Разработанный МФТИ курс отличается тем, что все основные конструкции и принципы теории вводятся непосредственно на основе разбираемых "с нуля" конкретных этюдов. Каждый этюд начинается с понятной непрофессионалу проблемы. В одних случаях это просто "детская игра", в других - формализованное жизненное наблюдение, в третьих - обобщённая социальная закономерность. Сюжет затем разворачивается, исходя из логики содержащегося в нём конфликта, и сам порождает тот или иной принцип разрешения конфликта, который окончательно строго формализуется в виде решения игры. Этюдов всего рассмотрено чуть более десяти, и они в совокупности покрывают основные формальные конструкции базовой теории игр. В нескольких отступлениях приведены формулировки теорем существования игровых решений с набросками доказательств.
Игра "Прятки": отсутствие равновесий Нэша, смешанные стратегии
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Теория игр
44 ratings
From the lesson
Смешанные равновесия
Meet the Instructors
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ
Ситуации, в которых равновесия Нэша нет.
«Прятки».
Игра в прятки.
Играют двое — один прячется, другой ищет.
Попытка ровно одна, мест — ну, допустим, несколько.
Ну давайте самая простая ситуация пока, места два.
Можно спрятаться в месте A или спрятаться в месте B.
Поэтому стратегические множества у обоих игроков состоят из
двух элементов: A и B, а игроков всего два.
Вот.
Давайте посмотрим на какую-нибудь типичную для этой ситуации матрицу выигрышей.
Итак, первый игрок и второй игрок.
Место A, место B.
Место A, место B.
Первый прячется, второй ищет.
Тогда вот в этой ситуации второй нашел и первому плохо.
Ну будем считать, что первый ему конфетку должен за это.
Если же первый спрятался в A, а второй искал в B, то наоборот — тот,
кто искал, он оказался неудачником и он конфетку дает первому.
Здесь то же самое, только наоборот.
Первый пошел в B, а этот искал в A,
а тут вот первый прятался в B и второй его в B нашел.
Первый должен второму конфетку.
Типичная матрица выигрышей.
Совершенно ясно, что равновесия здесь нет.
Вопрос: а что тогда?
Что тогда предсказывает теория игр относительно этой ситуации?
Вообще таких игр довольно много.
Игр, когда люди, когда ясно, что чистых, вот,
ну там игра, похожая игра там инспекция, например.
В какой-то день должна приехать инспекция,
в этот день завод не должен сбрасывать отходы.
Ну типичная игра из этого круга игр, которые можно назвать «прятками».
Вопрос: а может ли что-то вообще сказать теория игр или она здесь бессильна?
Ну вот ответ такой: в принципе теория игр про эту ситуацию что-то сказать может.
А именно, давайте представим себе, как вообще ходят игроки.
Вот я, например, первый игрок, я хочу где-то спрятаться.
Если бы я использовал какую-то конкретную стратегию, какую-то сложную там,
в компьютере ее высчитывал, в каком месте, то в принципе могло бы быть, что второй у
меня ее сворует, эту стратегию и использует и найдет меня всегда.
Ну такая как бы логика, наводящая соображения, которые говорят о том,
что разумно просто бросать монетку.
Вот бросил монету, вышел орел — я пошел сюда, вышла решка — я пошел сюда.
То есть разумно предположить,
что вот в таких ситуациях люди не принимают решения сами,
а доверяют это решение в последний момент разыгранной какой-то случайной величине.
Так, чтобы этот розыгрыш нельзя было у них стянуть, своровать, посмотреть, да,
то есть это как бы как, допустим,
у вас есть две ядерные державы и одна должна попрятать по лесам ракеты,
которые полетят, если начнется ядерная война на другую.
Единственная правильная стратегия здесь — это какую-то лотерею запустить и в
совершенно случайные места их посажать эти ракеты.
Ну просто сам даже до самого последнего момента ты этого не знал.
