Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Геометрия Лобачевского
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
34 ratings
From the lesson
Двойное отношение
Meet the Instructors
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Приглашение в геометрию Лобачевского.
[ЗВУК] Вообще, конечно,
по геометрии Лобачевского надо читать прямо отдельный
курс целиком, рассказывая про то, как аксиома Евклида,
как вот эта аксиома параллельных вызывала живой интерес две тысячи лет подряд,
как ее не могли доказать, а очень хотели, и потом пришел Николай Иванович,
и сказал: «Ни фига вы ее не докажете, и вообще все не так!
Нужно ее заменить на другую аксиому и построить новую геометрию!» И это очень
круто, это одно из самых известных имен наших в математике вообще.
И про это надо долго и много говорить.
Но я сейчас хочу просто построить модель вот этой вот геометрии,
без аксиомы о параллельных, то есть геометрии Лобачевского,
на основании двойного отношения, которое мы сейчас ввели.
Берем круг.
Вот.
Круг какой-то.
И сейчас я определю внутри круга, как мерить расстояния.
Просто задам некоторые формулы и способ измерения расстояния между точками
внутри этого круга.
Вот берем точку x и точку y.
Проводим через них прямую.
И у нас есть отрезок прямой,
который заключается внутри этого круга.
Эти точки обозначаем a и b.
И образуем двойное отношение.
[a, b, x, y].
Оно бывает иногда
положительным, иногда — отрицательным.
Я хочу взять у него логарифм, поэтому я возьму его по модулю,
чтобы всегда всегда иметь возможность взять логарифм.
Теперь я хочу обратить внимание на то,
что модуль вот этого двойного отношения на самом деле не зависит...
нет, не модуль.
Значит, сейчас я сделаю еще следующее: я сейчас возьму
теперь логарифм и еще раз модуль, вот.
Значит, итак.
Рецепт изготовления расстояния: расстояния от точки
x до точки y внутри круга теперь отныне будут мериться иначе.
Отныне расстояния внутри круга
будут мериться с помощью модуля логарифма модуля
двойного отношения этих двух точек, которые идут после вот этих двух точек.
И вот здесь я хочу заметить, что в этом выражении совершенно не важно, в каком
порядке перечислить точки a и b, а также в каком порядке перечислить точки x и y.
То есть, я утверждаю, что на самом деле, вот это выражение определяется просто
парой x и y, мне не нужно следить ни за порядком вот этих точек,
ни за порядком внутри пары x и y.
В самом деле, как мы с вами поняли в предыдущем сюжете,
замена a на b или замена x на y — вот это выражение
превращает разве лишь в обратное к нему.
То есть, внутри логарифма грубо говоря, вот была какая-то λ или |λ|, да?
Или 1 ∕ |λ|, вот только внутри вот такого вот эти замены a на b
и x на y без смешивания внутри групп приведут только к вот таким заменам,
и когда я возьму логарифм, соответственно, получится ln |λ| или −ln |λ| (ну,
по правилам того, как устроен логарифм).
Ну а после этого я еще модуль поставлю от самого этого логарифма,
и у меня минус сгорит.
Поэтому расстояние не зависит от того, как я их перечислил.
Следовательно, расстояние — это именно функция пары, причем не упорядоченной.
Вот. Ну и,
соответственно что теперь происходит?
Мне нужно установить следующее: мне нужно установить, что это действительно
корректный способ измерения расстояния, то есть, если точки друг другу не равны...
Но если x = y, мы просто говорим, что расстояние равно нулю,
постулируем это, и все.
При стремлении x к y у нас так и получится из формулы двойного отношения.
Дальше: симметричность только что доказана, потому что аккуратная
слежка за тем, как меняется двойное отношение приводит к тому,
что после взятия модуля логарифма уже не меняется вообще ничего,
от таких замен симметрично, зависит только от пары x и y.
Значит, от перечисленных a и b в любом порядке не зависит.
И что еще нужно для того (неотрицательно, ну потому что мы взяли модуль).
Последнее что нужно, это доказать неравенство треугольника.
Что такое неравенство треугольника?
ρ(x, y), расстояние между x и y, ⩽ ρ(x,
z) + ρ(y, z).
Это весьма тонкая геометрическая конструкция,
которую я предлагаю изобразить
и доказать это свойство в качестве упражнения.
Ну, я примерно сейчас намечу.
Вот у нас z и вот у нас
нужно нам вот такие провести,
такие вот отрезки, чтобы
измерить двойное отношение этого и этого, и, соответственно этого и этого.
У нас возникает несколько новых точек, и теперь
мы делаем примерно так: ну,
в общем мы вот так проводим, и вот здесь до пересечения.
