Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Velocidad y aceleración usando fórmulas de derivadas
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Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
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Velocidad instantánea y derivadas
En esta semana hablaremos de conceptos importantes referentes a la velocidad instantánea, las derivadas y cómo se usan en la física. Te invitamos a revisar cuidadosamente el contenido de esta semana, realizar todas las actividades y a participar en los foros de discusión.
Meet the Instructors
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Hola de nuevo.
El tema de esta semana ha sido velocidad instantánea.
you hemos pasado por tres métodos, el método gráfico,
el método de aproximación numérica, y el método analítico.
En esta ocasión vamos a calcular la
velocidad instantánea, pero a partir de derivadas,
eh, bueno, hemos estado derivando realmente solo
que ahora lo vamos a hacer con
fórmulas, y además, vamos a explorar algunos
conceptos como el de aceleración que también se
puede considerar como una razón en sintonía de
cambio pero de velocidad no de la posición.
Vamos al ejercicio.
Vamos a cerrar ahora aprovechando unas técnicas que se,
normalmente se aprenden en los cursos de, de matemáticas
pero nosotros hemos estado aprovechando mucho las matemáticas, la
herramienta del cálculo diferencial para poder estar modelando problemas,
eh, y situaciones de cinemática. Bien.
Tenemos un ejercicio en el que vamos a aplicar las
reglas de derivadas para resolver algunos ejercicios.
Entonces, nos dan una función de posición, eh, de una partícula, y esta función de
posición es menos 1.00 t cuadrada más 2.00 t y menos 3.00 metros.
Y entonces, nos piden, eh, como primer ejercicio nos
piden determinar la función de velocidad de la partícula.
Entonces, you vimos en las clases de teoría que la
velocidad de una partícula, matemáticamente,
eh, la habíamos definido muy formalmente
por medio de una, eh, por medio de un límite, pero
se puede simplificar diciendo que es la derivada de la función
de posición con respecto al tiempo.
Entonces, en este caso como nos dan la función de
posición, lo que podemos hacer es derivar utilizando las reglas.
Y como vieron en sus clases de teoría, tenemos que, las reglas para
las funciones como esta, en la que las, eh, la variable independiente, que
en este caso es el tiempo, está elevada a potencias, eh, a cualquier
potencia real, la regla que podemos
utilizar es tomar ese exponente y multiplicarlo
por la constante que se ve justo como coeficiente de esa variable independiente.
y a ese exponente le vamos a restar 1. Entonces, ¿qué tenemos aquí?
Tenemos un 2 multiplicado por negativo 1.00.
Esto nos va a dar menos 2 punto 00, y ahora
la variable independiente, le vamos a restar, eh, 1 al exponente.
Cómo el exponente originalmente era 2, ahora el exponente va a ser, eh, 1.
Voy a escribir, eh, todo.
Voy a escribir 2 menos 1. Okay, más el siguiente término.
El siguiente término, tenemos una t, que aunque
no muestra una exponente, el exponente es 1.
Entonces ese 1, sabemos que va a pasar multiplicando aquí al 2, lo cual nos
va dar un más 2.00, pero la t, ahora, se le va a restar un 1.
Entonces, vamos a tener una t a la 0. Y por último, aquí tenemos una
constante, pero you sabemos como derivada significa razón instantánea
de cambio, pues, algo que no cambia, pues, la razón de cambio es igual a 0.
Por lo tanto, la derivada de un constante es 0.
Y esa es una de muchas explicaciones que podemos dar que la derivada de
una constante es igual a 0. Bien, pues nuestra solución, finalmente es
que la velocidad es menos 2.00 t más 2.00, porque t elevado a la potencia 0
y cualquier otra cantidad, eh, diferente de 0 que esté
elevado a la potencia 0 va a ser igual a 1.
Y por supuesto, las unidades deben ser metros entre segundos.
Noten que de acuerdo a la notación que estamos utilizando y
la definición de derivada, la definición formal que vimos en un ejercicio
anterior, pues nos queda una división de la cantidad, una cantidad
de la dimensión longitud entre una cantidad de la dimensión de tiempo.
Bien. Pues esta es la función
de velocidad.
Ahora, el siguiente ejercicio dice que calculemos
la velocidad en el instante 2 segundos.
pues, aprovechando que you tenemos una función de velocidad, noten
como esta es la función de velocidad para todo instante
de tiempo, lo único que tenemos que hacer es sustituir
en el tiempo el instante 2 para nuestra función de velocidad.
you no necesitamos volver hacer la derivada porque you tenemos una función
que nos va a dar la velocidad en cualquier instante de tiempo.
Así que hacemos el cálculo menos 2 por 2 es menos 4, y más 2 nos
va a dar menos 2.00 metros entre segundos. O sea que
tenemos la función evaluada en 2 segundos.
El inciso (c) nos pregunta que ¿Cuándo esta partícula va a estar en reposo?
Bueno.
El hecho de que una partícula está en reposo significa que su velocidad,
es que lo voy a escribir de esa manera, la velocidad, en algún instante de tiempo,
debe ser igual a 0. Así que, aquí lo que buscamos es que
nuestra función de velocidad, que es menos 2.00 t más 2.00, sea igual a 0.
Entonces si lo establecemos de esta manera, aquí lo que estamos buscando, es
el instante de tiempo para el cual se cumple que la velocidad sea igual
a cero.
Tengan mucho cuidado, no confundan esto con la velocidad inicial.
Mucha gente erróneamente simplemente sustituye un 0 para la t.
Pero sustituir un 0 para la t significaría evaluar la velocidad en un instante 0,
lo que nos daría la velocidad inicial y no, no es eso lo que buscamos.