Не то что ты просчитываешь, в какой местности они лучше взлетят, а в какой то,
а в какой се, какая местность просматривается, какая не просматривается.
Начиная с какого-то момента, разумнее просто бросить монетку, так,
чтобы противник не увидел.
Ну тогда мы получаем, что понятие стратегии немножко расширяется.
А именно, ваш выбор был монетка вот эта, это ваш выбор.
Вы выбрали: вместо того, чтобы использовать стратегию A или стратегию B,
использовать такую стратегию, как с вероятностью 50 %
использовать A и с вероятностью 50 % использовать B.
Но, в принципе, вот эта монетка в какой-то другой ситуации, не в этой, в этой вполне
логично считать, что каждый из них использует именно такую стратегию, да.
Если каждый из них использует стратегию бросать монету и каждый знает про другого,
что он использует стратегию бросать монету, то ничего лучшего,
как бросать монету, никто придумать не может.
Ну, допустим, я первый игрок, я знаю что второй бросает монету и идет меня искать в
соответствии с тем, выпал орел или решка.
Что мне можно делать?
Да мне все равно, что делать.
Я могу идти в A, могу идти в B — выигрыш будет один и тот же,
в среднем равный нулю.
Но также могу и бросать монету.
Эта ситуация бросания монеты тоже мне даст выигрыш равный нулю.
Поэтому в каком-то смысле слова вот эта вот комбинация двух вот
таких вот стратегий, «смешанных» их называют, составляет равновесие Нэша.
Ну вот это введение в то, что такое смешанное равновесие Нэша.
Смешанное равновесие Нэша и вообще, что такое смешанная стратегия.
Вот давайте будем об этом говорить: что такое «смешанная стратегия»?
Грубо говоря, смешанная стратегия — это лотерея,
но вероятности которой выбираю я сам.
То есть в данном случае мой выбор состоял в том, чтоб взять честную монетку.
Но я бы мог вместо этого, например, выбрать кубик.
Шестигранный кубик.
И прятаться, например, в месте A, если на кубике выпадет единичка.
Тогда я бы вместо этой стратегии использовал стратегию 1/6 A + 5/6 B.
И это была бы другая стратегия поведения.
Она бы привела к другим выигрышам, в том числе и второго игрока.
В этом случае второй игрок чаще будет меня находить в B, чем в A.
Ну и, естественно, надо понимать,
что в этом случае второй игрок уже не будет бросать монету.
Если он узнает о том, что у меня вот такая стратегия, то он будет использовать
стратегию B, искать в B, и тогда вот эта моя стратегия будет совсем неоптимальной.
И вообще вот эта комбинация равновесием Нэша не будет.
Потому что в этом случае я захочу заменить вот эту стратегию на стратегию A,
но тогда второй игрок захочет ее заменить на A и так далее.
Ну мы знаем, что чистых равновесий здесь нет.
Вот и, соответственно, мой выбор — кубик или монетка.
Но если каждый из нас выберет монетку, то ни у одного из нас нет причин вместо
монетки использовать, например, кубик или какую-то чистую стратегию.
Если он меня ищет равновероятно в A и в B, то мне абсолютно неважно,
какую из лотерей использовать, то есть с какими вероятностями разыгрывать A и B.
И, в частности, я могу именно такую использовать.
И наоборот, если я использую такую, то ему неважно, с какой частотой ходить в место
A и в место B, и он может ходить, в частности, именно с такими частотами.
И вот эта вот ситуация, это то, что в общем-то прогнозирует теория игр.
То есть она говорит: «равновесие здесь есть».
Оно в смешанных стратегиях, конкретно — в стратегиях пополам на пополам.
Но эта ситуация слишком простая,
поэтому в ней и получаются монетки равновероятные.
Сейчас мы рассмотрим некоторые другие ситуации, в которых равновесие тоже
будет смешанным, но будет иметь немножко более сложную структуру.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