Но мне так дико повезло, что у меня похожи эти две параллельные оказались, но это
совершенно не важно, для проективного мира это не имеет никакого значения.
Вот, ну и вот дальше надо рассмотреть соответствующие пересечения
и последить за тем, что будет происходить.
Кстати, может быть, еще вот такое вот построение будет тоже важным.
Вот, в общем я предлагаю каждому из вас попробовать самостоятельно
доказать это утверждение.
После того как вы это строго докажете, будет следующее: у нас
будет некоторая такая, как бы, да, мы будем что делать теперь?
Мы будем рассматривать только внутренность вот этого круга.
Сама окружность вот этого круга, она была использована только для того,
чтобы задать что такое расстояние между двумя точками,
но точками плоскости Лобачевского мы точки окружности называть не будем,
они у нас будут как бы бесконечно удаленными точками плоскости Лобачевского,
или как говорят, они будут лежать на абсолюте.
И дальше мы, с помощью такого способа введения расстояний,
значит, мы умеем теперь измерять расстояния,
значит, мы введем понятие угла теперь.
Еще нужно для того, чтобы всю геометрию определить, нам нужно что уметь делать?
Измерять расстояния и углы.
Значит, что с углами у нас?
Вообще, вся геометрия основана на понятии равенства.
Равенство это что такое?
Равенство — это сохранение расстояний.
Ну, вот мы должны исходить из какой-то группы преобразований, которая будет в
данном случае использована как группа движений вот этого вот множества.
Давайте рассмотрим группу, всех проективных преобразований плоскости.
Напомню, их очень-очень много.
Восемь параметров.
Мы можем задать любые числа a, b, c, d, e, f, g, h, k.
И матрица с соответствующими девятью
числами задает некоторое линейное преобразование трехмерного пространства,
которое индуцирует преобразование на прямых, проходящих через 0, то
есть оно индуцирует какое-то проективное преобразование плоскости Лобачевского.
Извините, проективной плоскости.
И у нас только один параметр сгорает, остается восемь свободных параметров
вот в этом вот проективном преобразовании плоскости.
И мы теперь требуем, чтобы окружность оставалась на месте.
Мы рассматриваем подгруппу всех преобразований,
которые сохраняют на месте окружность.
Ну, дальше там нужно уже много чего доказывать,
но идея следующая: нам еще нужно научиться мерить углы.
Только углы вот в этой точке будут мериться так же, как и раньше, во
всех остальных точках углы будут мериться немножко иначе, и дело тут вот в чем.
Дело в том, что, вообще что значит померить углы?
Нужно понять что такое углы равные, да?
Тогда мы сможем разделить на n равных углов развернутый угол, скажем.
Что такое прямой угол?
Прямой угол — это угол, который, если произвести движение,
которое его вот так вот сюда приставляет к этому
прямому углу его же самого, ну вот, повернутого.
То есть мы берем угол, приставляем равный к нему, то есть тот,
который получен из исходного преобразования движения,
и получается развернутый, то есть получается прямая.
Ну, и соответственно, мы можем сказать что такое угол, равный одной n-ной.
Это такой, который, если мы сделаем преобразование с ним,
с преобразованием движения и совместим вот так n раз,
то мы получим полный 360 ° оборот.
С помощью вот такой идеологии, можно научиться мерить углы в каждой точке.
Тут довольно много остается преобразований, оказывается,
что для любой точки и любой пары прямых, проходящих через нее, мы
можем здесь придумать такое преобразование (проективное преобразование плоскости),
которое оставляет окружность, то есть является движением плоскости Лобачевского,
эту точку оставляет на месте, а прямую переводит в прямую.
То есть, у нас очень богатый класс движений на самом деле есть,
и можно уже проверять все аксиомы после этого.
Теперь мы знаем, что такое равные углы, мы можем проверить все аксиомы геометрии,
все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных, здесь выполняются.
А аксиома о параллельных здесь выполняться не будет.
Ну, более-менее очевидно, почему.
Вот, у меня есть на прямой отрезок,
вот такой вот интервал от границы до границы будет называться прямой.
Но если у меня есть точка, не лежащая на этой прямой,
то у меня есть, конечно, бесконечное количество прямых, которые,
проходя через эту точку, не пересекают вот этой прямой.
На сфере не было вообще, в принципе, никаких двух разных прямых,
которые не пересекались, а здесь у нас таких прямых куча,
то есть через данную точку проходит целый пучок бесконечного количества прямых.
Ну и далее, собственно говоря, строится геометрия Лобачевского со всеми ее
замечательными и удивительными свойствами, что я всем и советую.
А мы на следующих и последних двух неделях переходим к топологии.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