Lo que buscamos es el instante para el cual se cumple esto,
para lo cual se cumple que la velocidad sea igual a 0.
Entonces, haciendo un despeje,
Tenemos que ese, eh,
2, vamos a verlo ahora, al otro lado, y en total vamos a tener que
el tiempo es menos 2 .00 entre menos 2.00, por supuesto que nos
debe quedar en segundos y esto, entonces, ocurre en el instante 1.00 segundos.
¿Sí?
Si quieren comprobar si es correcto su respuesta,
pues, lo que pueden hacer es evaluar la
función en el instante 1.00, la función de velocidad,
por supuesto, y chequear si, efectivamente su velocidad
es 0, lo cual en este caso es correcto.
Muy bien.
Ahora nos piden que calculemos o determinemos
la función de aceleración de la partícula.
Y pues, nuevamente, la aceleración, eh, por la definición que
se nos dio en las clases de teor, de teoría,
la aceleración es la razón instantánea de
cambio de la velocidad que escrita matemáticamente,
pues equivale decir que es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
Así que, esa derivada de la velocidad, sí, aquí lo voy
a escribir como la derivada con respecto al tiempo, vean, voy a
escribir toda la expresión de la velocidad no he, no hemos hecho
todo la derivada todavía, Tenemos que hacer la derivada de esto, ¿sí?
De todo
esto que está encerrado en este paréntesis.
Entonces, el primer término es menos 2.00 t.
Como t está elevado a la 1, ese 1 pasa multiplicando y
se le resta 1 y va a ocurrir como nos pasó en
el primer ejercicio, que nos va quedar únicamente, 2.00 como en la
derivada de ese primer término; y el segundo término es una constante.
Por lo tanto, el segundo término, su derivada va a ser 0 y esto, por supuesto,
como es una división, de acuerdo a la definición de derivadas,
sería una división de la dimensión
longitud entre tiempo entre dimensión tiempo.
El resultado tendría dimensión de longitud entre tiempo entre tiempo, que en unidades
del sistema internacional nos daría unas, eh,
unidades de metro entre segundo al cuadrado.
Entonces, escribiendo la función de aceleración
que depende del tiempo, esa función es 2.00 metros entre segundo al cuadrado.
Noten que en este caso en particular, la aceleración es una constante, que es la
constante de menos 2.00 metros entre segundo al
cuadrado Muy bien, ahora dice: Calcula la aceleración
de la partícula en el instante 2.00 segundos.
O sea, en la notación de funciones, debemos, eh, escribir a entre paréntesis
2.00 dando a entender que es la aceleración evaluada en 2.00.
Pero nuestra función de aceleración es la función menos 2.00.
No hay tez, hay, noten que es una constante.
Por lo tanto, no importa en qué instante
evaluemos esa aceleración, el resultado va a ser siempre
menos 2.00 metros entre segundos al cuadrado.
Por lo tanto, la respuesta es de esa forma.
Si la aceleración hubiera tenido una t involucrada allí, es
decir, si hubiera dependido del tiempo, pues habríamos que haber
tenido que hacer las operaciones necesarias como cuando evaluamos la
función velocidad para encontrar la velocidad en el instante 2.
Y por último, otra pregunta que, pues también
parece redundante, ¿Cuándo tiene aceleración cero la partícula?
Pues, tendríamos que hacer lo mismo que hicimos
para la pregunta que nos hicimos de cuándo es
la velocidad 0, pero en este caso tomando
en cuenta cuándo es la aceleración igual a 0.
Pero, como la aceleración es constante, y es la
constante de menos 2.00 metros entre segundo al cuadrado,
eso nunca, nunca va a ser 0. No al menos dentro de la información que
nos dan para esta función de, de posición, que nos dan en la redacción del ejercicio.
Entonces, la respuesta para este caso es que la
aceleración nunca va a ser 0 en esta situación.
Okay?
Una nota adicional acerca del uso de las reglas de las derivadas eh,
es importante que, aunque en este curso, siguemos la fórmula para derivar
seno, coseno, tangente, eh, la función
exponencial, la función logaritmo, es importante que
entiendan que cuando vean funciones como, de esta forma, por ejemplo, la función
exponencial con argumento t multiplicado por el coseno de t, o bien
un cociente entre otras dos funciones, vamos a pensar seno de
t entre 1 más coseno de t.
Algo como esto, o este otro ejemplo también sería
bueno, seno de t cuadrada en donde el argumento no
es simplemente una t, siempre que halla productos de
funciones de t, divisiones entre funciones de t, o funciones
que no son estrictamente de t, sino que son de una función a
su vez, una función de t, los llamamos funciones compuestas en las matemáticas.
Hay que tener mucho cuidado.
Eh, no hay que usar las reglas directamente.
Para poder saber qué reglas se utilizan aquí, consulten las reglas
del producto, las reglas del cociente, y las reglas de la cadena.
No son parte de este curso.
Cuando en este curso nosotros, eh, pedimos que
resuelvan ejercicios en los que hay funciones de
esta forma o parecidas si de tal manera
que hay expresiones de t multiplicando y dividiendo,
o dentro de las funciones como compuestas, en
ese caso, nosotros esperamos que utilicen el método
de aproximación numérica que fue expuesta en uno
de los ejercicios de ejemplo de esta semana.
Bueno, pues estos fueron algunos
ejemplos de como utilizar las derivadas, eh, para
calcular velocidades y relacionar, em, eh, la velocidad con la aceleración o
la velocidad con la posición de una partícula sin necesidad de utilizar, eh,
métodos numéricos, sino que podemos recurrir
directamente a las fórmulas de derivadas Hasta
la próxima.
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