов попала на вход
этого колебательного контура.
Значит, частота повторения импульсов
совпадает с резонансной частотой контура.
То есть по условию частота повторения импульсов,
то есть вот, назову ее вот Ω, которая есть 2π / T,
вот эта частота является резонансной.
Значит, ω, вот которая для этого контура есть 1 / √LC.
Вот резонансная частота.
Итак, по условию,
частота повторения этих импульсов совпадает с резонансной частотой контура.
Вот такое наложено условие.
Что же найти надо?
Значит, вычислить отношения амплитуд
второй гармоники к первой на выходе этого контура.
То есть мне нужно найти U на выходе.
U2 на выходе к U1 на выходе.
Вот U2 — это амплитуда второй гармоники
выходного сигнала, а U1 — первой гармоники выходного сигнала.
То есть рассматривается 2 гармоники.
Что такое гармоники?
Это гармоника на частоте Ω, это первая частота,
и вторая на двух Ω, это вторая гармоника.
Вот что называется гармониками.
То есть это в разложении, вот,
вот в спектральном разложении вот этой последовательности,
ее можно заменить суммой вот таких вот спектральных компонент.
Но уже гармонических сигналов, синусоид.
Значит, одна синусоида на частоте, ну первая гармоника,
на вот, на частоте вот основной, вторая на двойной, третья на...
и так далее, на тройной.
То есть в соответствии с вот, с разложением спектра входного сигнала.
Ну, собственно, с этого и начнем.
Давайте напишем, как вот n-тая компонента Cn на входе.
Мы, собственно, уже это делали.
Ну я еще раз повторю.
1 / T от −τ пополам до +τ пополам,
в задаче 11.3 мы это уже сделали,
Ae в степени (−in ΩT)dt.
Вот это взять вот такой вот интеграл, это будет амплитуда соответствующей гармоники.
Я это проделал в задаче 11.3, поэтому я напишу сразу готовенький ответ.
Что это такое?
Aτ, вообще говоря, / T sin
(nπ τ / T)
/ (n πτ / T).
Вот это выглядит следующим...
То есть, если взять этот интеграл, вот,
он дает мне эти спектральные компоненты, вот они.
В том виде, в каком вот...
В тех вот обозначениях, которые мы здесь ввели.
Теперь нам нужно эти посмотреть, ну подставить,
по существу, ведь T / τ, это есть 4.
Поэтому отсюда это выражение C, значит,
соответствующее n на входе, это есть после подстановки этой четверки,
будет A / 4, получается так,
sin n (π /
4) / n (π / 4).
Это все возможные компоненты, какие здесь могут нам встретиться.
Ну, естественно, нас интересуют только первые две.
Значит, C1 на входе, чему она будет равна?
Ну A / π и sin (π /
4), Ну, естественно,
это есть A / π и на √2, разделить.
Что касается второй гармоники, C2 на входе этого же,
вот этого же напряжения, она = A / 2π,
достаточно подставить сюда и получается просто A / 2π.
Вот 2 интересующие нас гармоники.
Это их амплитуды, этих синусоид, которые являются,
вот, главными представителями вот этого спектра этих прямоугольных,
последовательности прямоугольных импульсов.
А теперь, по существу, задача задана следующим образом.
Надо найти отношение второй амплитуды,
второй к первой гармонике уже на выходе.
И, опять-таки, у нас есть подсказка, что этот контур
настроен в резонанс с частотой следования этих сигналов.
Ну вот для того чтобы учесть этот резонанс, значит,
пишу: на первой гармонике,
гармонике резонанс.
В резонансе, как мы с вами уже знаем,
падение напряжения на катушке и на
конденсаторе находится в противофазе и давят друг друга,
то есть сопротивление, импеданс L и С, последовательно соединенных,
в условиях резонанса это есть не что иное, как 0.
Таким образом,
U на выходе первой гармоники = C1 на входе, вот для первой гармоники.
То есть они равны.
На...
Здесь напряжение точно такое же, между вот этими двумя точками,
какое на входе, потому что это сопротивление = 0.
