¿Por qué las grúas no se vuelcan al levantar grandes pesos? ¿por qué las mesas sólo necesitan tres patas (no alineadas) para apoyarse? Este curso te guiará paso a paso en los conocimientos básicos para entender el equilibrio de estructuras simples. Aprenderás conceptos básicos de las ecuaciones matemáticas que modelan las condiciones de equilibrio de partículas y de cuerpos rígidos. Además, también aprenderás conceptos como momento, que te ayudarán a entender fenómenos como el volcamiento de estructuras, y a identificar las fuerzas y momentos que actúan sobre un determinado cuerpo, mediante el concepto de diagrama de cuerpo libre. Todo esto te servirá para modelar estructuras simples pero realistas, identificar las distintas fuerzas que actúan sobre ellas, plantear las ecuaciones necesarias para que la estructura se encuentre en equilibrio, y determinar las reacciones de apoyo necesarias para tal condición. Cuando termines el curso serás capaz de generar idealizaciones de estructuras reales simples, identificar las distintas fuerzas y momentos que actúan sobre ella, y plantear y resolver las ecuaciones de equilibrio correspondientes.
1.6 Apoyos y vínculos, diagramas de cuerpo libre y equilibrio de sistemas de partículas
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From the course by Pontificia Universidad Católica de Chile
Equilibrio, ¿por qué se caen las cosas?
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Fuerzas y equilibrio de partículas
En este módulo se repasan los conceptos de física y matemática para luego definir la idea de fuerzas de manera vectorial y las ecuaciones necesarias para el equilibrio de partículas.
Meet the Instructors
Christian LedezmaProfesor Asistente
Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica
[MUSIC]
Hola.
Bienvenidos a esta nueva clase del curso de equilibrio ¿Por
qué no se caen las cosas?
En esta oportunidad veremos tres temas.
Uno es lo que se refiere a apoyos y vínculos de cuerpos con otros cuerpos.
También que es la idea muy importante de diagramas de cuerpo libre.
Y por último, el concepto de equilibrio en sistemas de partículas.
En primer lugar apoyos y vínculos.
Los vínculos se entienden como la manera en que distintos
cuerpos se conectan entre si.
Entonces en esta imagen ustedes ven tres cuerpos, un cuerpo semicircular azul,
luego una elipse roja y después un rectángulo azul, que están conectados,
está unidos entre si de distintas maneras.
Eso es lo que vamos a entender como vínculos.
La manera en que los cuerpos se comunican en términos de fuerza entre si.
Ahora, el apoyo no es más que un caso particular de un vínculo.
Entre un cuerpo y la tierra, o una superficie completamente estable.
Entonces vínculos, esta conexión entre cuerpos y el apoyo de esos casos
particulares de estos vínculos donde uno de esos cuerpos corresponde a la tierra.
Ahora, piensen que estos vínculos y estos apoyos, los dos finalmente,
eso no es lo mismo, lo que hace es restringir movimiento de los cuerpos.
Ustedes pueden imaginar como en el caso de la elipse roja de arriba de la izquierda,
en un plano donde no tiene esta elipse, las posibilidades de moverse de esa
elipse, no toda esa elipse es un cuerpo rígido, muy importante, son tres.
La elipse se puede desplazar horizontalmente, verticalmente o girar.
Tiene en el fondo tres posibilidades de movimiento,
y no más, eso lo entendemos como grados de libertad.
Un cuerpo rígido en el plano tiene tres grados de libertad.
Por otra parte si uno imagina un volumen, un cuerpo en el espacio con ejes X,
Y y Z, como el que está indicado arriba a la derecha, ahí hay más posibilidades
de movimiento porque ese cuerpo puede moverse a lo largo de X, Y y Z,
ahí hay tres grados de libertad.
Pero además puede rotar, por supuesto, entorno a X, Y y Z.
Entonces, el cuerpo sin ningún tipo de vínculo ni restricción
tendría 6 grados de libertad.
