Когда мы предполагаем, что при таком виртуальном перемещении,
к пластинам конденсатора подключена батарея,
которая поддерживает постоянную разность потенциалов, вот U — есть константа, да?
Ну, в этом случае, формула, которая, так сказать,
для энергии конденсатора, которая содержит постоянный...
вот, постоянная...которая содержит только...
не содержит заряд, а только разность потенциалов U,
скажем, вот это первое выражение.
Ну, если не думать ничего, то можно попытаться,
по аналогии с предыдущим случаем, взять теперь уже Fx,
написать как производная −(dw / dx),
ну и взять при постоянном U, тогда что получится у нас?
Тогда получится здесь −U² / 2,
а здесь будет, а здесь будет dC / dx.
Это результат.
Надеюсь, что все догадались, что так делать нельзя?
Во-первых, получили мы совсем другой результат, мы получили, что теперь сила,
там, в выражении стоит знак −, сила выталкивает нашу пластину из конденсатора.
Ну, а почему так делать нельзя?
А потому что закон сохранения энергии в таком виде писать нельзя,
нужно всё заново сделать.
Если мы просто формально берем вот эту формулу, да?
И применяем её только здесь, дифференцирование проводим при постоянном
U, мы, как бы, неправильно записали баланс энергий.
В этом втором случае есть батарея, которая,
при нашем виртуальном перемещении, должна совершать какую-то работу.
И поэтому закон сохранения энергии в этом случае,
так делать нельзя, это неправильно.
А закон сохранения энергии записывается в этом случае так.
ΔA – работа батареи, которой нельзя пренебрегать,
конечно, будет равняться ΔW,
это запас энергии в конденсатора плюс ΔA механическая.
Вот так записывается в этом втором случае закон сохранения энергии.
Ну, а словами это можно записать так, что работа батареи в этом втором случае,
если мы поддерживаем между обкладками постоянную разность потенциалов,
она идет на изменение энергии, электрической энергии, запасенной в
системе, и на механическую работу, которая в этой системе совершается.
Ну, а дальше очень интересная ситуация возникает.
Смотрите, значит, что такое «работа батареи»?
При таком перемещении на dx, при наличии батареи,
подключенной к конденсатору, у вас меняется ёмкость конденсатора, а,
стало быть, к пластинам подтекает или оттекает заряд.
Значит, в этом случае, по цепи проходит...
протекает некая порция заряда Δq какая-то.
Да?
Тогда, вот, работа, совершенная батареей,
ΔA батареи, может быть записана так.
Это есть U * Δq, на заряд, который
протек по цепи при таком нашем виртуальном перемещении.
Ну, а что такое Δq?
Ну, ведь q = C * U,
где C, от x, конечно, C зависит от координаты x,
так вот, а Δq, очевидно, = U константа * ΔC.
Да? Вот так можно записать,
и это будет равняться, очевидно, U² * ΔC.
Вот такую работу совершает батарея при нашем виртуальном перемещении,
где ΔC — это изменение ёмкости конденсатора.
Ну, и теперь мы можем записать, вот, расписать вот это выражение,
которое представляет баланс энергий.
Получится такое выражение: U² *
ΔC будет равняться… ΔW как теперь мы найдем?
Нужно для этого взять вот эту самую формулу,
которую мы пытались и в первый раз использовать.
Да?
Это будет, это будет это
будет (U² * ΔC) / 2.
Ну, естественно, что U константа, ёмкость изменяется, поэтому
энергия изменяется вот таким образом, в зависимости от изменений ёмкости.
Ну, и плюс ΔA механическое,
это работа, которую совершают электрические силы.
Вот получилась такая забавная формула, и вот как её нужно интерпретировать.
Вот работа, видите, вот первые члены, стоящие в правой части,
ровно в два раза меньше, чем левая часть, а это значит, что работа,
совершаемая батареей, ровно пополам делится,
одна часть идет на увеличение запасенной энергии в нашей системе,
а вторая, точно такая же часть, идет на совершение механической работы.
Поэтому, в данном случае, конечная формула,
которая вытекает из закона сохранения энергии, она выглядит так, что,
что ΔW,
вот эта часть, вот, да, это есть ΔW, будет равна,
со знаком «+» ΔA механическое.
Вот, эта формула.
А в первом случае, что мы имели?
А тут тоже было равенство с другим знаком.
Да? Ну теперь, если мы учтем вот это,
то теперь не трудно догадаться, что мы получим тот же самый результат.
Значит, если мы теперь, ну, это вот, распишем,
как Fx * Δx, там, перейдем к пределу, как полагается, ну,
и получится такая формула Fx, в этом случае будет равняться,
я пишу вот такой здоровый знак «+», чтобы вы не ошибались.
А здесь стоит производная dW, ну давайте напишем от x по dx.
Да? И тоже это недостаточно,
нужно еще указать, что эту производную нужно взять при
постоянном значении разности потенциалов U.
Ну, вот получились две формулы, они внешне очень похожи.
Но в чем разница?
Здесь вот нужно дифференцировать функцию по координате со знаком «−»,
а там со знаком «+», а должен получиться один и тот же результат.
Почему так получается?
А потому что, вот эти две функции, которые обозначены одной и той же буквой,
зависимость запасенной энергии от координаты x,
глубины погружения нашей пластины в этом примере.
Да? Это разные функции,
одна из них сосчитана...
подсчитана при условии, что мы поддерживаем постоянный заряд
на пластинах, а вторая, которая входит вот сюда,
подсчитана при условии, что мы поддержим разность потенциалов постоянно.
Это две разные функции.
Вот поэтому...
а в результате, после дифференцирования, при соответствующих условиях,
конечно же, получится один и тот же результат.
Ребята, я вас предупреждаю, что если, ну, по крайней мере, в той группе, где я буду
принимать задание, если кто-нибудь из вас принесет, ну, решение задачи,
и будет написано, что F = dW по dx, ну,
там, «−» или «+», то я очень расстроюсь по этому поводу.
Да. Я скажу, что это не совсем правильно,
то есть, товарищ ошибается или заблуждается.
Я буду ему, значит, говорить, что он, наверное, не прав в этом вопросе.
Так, мягко выражаясь.
Ну, вот так вот.
Обязательно нужно указать условие, которое вы предполагаете,
при мысленном совершении этого виртуального перемещения.
Да? И, соответственно, баланс энергии другой.
В одном случае нет батареи, система изолирована,
и перемещение этой пластины вглубь конденсатора приводит...
сопровождается уменьшением электрической энергии, потому,
что за счет электрической энергии совершается работа.
Да? Во втором случае, когда U константа,
там совсем другая ситуация.
Там и изменение электрической энергии, и совершаемая работа,
всё это происходит за счет, за счет работы батареи.
И при продвижении, во втором случае,
пластины конденсатора пластины диэлектрической вглубь конденсатора,
электрическая энергия не уменьшается, а растет.
И в то же время совершается положительная работа, и всё за счет батареи.
Вот такая вот ситуация.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
