Что такое физика и зачем она нужна? Некоторые люди никогда не задаются таким вопросом. Некоторые считают, что физика нужна исключительно для создания различных «девайсов», например холодильников или мобильных телефонов. И они в чем-то правы, ведь сказал же Оскар Уайльд, что «Комфорт – это единственное, что может нам дать цивилизация». Для нас физика – это умение видеть и понимать окружающий мир, возможность творить то, о чем раньше даже и мечтать было сложно. Мы считаем, что для дальнейшего прогресса человечества необходимы ученые-физики, инженеры-физики и просто образованные люди. Мы готовы делиться нашими знаниями. Предлагаемый курс «Электростатика и магнитостатика» посвящен рассмотрению ключевых понятий этой области: уравнений Максвелла, записанных в статическом случае как внутри вещества, так и вне его, энергетических подходов для вычисления сил, действующих на объекты, находящиеся электростатическом или магнитном поле, а также рассмотрение свойств для постоянных токов. Сразу заметим – курс не очень простой, для его освоения слушателям необходимо владеть знаниями по физике в объеме школьной программы, основами дифференциального и интегрального исчисления и основами векторного исчисления. В течение 10 недель вам будут предлагаться для изучения видеолекции, физические демонстрации и семинары с разбором задач. Основные формулы и тезисы лекций представлены в виде кратких конспектов. Каждая учебная неделя содержит тест и 4 задачи для самостоятельного решения. Экзаменационные недели включают тест и 5 задач. В конце курса у слушателя есть возможность решить дополнительную контрольную работу из трёх задач повышенной сложности с ограничением по времени.
Лекция 8.5. Теорема о циркуляции для магнитного поля в вакууме
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Электростатика и магнитостатика
35 ratings
From the lesson
Магнитное поле в вакууме
Магнитное поле постоянного тока в вакууме. Вектор магнитной индукции. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Сила Ампера. Закон Био–Савара. Магнитное поле равномерно движущегося точечного заряда. Рамка с током в магнитном поле. Магнитный момент тока. Теорема о циркуляции для магнитного поля в вакууме и её применение к расчету магнитных полей. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции.
Meet the Instructors
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Я хотел вам также вот здесь нарисовать еще одну картинку.
Картинка вот такая.
Вот элемент тока, вот это есть IdL.
Нарисовать-то его можно, но выделить,
чтобы он существовал отдельно физически, невозможно.
Но, тем не менее, вот такими элементами, которые существуют только как бы
на бумаге или вот на доске, оперирует вот эта теория.
Так вот я напомню вам, что элемента тока магнитное поле вот имеет такое,
то есть линии вектора B для магнитного поля вот такого элемента
тока вот имеют такой вид – вид окружности, и они связаны,
направление вектора B в каждом месте связано с направлением
тока в этом элементе, элементе тока, правилом правого винта, правый винт.
Значит, вот здесь нарисовать нужно какие-то вот такие вектора, да?
Вот я сделал тут разрыв, показав,
что эта часть этих окружностей проходит за элементом тока.
Вот правовинтовая система.
И вот из таких элементов складывается любое магнитное
поле тока любой конфигурации.
Нужно вот поэлементно суммировать эти поля вот такого вида.
Ну и вы видите,
что силовая линия — так условно будем называть её — это линия вектора B.
Она оказывается замкнутой, чего не бывает в электростатике вообще.
И когда вы будете суммировать такие вот картинки,
то тоже получающееся суммарное поле не будет иметь точек,
в которых бы магнитное поле...
линии B обрывались бы или зарождались бы заново.
Силовые линии вектора B в любом случае
либо замкнуты как-то, либо уходят на бесконечность.
А вот такой ситуации, как в электростатике, быть не может.
Исходя из этого, мы просто формулируем первое,
первую закономерность, обобщающую все экспериментальные факты.
Вот мы пишем здесь, что поток вектора B через
произвольную замкнутую поверхность равен 0.
Вот это есть что-то похожее на теорему Гаусса в электростатике,
но справа стоит 0.