Y lo que hacen los vínculos y los apoyos es restringir,
es limitar esa posibilidad de movimiento justamente
para lograr estabilidad y reposo en el caso de algunos cuerpos.
Ahora, para denotar esos vínculos y esas relaciones entre distintos cuerpos,
tenemos distinta simbología.
Por ejemplo acá está indicado lo que se conoce como rótula fija.
Ustedes pueden imaginar que hay un cuerpo,
que en este caso esa barra de color celeste que está vinculada a la tierra,
a través de una rótula fija, éste es un apoyo.
Y se llama rótula fija.
En verdad esta simbología, este triángulo con esa base con líneas en diagonal
simbolizan que ese punto en particular de la barra azul,
no puede ni desplazarse horizontal ni verticalmente.
En el fondo el desplazamiento de ese punto está completamente impedido,
no así el giro.
O sea, esta barra podría pivotear,
podría girar con respecto al punto donde dice rótula fija, pero ese punto de la
barra no puede desplazarse libremente de manera horizontal y vertical.
¿Por qué?
Porque, por ejemplo,
puse una serie de péndulos en esa zona, en el caso de estructura real.
Ahora también esa idea de rótula se da entre cuerpos.
Por supuesto que rótula fija en un caso en particular donde uno es un cuerpo en la
tierra, pero podría haber una rótula entre dos cuerpos,
y ninguno de ellos en la tierra, pero la idea prevalece, la idea es la misma.
¿Qué significa rótula entre cuerpos?
Significa que esos dos cuerpos,
las dos barras celestes pueden girar de manera relativa entre si.
Pero ese punto, ese nodo en el fondo,
desde el punto de vista de una de las barras, la barra no está
libre de desplazarse en ese punto en relación a la otra, entonces están unidos.
Uno podría imaginarse esto, por ejemplo, con dos barras con un pasador, o sea,
un clavo por ejemplo, que atraviesa dos tablas de madera.
Ese clavo lo que hace es unirlas, pero no restringir completamente el giro.
Una rótula particular es lo que se conoce como rótula deslizante,
que tiene un símbolo distinto como ustedes ven.
Aparece esencialmente el mismo triángulo de la rótula fija,
pero aparece con una ruedas, algo en la base.
Que da la idea de que el movimiento horizontal,
en el caso de esta rótula sí está permitido.
Por lo tanto, una rótula deslizante restringe solo un grado de libertad,
que en este caso es el movimiento en la dirección perpendicular a la dirección del
movimiento de las rueditas que están indicados ahí.
Y, el último caso que veremos en esta clase es la idea de empotramiento.
Un empotramiento es un tipo de apoyo para los cuerpos donde los tres
grados de libertad, o todos los grados de libertad en el caso de tres dimensiones,
están completamente impedidos.
Entonces, ustedes pueden pensar en una barra que está solidariamente soldada,
llenas de placas, de péndulos contra un muro,
de manera que en esa unión la barra no puede ni desplazarse ni girar libremente.
Entonces tenemos rótula fija, restringe dos grados de libertad.
Rótula entre cuerpos, cumple esencialmente el mismo propósito.
Rótula deslizante restringe solo un grado de libertad de desplazamiento, y el
empotramiento restringe todos los grados de libertad que aparecen en el sistema.
Segunda idea, la idea de diagramas de cuerpo libre.
Cuando tenemos problemas reales, como los que están indicados acá en la figura donde
uno tiene una estructura con forma de L, que tiene en su base una rótula fija.
Tiene en su extremo superior una caja de una cierta masa
que está descansando sobre esa estructura con forma de L.
Y además tenemos un cordel que está tirando a esa
estructura para poder analizar las condiciones de equilibrio,
de estabilidad y una serie de otras condiciones en el cuerpo estructural.
En este caso, es muy útil ser capaz de aislar a ese cuerpo y ver
qué es lo que le está haciendo el entorno a él antes de empezar a tirarse y escribir
ecuaciones de equilibrio o de otro tipo sobre el sistema.
