Теперь давайте немножко сменим пластинку.
Поговорим о футболе.
В футболе в случае, если в штрафной площади происходит нарушение правил,
назначается пенальти.
Это штрафной удар, который пробивается с расстояния 11 метров в ворота,
защищаемые только вратарем.
Давайте представим, что футболист,
который бьет пенальти, и вратарь играют в одновременную игру.
В этой игре нападающий выбирает, в какую сторону нанести удар — вправо или влево,
и вратарь выбирает, в какую сторону прыгнуть — вправо или влево.
Как правило, вратарям приходится гадать, в какую сторону будет нанесен удар,
поскольку время на принятие решения после нанесения удара очень маленькое,
и вратарь среагировать на удар успевает очень редко.
Игнасио Паласиос Уэрта собрал данные по примерно
полутора тысячам пенальти за период с 1995
по 2000 годы и попытался собрать статистику о том,
как игроки принимают решение о том,
в какую сторону прыгать или, наоборот, наносить удар.
Большая часть этих данных была собрана просмотром матчей
национальных футбольных лиг ведущих европейских чемпионатов.
Статистика показала, что футболисты били в центр только в 6 % случаев,
а вратарь оставался в центре только в 1 % случаев.
Поэтому, на самом деле, можно рассматривать эту игру как игру,
в которой у каждого из игроков есть только две стратегии: бить вправо и бить влево,
прыгать вправо и прыгать влево.
Будем считать, что платеж, который получает футболист,
пробивающий пенальти, — это вероятность забить гол.
А платеж вратаря — это вероятность того, что гол не будет забит.
Тогда матрица платежей, опять же по статистике, выглядит следующим образом.
Например, если футболист ударил направо,
и вратарь прыгнул в ту же сторону, —
здесь давайте поясним: мы под прыжком вратаря направо
подразумеваем прыжок в ту сторону, которая является правой для футболиста,
то есть, мы зафиксировали, что такое направо,
и это одна и та же сторона для нападающего и для вратаря,
просто для определенности терминологии, —
так вот, если футболист пробил направо
и вратарь прыгнул в ту же самую сторону, то есть угадал направление мяча,
то пенальти забивается примерно в 70 % случаев, а отбивается в 30 %.
Если футболист пробил направо, а вратарь прыгнул налево,
то есть он не угадал направление удара,
то тогда пенальти забивается примерно в 93 % случаев.
Вратарь помешать уже не может, но есть вероятность того,
что мяч попадет в штангу или вообще пойдет мимо ворот.
Если нападающий пробил налево,
а вратарь прыгнул направо, то тогда пенальти забивается в 95 % случаев.
И, наконец, если нападающий ударил в левую сторону,
и вратарь прыгнул туда же, то пенальти забивается в 58 % случаев.
Давайте найдем равновесие Нэша в смешанных стратегиях в этой игре.
Предположим, что нападающий с вероятностью q бьет вправо,
а с вероятностью 1-q — бьет влево.
Вратарь с вероятностью p прыгает вправо, а с вероятностью 1-p — прыгает влево.
В равновесии обе чистые стратегии, с которыми бьет
футболист, должны приносить ему одинаковый ожидаемый платеж.
Тогда вычисляем, какой ожидаемый платеж приносит стратегия «бить вправо»,
вычисляем, какой ожидаемый платеж приносит стратегия «бить влево»,
приравниваем эти ожидаемые платежи,
и отсюда мы найдем то значение p,
при котором нападающему имеет смысл смешивать свои стратегии.
То же самое верно и для вратаря.
Вратарю имеет смысл смешивать свои стратегии только в том случае,
если каждая из двух чистых стратегий — «прыгать направо» или «прыгать налево»,
приносит одинаковый ожидаемый платеж.
Вычисляем эти ожидаемые платежи и приравниваем их.
Получается два уравнения, из которых находим,
что значение p и значение q
в равновесии равны 7/12 и 37/60 соответственно.
Вот при таких смесях,
при таких значениях вероятностей,
с которыми нападающий смешивает стратегии «бить направо», «бить налево»,
и вратарь смешивает стратегии «прыгать направо», «прыгать налево», у нас будет равновесие.
То есть ни одному из игроков не будет выгодно отклониться при фиксированной
стратегии другого игрока.
А что же происходит на практике?
Что показывает статистика?
Снова в той же самой работе Игнасио Паласиоса Уэрты
приведены статистические данные по тому,
как в реальности били и прыгали вратари и нападающие.
Мы можем видеть, что равновесие в смешанных
стратегиях очень похоже на те результаты,
которые мы видим на практике.
Согласно нашей теории, вероятности, с которыми игроки смешивают свои стратегии,
должны равняться 58 % и 61 % соответственно.
На практике получается,
что эти вероятности равны 58 % и 60 % соответственно.
Результаты очень похожи.
Это означает,
что в жизни игроки действительно играют равновесные стратегии.
Почему в жизни игроки действительно играют равновесные стратегии?
Дело в том, что если бы какой-то нападающий все время бил
в одну сторону, то тогда вратарь легко бы научился предсказывать,
в какую сторону этот нападающий будет бить.
И тогда вратарь прыгал бы в ту же самую сторону.
Значит, такое поведение нападающего было бы неоптимальным.
Это крайний случай, но тем не менее, если какой-то нападающий будет, действительно,
слишком часто предпочитать одну сторону, то вратарю станет про это известно.
Недаром в каждом футбольном клубе сейчас есть статистические службы,
которые помогают принимать решения о том, куда прыгать вратарю во время пенальти.
Многие из вас наверняка помнят эпизоды с футбольных трансляций,
в том числе самого высокого уровня, когда вратари доставали во время пробития
серии одиннадцатиметровых из гетр записочки с бумажками, в которых,
фактически, и были зафиксированы вот эти вот отклонения каждого
из нападающих команды соперника от равновесной стратегии.
То есть было проанализировано, куда чаще отклоняется тот или иной игрок.
И, соответственно, у вратаря была возможность сыграть оптимальный
ответ на ту стратегию, которую играет игрок.
Иногда именно это и помогало добиться победы в серии одиннадцатиметровых ударов.
У нас остается еще один важный вопрос: а действительно ли пенальти
являются одновременной игрой?
Действительно ли футболист, который бьет одиннадцатиметровый удар,
и вратарь принимают решение одновременно?
Но, может быть, все-таки у вратаря есть возможность проследить,
куда будет нанесен удар, и отбить его?
В работе Chiappori, Levitt и Groseclose показано,
что вратарь прыгает в ту же самую сторону, в которую футболист пробивает пенальти,
на примерно 3 % чаще, чем предсказывается теорией.
Это как раз и может являться следствием того,
что в некоторых случаях вратари способны реагировать на направление
полета мяча и прыгать в правильный угол.
Однако с уверенностью принять одну из этих двух гипотез о том, что пенальти являются
одновременной игрой или, наоборот, ей не являются, мы пока не можем.