Поэтому тут мы смело пишем U1 на выходе =
C1 на входе.
Что же касается второй гармоники, то тут все сложнее.
ω2 = 2,
вот этим Ω и = 2 / √LC.
И вот теперь это все можно просто подставить.
U, значит, 2 на выходе, что это такое?
Ну что, значит,
это C2, надо вот C2, вторая гармоника,
на входе поделить на, во-первых, это будет,
на импеданс этой цепи — LCR, это будет ток.
Значит, R в квадрате, +, здесь будет
(ω2L − 1 / ω2C) в квадрате.
Вот то, что я написал, это ток,
текущий вот в этой LCR цепочке.
Это касается только второй гармоники.
А напряжение, падение напряжения уже на резисторе, поэтому я должен еще
умножить на R, тогда это будет падение напряжения.
Вот.
Дальше дело техники подставить сюда ω2, которое есть 2 / √LC.
Ну и здесь получается как-то все вот достаточно Красиво.
Ну, по крайней мере, тут все сокращается.
Очень удобно.
Ну первое, что я сделаю, – во-первых,
вот оставлю вот здесь C2 на входе,
сокращу на это R, разделю вот этот импеданс на R.
Значит, у меня сразу же получится под знаком корня вот здесь 1.
То есть я разделю числитель и знаменатель на R.
1 +...
А вот здесь возникнет такая вот скобка.
Вот я ее сначала так вот нарисую.
ω2 – это есть 2 / корень из LC.
Вот я его подставляю.
2 получается, значит, корня из L / C.
Ну, учитывая, что здесь надо умножить на L.
Значит, минус 1 / ω 2C.
Значит, подставляя сюда,
получается: − 1/2, а здесь, опять-таки,
корень из L / C получается, в квадрате – вот эта разность.
Ну и, естественно, деленное.
Все это под знаком корня.
Деленное на R в квадрате, потому что мы разделили числитель и знаменатель на L.
Итак, мы получили вот такое вот выражение и видно,
что вот здесь как-то входит это R сюда в эту формулу.
И вспоминаем, что у нас есть выражение для добротности,
которое записывается следующим образом: Q – это есть
1 / R корень из L / C.
Кстати, в условии задачи эта величина была задана.
Я просто позабыл это сказать.
Я вот здесь даже это напишу.
Задано, что добротность этого колебательного контура равна 100.
Это было в условии задачи.
Ну так вот, здесь она, эта самая добротность, уже как бы присутствует.
Давайте запишем это, перенесем это вот сюда это равенство.
С тем, чтобы удобнее было писать.
И получается следующее: C2 на входе
поделить на корень квадратный из 1 + Q в квадрате.
Здесь будет (2 − 1/2) тоже в квадрате.
И вот здесь, конечно, поскольку Q в квадрате – это 100 и тут,
безусловно, вот этой 1 можно пренебречь, она мала.
И тогда получается практически точно следующее: Q в квадрате,
конечно, остается.
Просто корень квадратный из этой величины 100.
И здесь тоже будет вот эти 3/2.
Значит, получается 2/3.
C2 на входе поделить на,
соответственно, на Q, на добротность.
Вот у нас получилось, значит, U2, я напомню, что это такое, U2 на выходе.
Это амплитуда второй гармоники на выходе.
Таким образом, отношение U2 на выходе
к U2 на входе – это
есть 2/3
C2 на входе / Q,
отнесенное к C1 на входе.
Ну отношение вот этих гармоник на входе, как мы видим,
C2 к C1, ну вот будет просто корень из 2.
Поэтому это будет 2 / 3 Q,
а здесь внизу еще корень из 2.
И когда мы это все подсчитаем, то вот так вот
корень из 2 / 3 добротности, на 300.
Получается 0,00 0,0047.
Вот такой ответ в этой задаче.
Мы нашли в этой задаче отношение двух...
второй гармоники к первой,
уже на выходе из этого колебательного контура.
Такая задача.