En este caso, por ejemplo, si yo aislo la estructura con forma de L
puedo identificar una serie de fuerzas que están actuando sobre ella.
Por ejemplo,
en el contacto con la rótula fija en la parte inferior aparecen dos reacciones,
porque en el fondo ese punto está impedido de moverse horizontal y verticalmente.
¿Cómo se logra eso?
A través de fuerzas, indicadas en este caso con Rx y Ry.
Se supone además que el cordel está tirando con una fuerza T,
no sé si conocida o desconocida,
pero una fuerza T en el extremo superior izquierdo de la estructura.
Eso lo puedo representar a través de un vector, una flecha T,
apuntando en la dirección del cordel.
Adicionalmente, donde está la caja de masa m
también está actuando el peso de esa caja.
Eventualmente podría haber un roce que no está indicado ahí pero podría estar
actuando.
Y hay un par de flechas adicionales que corresponderían
al peso propio de los dos brazos de la estructura.
Entonces, ¿en qué consiste nuestro diagrama de cuerpo libre?
En aislar componentes de una estructura e identificar todas las fuerzas que actúan
sobre tal parte, sobre tal componente.
Una vez que tengo identificadas esas fuerzas puede recién empezar a escribir
algún tipo de ecuación.
Un segundo ejemplo de esto mismo, por ejemplo con el caso de una escalera,
y una persona ascendiendo a lo largo de esa escalera nutridas.
Ustedes pueden imaginar que en esa escalera lo que hay,
hay una rótula entre cuerpos en la parte superior y que abajo, por ejemplo,
podría haber una superficie rugosa con roce.
Bueno, si yo quiero mirar una mitad de la escalera y hacer
el diagrama de cuerpo libre correspondiente a esa mitad,
las fuerzas que aparecen son las que están indicadas ahí en la figura.
En la parte superior derecha, dado que hay un contacto con otro cuerpo a través
de una rótula entre cuerpos, aparecen dos fuerzas que es Fx y Fy,
que limitan la posibilidad de desplazamiento libre desde ese punto.
En la parte inferior izquierda aparecen también dos reacciones Rx y Ry, de manera
que la escalera no se queda abriendo, debe haber algún roce en esa parte inferior.
Y además aparecen dos pesos W1 y W2.
Uno de ellos podría representar el peso de la persona,
y el otro representar el peso de esa mitad de la escalera que estoy analizando.
Nuevamente, una vez que tengo dibujado el diagrama de cuerpo libre,
puedo recién empezar a escribir ecuaciones de equilibrio,
o las que sean pertinentes para el problema en cuestión.
Para finalizar esta clase lo que haré será resolver un ejemplo en esta dirección.
En aplicación de diagramas de cuerpo libre
y planteamiento de ecuaciones de equilibrio.
El ejemplo que voy a resolver a continuación es el que está ilustrado en
esta imagen, donde se supone que hay dos cilindros de radio diferentes.
Un cilindro grande, un cilindro pequeño, que están descansando en los
planos inclinados en inclinación alfa y beta indicados en la figura.
Para simplificar el problema, you veremos problemas un poco más complejos,
súmale que todos los contactos en todos los puntos de contacto son perfectamente
lisos, no hay roce en este problema.
Lo que se pide demostrar es que para que ese sistema esté en equilibrio sin roce,
se debe cumplir una cosa muy particular en términos de geometría,
en este caso que ese ángulo teta tenga una tangente igual a la relación que aparece
al lado derecho de la igualdad.
Veremos que a través de la idea de los diagramas de cuerpo libre y una correcta
aplicación de las ecuaciones de equilibrio,
esta ecuación es posible ser demostrada.
En este problema se pide analizar la condición de equilibrio de dos cuerpos que
están en contacto sin roce.
Se trata de dos cililindros de radio diferente y pesos distintos también.
Pesos doble de uno y doble de dos,
que se apoyan entre sí y que además descansan sobre planos sin roce.
