Что такое физика и зачем она нужна? Некоторые люди никогда не задаются таким вопросом. Некоторые считают, что физика нужна исключительно для создания различных «девайсов», например холодильников или мобильных телефонов. И они в чем-то правы, ведь сказал же Оскар Уайльд, что «Комфорт – это единственное, что может нам дать цивилизация». Для нас физика – это умение видеть и понимать окружающий мир, возможность творить то, о чем раньше даже и мечтать было сложно. Мы считаем, что для дальнейшего прогресса человечества необходимы ученые-физики, инженеры-физики и просто образованные люди. Мы готовы делиться нашими знаниями. Предлагаемый курс «Электростатика и магнитостатика» посвящен рассмотрению ключевых понятий этой области: уравнений Максвелла, записанных в статическом случае как внутри вещества, так и вне его, энергетических подходов для вычисления сил, действующих на объекты, находящиеся электростатическом или магнитном поле, а также рассмотрение свойств для постоянных токов. Сразу заметим – курс не очень простой, для его освоения слушателям необходимо владеть знаниями по физике в объеме школьной программы, основами дифференциального и интегрального исчисления и основами векторного исчисления. В течение 10 недель вам будут предлагаться для изучения видеолекции, физические демонстрации и семинары с разбором задач. Основные формулы и тезисы лекций представлены в виде кратких конспектов. Каждая учебная неделя содержит тест и 4 задачи для самостоятельного решения. Экзаменационные недели включают тест и 5 задач. В конце курса у слушателя есть возможность решить дополнительную контрольную работу из трёх задач повышенной сложности с ограничением по времени.
4. Диэлектрический шар во вешнем поле
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Электростатика и магнитостатика
34 ratings
From the lesson
Электростатическое поле в веществе
Электрическое поле в веществе. Проводники в электрическом поле. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации. Свободные и связанные заряды. Теорема Гаусса при наличии диэлектриков. Вектор электрической индукции. Поляризуемость и диэлектрическая проницаемость. Граничные условия на поверхности проводника и границе двух диэлектриков.
Meet the Instructors
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
И вот сейчас мы поговорим о равномерно поляризованном шаре.
Что нам нужно, по сути, найти?
Э-э-э, ну, нам нужно найти дипольный момент а-а-а, равномерно поляризо...,
поляризо...,
поляризованного шара.
Но прежде чем это сделать, придётся, как бы, поэтапно идти к ответу на этот вопрос.
Итак, равномерно поляризованный шар.
Вот такие задачи, обычно рассматриваются вот методом наложений.
Давайте прикинем.
Пусть э-э-э, пусть у нас есть как бы два шара.
Один шар с центром вот здесь.
Этот шар у нас заряжен положительным зарядом.
А немножко ниже разместим, ну даже вот
так вот, с центром вот тоже шар пойдёт.
Смещённым центром.
Отрицательно заряженный.
Значит этот у меня отрезочек, вот этот вот, это - величина смещения.
Я обозначу как дельта эль:
величина смещения одного шара, относительно другого.
А-а-а, верхний шар, как я сказал, заряжен положительным
зарядом, вот он, а нижний - отрицательным.
Ну, здесь получается, как бы, некая область пересечения,
где заряд э-э-э, суммарный, заряд равен нулю, в этой области пересечения.
Значит, объёмная плотность, соответственно, плюс ро а
здесь минус ро, объёмная плотность этих зарядов.
Значит, ну, если говорить о реальности,
надо сразу отметить, что дельта эль, это страшно маленькая величина.
Она соизмерима, наверное, с атомными размерами.
Очень маленькая величина.
Поэтому тут особенно напрягаться не нужно, это просто картинка,
что ли, которая показывает, а чего собственно мы делаем.
Значит а-а-а, шар равномерно а-а-а, значит, ну получается что у нас плюс
минус ро, смещение на величину дельта
эль, поэтому можно говорить о дипольном моменте.
П равно ро Д эль.
Но, ну да напишу Д эль.
Ладно.
На величину этого смещения.
Или дельта эль?