И я бы хотел подчеркнуть, что вот это соотношение,
вообще говоря, чисто математически можно получить из закона Био-Савара.
Мы этого делать не будем, потому что там какая-то неинтересная математика.
Тут как бы не будем отвлекаться на это.
Мы принимаем теперь вот это положение, что те поля, которые возникают,
те поля магнитные, которые возникают вследствие того,
что по проводникам текут токи, они вот имеют такое общее свойство,
что поток вектора B через произвольную поверхность замкнутую равен 0.
Ну, а как бы интерпретировать это нужно
следующим образом: не существует магнитных зарядов.
Ну вот это первое.
И мы вспомним, что у нас теорема Гаусса была в электростатике,
только здесь справа стоял не 0, а стоял там заряд,
который оказался внутри поверхности интегрирования.
А теперь вот давайте попробуем написать здесь что-то похожее на теорему
циркуляции.
Это будет вот что.
Интеграл от B вот тут умножим на dL скалярно,
давайте я вот сделаю лучше.
Чему он равен?
Вот оказывается, что можно опять-таки из вот этой формулы,
из закона Био-Савара, узнать, какова правая часть.
И действительно, это есть некое, получается, некоторое стандартное
выражение, которое связывает циркуляцию вектора B с токами.
И вот сейчас я не буду доказывать — это чисто формально,
а хочу проиллюстрировать это на некоторых примерах, и мы выясним,
что же нужно написать в правой части этого соотношения.
Если мы это сделаем, то у нас окажется пара соотношений, очень похожих на то,
что есть в электростатике, и, конечно, вы догадались, что вместе с той парой,
которая в электростатике, эта пара — вот их получается 4
формулы — это и есть заготовка для 4-х уравнений Максвелла.
Нужно еще тут причёсывать, нужно ещё распространять это все на переменные токи,
ну и в общем, на переменные поля, но это уже есть некоторый шаг вперед,
и мы считаем, что мы уже продвинулись далеко вперёд,
уже почти что пришли к написанию 4-х уравнений Максвелла.
Ну давайте посмотрим, на каких-то примерах попробуем понять,
что нужно написать в правой части этого соотношения.
Ну давайте вот так.
Ну во-первых, это есть не доказательство, а иллюстрация.
Мы всегда будем пользоваться формулой для прямого тока.
Для магнитного поля прямого тока.
Ну вот, скажем, давайте попробуем сначала вот такую — очень простая задача.
Вот у нас прямой ток, он течет перпендикулярно доске,
ну скажем, вот ток I.
А вот здесь где-то в стороне мы выберем контур,
замкнутый контур, но сначала этот контур будет специальный — он
будет состоять из отрезков дуг и отрезков радиусов.
Вот такой, скажем, ну давайте проведём, скажем,
вот пара радиусов, вот пара дуг, и вот такой контур.
Вот таким вот образом мы нарисуем этот замкнутый контур,
для которого мы считаем вот эту циркуляцию.
Ну...
что же мы получим в правой части вот этого соотношения,
если возьмем такой специальный контур?
Ну легко сообразить, что получится 0.
Потому что вот радиальные части этого контура,
значит, на радиальных, поскольку здесь поле вот имеет такой вид,
и поле имеет вид окружности, то радиальные части этого контура
вклада в циркуляцию не дадут, а вклад дадут
только части этих окружностей.
Но заметьте, что размер, длина этих дуг,
она пропорциональная радиусу,
а магнитное поле обратно пропорционально радиусу.
Поэтому когда мы обойдем по такому контуру, замкнутому, то получится 0.
Вот это первый пример — я не говорю,
что нужно сразу здесь писать 0 — это было бы неправильно, не нужно торопиться.
Давайте посмотрим другие случаи.
Ну теперь вот второй случай, который я рассмотрю.
Вот допустим, если есть у вас снова такой вот ток,
прямой, а здесь вот находится какой-то произвольный контур.
Ну я нарисовал то, что пришло в голову.
Вот такой контур, по которому мы будем совершать,
вычислять для которого будем циркуляцию вектора B.
Вот мы так обходим её.