Y lo que se pregunta es cuál es un poco la condición geométrica que se debe cumplir
para que el equilibrio se logre en la configuración que
está mostrado en la imagen.
Y finalmente se plantea una ecuación que debiese satisfacer
las distintas variables que están ahí indicadas.
Tal como en otros problemas,
lo que haremos será mirar cada cuerpo por separado.
Ver cuáles fuerzas actúan sobre esos cuerpos,
planteando ecuaciones de equilibrio y ver qué
nos dicen esas ecuaciones de equilibrio para este problema en particular.
Partiendo por el cilindro más grande, el cilindro W1, lo que uno puede
observar es que sobre ese cilindro actúa su propio peso, que you está indicado.
Pero además en los dos puntos de contacto,
en el punto de contacto con el cilindro más pequeño y en el punto de contacto con
el plano inclinado, se generan otras fuerzas de apoyo.
No te roce, solamente de apoyo.
¿Eso qué significa?
Que si, por ejemplo, yo tiro acá una línea imaginaria que une
este centro con el centro del otro cilindro.
Acá se debe generar una reacción normal que voy a llamar N
que es la fuerza que el cilindro pequeño hace sobre el cilindro grande.
Y además acá en alguna parte inferior aparece en este punto de contacto otra
reacción normal de apoyo en el plano inclinado con valor alfa.
Y a esa reacción normal la voy a llamar N1.
No hay fuerzas tangeciales a estos puntos porque no hay roce.
Y además por la configuración de todos estos círculo,
tanto N como N1 apuntan hacia el centro del círculo.
Por lo tanto en rigor siguen,
uno siempre tiene tres ecuaciones de equilibrio en el plano.
Acá en este caso esas tres ecuaciones se reducen sólo a dos porque las fuerzas son
concurrentes.
Y ahora hay que mirar la inclinación en la geometría del problema
esta fuerza N está inclinado en un ángulo teta respecto a la horizontal.
Mientras que la fuerza N1 que está acá indicada,
dada la configuración está inclinada en un ángulo alfa respecto a la vertical.
Entonces al escribir la suma de fuerzas verticales igual a cero,
y la suma de fuerzas horizontales igual a cero, tengo un sistema de dos ecuaciones
para NW1, N1 y N+V alfa y teta.
Bueno, escribamos esas ecuaciones.
La sumatoria de fuerzas verticales indica que el peso W1 que apunta hacia abajo,
más N por el seno de teta, que también apunta hacia abajo,
tiene que ser igual a la componente de N1 que apunta hacia arriba.
O sea N1 por el coseno de alfa.
Por otra parte la suma de fuerzas horizontales es igual a cero,
dado que W1 vertical no participa dice que la componente horizontal de N que es
N por el coseno de teta, tiene que ser igual a la componente horizontal de N1
que es N1 por el seno de alfa.
Por lo tanto sumadas fuerzas horizontales igual a cero, implica que N por el
coseno de teta, tiene que ser igual a N1 por el seno de alfa.
Estas dos ecuaciones las puedo combinar un poco, en particular de la segunda
ecuación puedo despejar N1, pasando el seno de alfa para ver el otro lado.
Y una vez que tengo ese N1 lo reemplazo de la ecuación y obtengo una sola ecuación
en función de W1, N, teta y alfa.
Bien, eso es lo que haremos, y you verán que en el fondo va ser de utilidad para
derivar esta expresión que se propone en el enunciado.
Entonces eso nos lleva a que W1 es igual
a le damos el paso intermedio.
W1 más N por el seno de teta, es igual a N1 por el coseno de alfa.
Y N1 es N por coseno de teta,
partido por seno de alfa, eso multiplicado por el coseno de alfa.
you, lo cual significa que despejando de acá,
W1 se puede encontrar como N veces el coseno de teta,
por la cotagente de alfa, que el término que estaba acá, menos el seno de teta.
Y esta ecuación la voy a llamar 1,
que proviene del equilibrio del primer cilindro.