Да, всё-таки дельта эль.
Раз уж я так обозначил.
Вот.
Ро дельта эль.
Напоминаю, шар равномерно поляризован, и вектор П это есть ро дельта эль.
Ро – это объёмная плотность заряда.
Значит, получается что, вот этот вектор П, это и есть вектор поляризации.
То есть, потому что это есть эм, эм,
вектор поляризации, это есть дипольный момент единицы объёма.
Значит, вот что тут, у нас, получается.
Давайте, в тоже время, мы можем сказать следующее, что поле, например, Е один,
отрицательного заряда а-а-а, это поле Е один.
Э-э-э, да, кстати.
Возьмём точку, какую либо, внутри этой полости.
Ну, вот образованной.
Пусть это, например, это точка О, это центр этого шара, а это О штрих.
Я возьму какую-то точку внутри этой полости, к которой проведу два вектора.
Ну вот, проведу эти векторы из этих центров.
Этот вектор Р штрих, а этот Р.
Вот этот принцип наложения.
Вот я хочу теперь написать поле Е один, и по
теореме Гаусса, все знают чему равно это поле здесь.
Это есть минус четыре третьих пи ро Р.
Это для отрица, отрицательного заряда ро, минус ро.
Вот, и соответственно Е два, поле с
равномерно распределённым положительным объёмным зарядом, это есть четыре,
уже плюс четыре третьих пи ро Р штрих.
Значит, получается следующее.
Суммарное поле в этой точке, Е, есть сумма этих двух
полей: четыре пи на три ро, а здесь будет
Р штрих минус Р.
Это мне даст разность, Р штрих минус Р, мы видим по
этому рисунку, это есть как раз э-э-э, вектор дельта эль, ну, с обратным знаком.
То есть получается, минус четыре пи поделить на три ро дельта эль.
Или минус четыре пи
на три П, значит, обязательно знак минус.
Почему минус?
Ну, потому что, ещё раз повторяю, у
нас это отрицательный заряд, дипо, вектор дипольного момента,
рассчитывается от отрицательного, направлен от отрицательного заряда
к положительному заряду, поэтому так оно и получается.
Четыре пи на три п.
Вот это поле, которые мы получили, это поле внутри
равномерно заряженного вот, равномерно поляризованного шара.
Это поле внутри, внутри
а-а-а, равномерно поляризованного шара.
Вот эта точка - произвольная точка такого шара.
Вот, и мы получили такое выражение, где п
это вектор поляризации, которая находится вот таким вот образом.
И, кстати говоря, следует напомнить, ещё раз, что вот этот дельта эль, вот то
смещение, оно крайне мало, по сравнению с радиусом шара, а также с расстояниями вне.
Вот Р вне.
Вот я это подчёркиваю.
Крайне мало а-а-а, до такой степени, что эти
расстояния, эти смещение соизмеримо с атомными размерами.
Поэтому можно смело говорить, о поле вне,
как поле диполя, дипольного момента, который здесь действует.
И вот давайте напишем, значит, чему равно поле вне шара.
Поле вне шара.
Внутри-то мы нашли.
Так вот поле вне шара а-а-а, это,
если сказать, что В, объём шара,
четыре третьих пи р в кубе, р это радиус шара,
вот, то тогда дипольный
момент такого шара, вот это дипольный момент
шара, есть В объём умноженное на вектор поляризации.
Я напоминаю, что поль, диполь а-а-а, вектор
поляризации это есть дипольный момент единицы объёма.
Таким образом, полный дипольный момент шара определяется таким вот образом.
Так вот поле вне, как было уже сказано, Е вне,
определяется вот этим дипольным моментом.
Этим диполем, который как бы помещён в центр этого шара.
Расстояние достаточно большое, по сравнению с величиной смещения,
с плечом это диполя, поэтому всё здесь будет достаточно справедливо.
Давайте его распишем.
Е вне это есть, вот этот самый объём, умножить на
поле диполя, три, значит, здесь войдёт дипольный
момент, вот в это скалярное произведение, на р
э-э-э, вообще говоря, поделить на р в пятой минус
вектор поляризации на р в кубе.