В этом случае подход простой: давайте этот
контур разобьём радиусами и дугами на мелкие элементы.
Ну я не знаю, вот как тут нарисовать, например,
тут мы вот проводим радиусы какие-то.
Конечно, это нужно делать гораздо чаще.
Ну и вот такие дуги.
Ну и будем, сначала будем вычислять циркуляцию для каждого такого элемента.
Что мы получим?
0?
Значит, циркуляцию, обходя контур, ну скажем, по часовой стрелке,
вот я обхожу этот контур элементарный по часовой стрелке и получаю 0,
в соответствии с этим правилом.
Берём соседний контур.
Вот, но по стороне, по которой эти два,
два соседних контура обхода соприкасаются, мы движемся в разные стороны.
Поэтому, суммируя всё это, для всех таких элементарных контуров
обхода мы получим нулевую циркуляцию для вот этого,
вот для такого, ну это вот контур,
который является периметром этого, ну, в общем, исходного контура, короче говоря.
В этом случае тоже получится циркуляция равная 0,
ну а если по-другому ещё сказать, что циркуляция, если это контур L,
то циркуляция по этому контуру — BdL —
она равняется сумме циркуляций по этим
элементарным контурам, которые, стороны которых — это либо дуга,
отрезок дуги, либо отрезок радиуса суммы циркуляций.
Если мы эту сумму возьмем, то, конечно,
все внутренние части вообще сразу же уничтожатся.
Они никакого вклада не дают, потому что там мы дважды обходим каждую внутреннюю
перегородку в ту и в другую сторону.
Ну, останется только вот периметр этого, обход по внешнему контуру.
Ну вот давайте: сумма циркуляций.
Я не знаю как даже обозначить ее,
ну вот, а давайте я не буду вообще писать это лучше, да.
Чтобы не запутывать дело, я лучше не буду это писать.
Значит, если контур, который вы...
контур, по которому вычисляют циркуляцию,
находится в стороне от прямого тока, то получится 0.
Ну и, стало быть, это вот один из результатов, который мы получили.
Третий случай.
Ну, например, это первая иллюстрация, вторая иллюстрация,
а вот третья иллюстрация.
Ну, теперь давайте изменим характер нашего контура обхода.
А именно, вот возьмем снова прямой ток,
а контур обхода выберем так, это будет окружность,
у которой вот этот ток направлен
по оси этой, ну по оси симметрии этой окружности.
Вот такой контур.
Ну что ж получится: контур имеет радиус какой-то r, мы обходим,
ну давайте, если ток течет на нас, вот давайте соблюдать правило правой тройки.
Давайте будем обходить контур вот таким вот образом.
А ток, предполагается, течет в сторону аудитории.
Тогда что же получится?
Тогда в каждом месте, вот если возьму какую-то точку,
то вектор B направлен вот так вот.
Это есть вектор B.
А модуль его равен 2I / cR,
и это так происходит во всех точках этого контура.
Для того чтобы сочетать циркуляцию, нужно просто умножить вот это выражение,
которое я здесь написал, умножить на длину окружности – на 2 πr.
Ну, тогда получится вот что: R вообще из формулы уходит и у нас получится,
что циркуляция, вот такой интеграл B, ну B на dl,
вот такой интеграл, будет равняться (4π / c) I.
Вот что получится, когда мы умножим вот это выражение на 2 πr.
Вот циркуляция.
Но это тоже особый случай, когда уж контур совсем хороший,
он так выбран симметрично, такая окружность.
Не очень ясно, а что будет, если контур совсем другой,
имеет некоторую произвольную форму?
И вот есть такое рассуждение, которое мы под номером 4 обозначим, да?
Давайте теперь снова посмотрим, что будет, если ток течет на нас,
а вокруг есть вот такой какой-то контур обхода,
вот мы будет обходить его как-то, вычисляя циркуляцию вектора B.
Чему в этом случае будет равна правая часть вот этого соотношения?
Чему равна циркуляция?
Ну, здесь совсем просто рассуждать.
Вот можно вот таким образом поступить.
Давайте, наряду вот с таким контуром обхода,
возьмем еще здесь и нарисуем круговой контур.