Ahora puedo hacer exactamente lo mismo para el segundo cilindro,
el cilindro pequeño de peso W2.
Es una cosa de este estilo.
Ese cilindro tiene un peso W2 y el cilindro grande que está en el lado
izquierdo ejerce una fuerza sobre ese cilindro.
Esa fuerza es la misma que you habíamos determinado antes,
la llamamos N, indicado acá.
Esa fuerza N tiene una inclinación respecto a la horizontal Teta.
Eso es por la configuración geométrica dada en el enunciado.
Y además en otro costado del mismo cilindro pequeño,
aparece este punto de contacto con el plano inclinado beta,
y ahí también aparece una fuerza de apoyo que es una fuerza normal,
digamos no de roce, que le vamos a llamar N2.
No tiene por qué ser igual a N1, por supuesto.
Nuevamente se trata de un sistema de tres fuerzas que concurren en un punto.
Y por la misma condición you indicada,
las tres ecuaciones de equilibrio del plano se reducen a sólo dos.
Y, ¿qué falta acá?
Falta solamente indicar que esta inclinación de N2 respecto a la vertical
es igual a beta.
Entonces similarmente puedo escribir
suma de fuerzas verticales igual a cero en este cilindro.
Que en el fondo para que el cilindro esté desplazándose
verticalmente se tiene que cumplir esa condición.
Y además que la suma de fuerzas en las horizontales sea igual a cero para que no
se esté desplazando horizontalmente.
Por lo tanto, en el sentido vertical tengo que el peso que es W2 que apunta hacia
abajo, tiene que ser igual a las componentes verticales de N2 y de N,
que en este caso que los dos apuntan hacia arriba.
Y es igual a N2 por el coseno de beta, más N por el seno de teta.
Y en el sentido horizontal tengo que N multiplicado por el coseno de teta,
tiene que ser igual a N2 por el seno de beta.
Similarmente a como lo hice en el otro cilindro
de la segunda ecuación voy a despejar N2,
pasando ese seno de beta para el otro lado y ese resultado lo voy a reemplazar en la
primera expresión para escribir W2 como una función de N y de los ángulos.
Acá voy a robar un poco de cálculo, solamente ustedes pueden demostrar que
al desarrollar y trabajar estas dos ecuaciones W2 lo puedo escribir como N
veces la cotagente de beta para el coseno de teta, más el seno de teta.
Ésta sería la ecuación 2.
Y lo que ahora hago es directamente dividir 1 sobre 2.
O sea, 1 dividido en 2, eso en el lado izquierdo me queda W1 partido por W2,
igual, ustedes se fijan que N está
como factor en el numerador y en el denominador, por tanto N se va a cancelar.
Y acá me queda que ésto es coseno de teta.
Porque contangente de alfa menos seno de teta dividido por cotangente de beta
coseno de teta más seno de teta.
Y solamente para de mostrar que lo que está indicado en el enunciado es correcto
desarrollamos un poco más.
Voy a dividir tanto el numerador
como el denominador del término del lado derecho por coseno de teta.
Y al hacer eso lo que resulta es que la cotagente de alfa,
menos la tangente de teta, dividido por cotagente de beta más la
tangente de teta, tiene que ser igual al cociente entre W1 y W2.
Y en un fondo pasando este denominador para el otro lado,
y este W2 para el otro lado,
podemos despejar o encontrar en el fondo una expresión para la tangente de teta.
Les voy ahorrar ese cálculo a ustedes.
Digamos se pueden convencer a si mismos que de esta
expresión yo puedo indicar que tangente de teta,
es igual a W2 por cotangente de alfa, menos W1 cotangente de beta,
dividido por la suma entre los dos pesos, W1 y W2.
O sea que para que estos dos cilindros, con las geometrías que están
ahí indicadas estén en equilibrio, ese ángulo de la fuerza de contacto entre
los dos cilindros, tiene que obedecer esta ecuación.
De otra manera no es posible de que sin roce este cilindro esté en equilibrio.
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