Напоминаю, что здесь умножено на В.
Значит, в частности, при Р равном Р большое, можно найти
поле на границе, значит, на границе
при р равном р большое
получается следующее: Е от Р...
будет таким.
Четыре пи, скалярное
произведение П на Н и на Н,
минус четыре пи на три, опять-таки вектор поляризации.
Значит Н – это нормаль поверхности шара, то есть,
модуль этого вектора равен единице, а направлен по радиусу.
Вот это выражение для поля на
поверхности этого а-а-а, равномерного поляризованного шара.
А теперь самое главное, чего хотелось бы найти.
Если диэлектрический шар радиусом Р помещён во
внешнее однородное электрическое поле, то, что тогда произойдёт?
Вот я просто рисую эту картинку.
Вот это поле Е ноль, внешнее, значит, а здесь помещается
диэлектрический шар радиусом Р, с диэлектрической проницательностью эпсилон.
Что произойдёт?
Ну, произойдёт поляризация этого шара.
Причём, такая, однородная поляризация, если сам диэлектрик изотропен.
Вот и тогда, значит, надо выполнить будет граничное условие с тем, что
бы, разобраться, что будет на поверхности шара; что будет снаружи этого шара.
Значит, граничное условие это, ещё раз, шар равномерно поляризуется.
Равномерно поляризуется.
А про эту равномерную, поляризуется.
А про эту равномерную поляризацию мы уже поговорили только что.
Поэтому все основные ответы-то у нас уже есть.
Значит, нам нужно будет выполнить граничные условия на поле Е, на
поле Д, для того, что бы записать все это как надо.
Значит э-э-э, Е один Т равно Е два
Т, тангенциальные компоненты равны, и Д один Н равно
Д два Н, потому что нет никаких свободных зарядов.
Поэтому эти условия здесь замечательно выполняются.
Значит, на бесконечности, поле равно Е ноль.
Оно не возмущено, вот этими изменениями, которые
произошли в связи с внесением сюда диэлектрика.
То есть, поле остаётся таким же, как было.
Значит, внутри шара; внутри.
Что здесь?
Е равно Е ноль
плюс Е вот внутри, вот
эм, которое мы с вами определили; минус четыре третьих пи П.
Вот сейчас я напи, напишу.
Вот.
Вне – это есть Е ноль,
Е вне, значит, Е ноль плюс а-а-а, Е вне.
Вот те, которые мы получили.
Я имею ввиду Е вне, вот это вот, вне шара, вот, вот это, а это внутри.
То есть, я хочу воспользоваться этими результатами.
А-а-а, значит, если посмотреть на мои формулы, вот я, давайте, их помечу.
Вот эта одна звёздочка, а вот эта, допустим, вторая звёздочка.
А-а-а, вот эта.
Две звёздочки.
Вот если посмотреть на эти формулы вместе, вот а-а-а,
то сразу видно э-э-э, что Е один Т и Е два Т, они выпо...
а-а-а, Е один Т равно Е два Т.
Вот сразу видно, что они выполняются.
А-а-а, глядя на эти формулы.
Вот, это первое.
Теперь, вне, на поверхности, то есть, условие э-э-э,
равенство тангенциальных компонент выполнено сразу, надо просто
сравнить эти соотношения, и тогда сразу станет всё, всё понятно.
Значит вне шара, на поверхности, вне на
поверхности шара.
Что здесь будет?
Д вне а-а-а, от Р это есть,
Е ноль плюс четыре
пи П на Н и на Н
минус четыре пи на три П.
Вот я всё это сложил.
Вот, вот это, сложил с Е ноль.
Дальше.
Э-э-э, внутри, внутри,
здесь будет также, Д назову
э-э-э, внутри, ну, и давайте, стандартное.
Да, а здесь надо проекция на Н взять, и здесь тоже проекция на Н, но на нормаль.
Это будет Е ноль, минус четыре пи на три П плюс четыре пи П, как и положено.