Вот я его здесь нарисую, он у меня получился не очень большой,
но я думаю, что достаточно.
Вот такой вот контур.
Ну и теперь вот такую...
применим такую хитрость,
давайте вот здесь сделаем разрез и потом соединим вот так вот, может, сделаем.
Ну что это значит?
Как теперь назвать вот эту картинку?
Какое отношение имеет наш ток вот к этому сложному контуру?
Мы сначала идем по внешней части, потом переходим во внутреннюю часть,
и если внешняя часть обходится против часовой стрелки, то внутренняя часть,
очевидно, будет обходиться по часовой стрелке, да?
Вот такой сложный контур, состоящий из двух частей,
с маленьким вот таким каналом,
и через этот канал прямой провод можно было бы вытащить наружу, да?
Так это контур вот охватывает ток или не охватывает?
Какую терминологию применить?
Охватывает этот контур наш ток, вот этот уже сложный составной?
Вот такой контур считают, что он наш ток не охватывает в том смысле,
что можно этот ток удалить, не нарушая целостности вот этого контура обвода.
Ну, если это так, то можно результат, который получится здесь,
отнести к случаю, когда вот такой контур
находится в стороне тока или точнее, не охватывает ток.
Ну а какая циркуляция получится, если мы...
ну, что получится, какая же циркуляция вот для этого исходного контура?
Она будет равна,
но с другим знаком циркуляции вот для этого кругового контура, да?
А здесь для кругового контура получается вот такая...
вот такой результат.
Стало быть, и для этого контура L сложной формы,
который обвит вокруг нашего проводника,
тоже получается циркуляция вектора B равной (4π / c) I.
Конечно, нужно вот эту комбинацию запомнить,
она будет очень часто встречаться.
Ну вот.
Что осталось доказать?
Нужно еще теперь было бы рассмотреть не обязательно плоский контур.
Мы вот как бы считали, что контур плоский, хотя, вот здесь уже можно
было бы сделать его, вот этот контур L, можно было бы взять не плоским,
но еще нужно было бы вместо прямого тока,
взять ток произвольной конфигурации, произвольной формы.
То есть, нитевидный ток, но не прямой, а произвольной формы.
Вот такое обобщение нужно было бы.
Мы этого делать не будем.
А вот напишем здесь некоторое выражение: (4π / c) I.
Такая формула.
Что за I?
Какое тут I должно быть написано?
Какой ток нужно включить в правую часть?
Вот тут помните, когда мы писали теорему Гаусса в электростатике,
у нас в правую часть, выражающую эту теорему Гаусса,
вошли заряды, попавшие внутрь этой поверхности.
Помните вы это, да?
А то, что оказалось снаружи поверхности, вообще никакой роли не играет.
На поток вектора E не влияет.
Так вот здесь ситуация такая же.
В правой части должны быть выписаны со своими знаками все токи,
которые ну скажем так: пронизывают наш контур обхода,
для которого вычисляется вот эта циркуляция в левой части.
Ну вот давайте, какой-нибудь пример приведем, чтобы было понятно,
о чем идет речь.
Вот давайте, скажем, у нас есть магнитное поле...
то есть вернее, есть какие-то токи, но я нарисую какую-то картинку,
совершенно произвольную, только, чтобы пояснить правила,
по которым нужно записывать правую часть вот этого выражения.
Ну, скажем, вот такая какая-то...
Ну, что ли пучок проводов, по которым текут токи в разных направлениях,
ну, например, это вот ток I₁ там, это ток I₂, это ток I₃.
Я указал направление этих токов, а теперь мы в этом...
значит, вокруг этих токов, они создадут магнитное поле.
Значит, в этом пространстве возникнет магнитное поле.
И мы хотим применить вот эту теорему.
Как ее записать?
Для этого нужно выбрать какой-то произвольный по форме контур,
для которого будет вычисляться циркуляция – левая часть этого соотношения.
Ну, можно любой взять, ну давайте возьмем, например...
сейчас я нарисую чего-то.
Может быть можно что-то более замысловатое придумать.
Ну, скажем, какой-то контур вот такой.
Вот я вот здесь сделаю разрыв, вот такой контур, да?
Теперь давайте мысленно затянем этот контур такой вот скажем,
пленкой, чтобы показать, какие токи ее протыкают, да?
Ну вот этот ток где-то вот здесь, ну, скажем,
должен обязательно протыкает этот тоже.
А этот проходит мимо вообще в ток
I₂ на этом рисунке, как бы находится вообще в сторонке, да?
Он не протыкает, то есть не пронизывает, говорят,
что этот ток не пронизывает контур обхода.
Или, что, то же самое, – контур обхода не охватывает этот ток.
Так вот в этом случае, в этом примере, теорема циркуляции
пишется так: циркуляция вектора B = 4 π / c,
такой коэффициент возникает в правой части,
а вот здесь нужно поставить токи, сумму токов,
пронизывающих контур обхода, то есть, на нашем примере нужно поставить справа,
с правильными знаками, те токи, которые вот эту мысленно
натянутую пленку на этот контур, пронизывают, да?
Ну, здесь какие токи?
Ну, во-первых, давайте...
что-то мы не договорили.
Надо еще указать, в какую сторону мы собираемся обходить вот этот контур L, да?
Ну, давайте, например, мы обойдем его вот таким вот образом.
В эту сторону.
Если смотреть сверху, то получается по часовой стрелке.
Вот так вот, да?
Значит, по часовой стрелке.
Значит, какие же токи нужно писать справа?
Ну, во-первых, эту плёнку пронизывает ток I3 и I1, а I2 не пронизывает.
Значит, I2 здесь появиться не может.
Значит, здесь будет, вот я напишу I1 и I3.
А теперь нужно поставить знаки, чтобы, чтобы,
ну знаки этих токов должны входить в правую часть.
Так вот, правило такое.
Значит, токи с направлением линий вот в этом примере,
вот который мы с вами рассматривали, составляют правый винт.
Поэтому все токи, направление которых составляет правый винт
с направлением обхода контура, должны быть со знаком «+».
Какой ток здесь?
Ну для этого нужно сделать вот что.
Давайте выберем, вот немножко в сторонку уйдём, я поясню ещё раз.
Пусть такой контур попроще, вот такой контур, большой или маленький, — неважно.
Вот мы его обходим.
Вот такой, это некий мысленно нарисованный здесь контур.
И вот теперь, спрашивается: как выбрать правильную нормаль?
Для того чтобы расставить знаки этих токов,
нужно научиться правильно выбирать нормаль.
Вот мы мысленно затягиваем этот контур вот такой плёнкой.
В какую сторону направить положительную нормаль?
Или называют её ещё: правовинтовую нормаль.
Какой здесь...
какое правило?
Ну правовинтовая нормаль должна теперь уже не непроизвольно в ту или другую сторону,
её направление должно быть связано с направлением обхода контура.
Ну и вот в данном случае вот правовинтовая нормаль, но я не знаю, как здесь удастся
это нарисовать, если контур обходится, вот мы смотрим, скажем, из этого направления.
Контур обходится по часовой стрелке и, стало быть,
нормаль смотрит вот сюда, правовинтовая нормаль, да?
Вот точно так же мы должны, анализируя знак,
знаки токов, должны сообразить,
вот эти токи идут по направлению правовинтовой нормали или навстречу ей.
Ну вот давайте посмотрим вот в нашем примере, какой ток, так сказать,
нужно поставить со знаком «+»?
Ну если обход по часовой стрелке, вот если смотреть с этого направления,
то правовинтовая нормаль будет смотреть вниз, да?
И значит ток I1 здесь будет со знаком «−», а ток I3 — со знаком «+».
И вот теперь, ребята, вот смотрите, пожалуйста.
Вот в теории электрического и магнитного полей мы,
чтобы это сформулировать точно и в соотношении законы,
нужно использовать определённые геометрические образы.
Ну какие это образы?
Ну когда вот мы формулируем теорему Гаусса, то это,
ну это просто есть некоторая замкнутая поверхность,
причём мы договорились, что положительные нормали будут смотреть вот так вот, да?