Потому что Д, это есть Е плюс четыре пи П.
Ну, отсюда следует, вот эти, что эти
компоненты должны быть, вот это равно этому.
Вот, значит, Д в Д вне, вот в
проекции на Н равно Д э-эм, И в проекции на Н.
Они равны.
Ну, мы видим, что они действительно равны.
Вот, поэтому а-а-а, выполнение граничные условия.
Поле, полное поле внутри шара, теперь просто подсчитаем.
Полное поле; поле, внутри шара,
это есть, Е, Е
ноль, минус четыре пи П, четыре
третьих П; четыре П на три П.
П равно, вообще-то, альфе Е, как мы знаем.
Поэтому отсюда, Е ну, как бы, подставляя это сюда, альфа Е, получается следующее.
Ну да, ещё эпсилон, это есть единица плюс четыре пи альфа.
Альфа это поляризуемость данного диэлектрика.
Поэтому тут сейчас мы всё это используем.
Значит, подставляя сюда вот это значение П, у меня получается следующее.
Е значит, единица плюс четыре пи поделить
на три альфа равно Е ноль.
Или же, равно Е,
подставляя вот эти значения, это есть умноженное
на два плюс эпсилон делить на три.
Так кажется получается.
Отсюда Е, вот важное выражение, есть три поделить на
эпсилон плюс два, на Е ноль.
Так.
Вот это ответ, раз.
И теперь вектор поляризации.
Вот, а вектор поляризации, посколько у меня а-а-а, здесь места не осталось,
вот отсюда я проведу вектор поляризации.
П это есть альфа Е или, если угодно, эпсилон минус
один на четыре пи, и а-а-а, Е вот оно, три на эпсилон плюс
два, три на эпсилон плюс два и на Е ноль, на Е ноль.
Ну, можно всё это как-то более компактно записать
э-э-э, в таком более стандартном виде, значит, я это
так напишу, три на четыре пи, значит, эпсилон
минус один на эпсилон плюс два, Е ноль.
Во как!
Таким образом, вектор поляризации, вот он, ну тут надо
векторы все расставлять, будет равен вот этому, того, что я вот
здесь вот, также обведу а-а-а, некий конечный результат.
Ну, вот ааа.
После того, как мы определили, как поляризуется шар во внешнем
электрическом поле Е ноль, написали его вектор поляризации,
написали поле, какое тут получается внутри этого шара, помещённого во внешнее
электрическое поле, то можно написать дипольный момент,
дипольный момент, того шара,
который вот здесь вот, шара во внешнем поле, шара
во внешнем поле Е ноль.
Ну и чему он равен?
Дипольный момент, это вот П маленькое, это есть четыре третьих,
пи Р в кубе, на найденный вектор поляризации.
Что будет?
Будет Р в кубе, эпсилон минус один, на эпсилон плюс два, умножить на Е ноль.
Вот он ответ.
Значит шар, диэлектрический шар, с диэлектри а-а-а, с
диэлектрической проницаемостью эпсилон, помещённый во внешнее поле Е ноль,
поляризуется, и в нём возникает внутри дипольный момент равный П.
Этот дипольный момент, как бы, находится
внутри этого шара, в центре его, поэтому поле снаружи этого дипо...,
оно будет искажено, все можно легко подсчитать, вот а-а-а.
Что это дает?
Ну, это расчёт по существу.
Как выглядит, во первых, это поле?
Как его подсчитать?
Ну, и правильно ли оно?
Проверка очень простая.
Смотрите.
Если этот шар у нас становится металлом,
значит, метал, у него эпсилон устремляется к бесконечности.
То есть, диэлектрик с диэлектрической проницаемостью равной бесконечности.
Совершенно понятно что, тогда дипольный момент такого шара,
металлического, будет равен Р в кубе, на Е ноль.
А этот результат уже получали.
Его получали, когда помещали металлический шар во внешнее электрическое поле.
То есть, это, как бы, согласуется вот с тем результатом, который был раньше.
Вот мы рассмотрели с вами такую сложную задачу.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