Они всегда выбираются наружу.
Вот такой геометрический образ мы используем в электростатике,
когда, в общем, занимаемся теоремой Гаусса, да?
Ну второй образ — это вот это какая-то линия, это поверхность (s) замкнутая.
А это вот некий контур обхода.
Вот такой контур обхода.
Ну когда вычисляем циркуляцию вектора напряжённости
электрического поля, то нам ничего больше не нужно.
Вот циркуляция, вот контур обхода, и для вычисляется циркуляция.
А когда мы начинаем...
когда мы имеем дело с магнитным полем и вычисляем циркуляцию вектора B,
то приходится усложнять задачу, потому что здесь ток.
Сами токи имеют направление и приходится одновременно говорить
о положительном направлении тока и положительном направлении обхода контура.
Они не могут быть выбраны произвольно.
Они должны выбираться парами, совместно.
Понятно, да?
И вот тогда возникает вот такой образ.
Вот мы берём элементарный, скажем, контур обхода.
Вот давайте вот я возьму, вот давайте вот так возьмём, да?
Но нет, лучше, наверное, удобнее нарисовать в обратную сторону,
потому что нормаль будет правильно смотреть.
Вот, допустим, так мы обходим контур,
то нормаль положительная должна быть вот такая.
Её направление однозначно определяется направлением обхода этого контура.
Нужно пару эту уже рассматривать.
Потому что нам одновременно придётся говорить о направлении токов,
которые пронизывают вот этот контур, да?
И его направление обхода контура, нужно их связать изначально,
чтобы в формулах можно было расставлять правильные знаки.
Значит, ну везде в теории принята правовинтовая нормаль.
Ну вот также и в этом случае мы должны поступать.
Короче говоря, вот здесь мы напишем 4πI, и I — это ток,
пронизывающий контур обхода l, причём со своим знаком,
который вот выбирается по правилу правовинтовой нормали.
Понятно, ребята, да?
Вот такая вот ситуация.
Ну что ещё можно сказать?
Ну естественно, что, написав эти формулы,
мы теперь сможем сказать, что у нас есть такая система соотношений.
Вот эти формулы, написанные на доске,
полностью описывают магнитное поле тока.
Мы будем на каком-то этапе,
вот говоря об этих формулах, а они, откуда они взялись у нас?
Это магнитное поле постоянных токов.
Это в теории Максвелла, которую мы очень скоро начнём обсуждать,
эти формулы аксиоматически распространяются на произвольные поля.
Не только на полях, создаваемые постоянными токами,
но вообще на все магнитные поля, создаваемые любыми токами.
Но тут нужно кое-что ещё исправить.
Ну вот, ну вот давайте мы попробуем какие-то задачи
решать с помощью вот этой теоремы циркуляции.
Ну, наверное, нужно отметить, что,
вот здесь давайте напишем здесь вот для такого, чтобы наглядно всё это было.
Вот ещё и то, что мы получили в электростатике.
Ну это всё формулы для вакуума.
В магнитной задаче вот здесь тоже пока никаких сред нет.
Это проводники с током и вакуум.
Ну точно так же вот вакуумные формулы в электростатике будут иметь
вот такой вид: (E * ds) = 4πq, да?
А циркуляция: (E * dl) (E * dl) = 0.
Посмотрите, пожалуйста, здесь как раз,
вот когда эти формулы вместе написаны, то возникает, сразу видно,
что асимметрия в описании электрического и магнитного полей, да?
Если здесь вот в первом случае, в случае электростатики основное,
как бы основная информация, она вот заключена в этой теореме Гаусса,
и мы именно её применяли для вычисления полей в простых случаях,
то в магнитной задаче основная информация содержится вот в этом соотношении,
которое мы называем магнитной теоремой циркуляции.
Именно это соотношение связывает токи не с вектором B, а только с его циркуляцией.
Это не одно и то же.
Точно также, как вот теорема Гаусса связывает не прямо
векторы E с зарядами, а только поток вектора B.
И это вот нужно понимать, да?
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
