Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki ikili dizinin birincisidir. Burada çok değişkenli fonksiyonlardaki temel türev ve entegral kavramlarını geliştirmek ve bu konulardaki problemleri çözmekteki temel yöntemleri sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelen uygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla” tasarlanmıştır. Bölümler Bölüm 1: Genel Konular ve Düzlemdeki Vektörler Bölüm 2: Uzayda Vektörler, Doğrular ve Düzlemler; Vektör Fonksiyonları Bölüm 3: Düzlem Eğrilerinden Hatırlatmalar ve Uzay Eğrileri, İki Değişkenli ve İkinci Derece Fonksiyonlar ve Karşıt Gelen Yüzeyler Bölüm 4: Özel Yapıdaki İki Değişkenli Olarak Karmaşık Fonksiyonlar, İki Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev ve İki Katlı Entegralin Temel Tanımları; Limit Kavramının Gerekliliği ve Anlatımı Bölüm 5: Türev Hesaplama Yöntemleri Bölüm 6: Türev Uygulamaları Bölüm 7: İki Katlı Entegraller ve Uygulamaları ----------- The course is the first of the sequence of calculus of multivariable functions. It develops the fundamental concepts of derivatives and integrals of functions of several variables, and the basic tools for doing the relevant calculations. The course is designed with a “content-based” approach, i. e. by solving examples, as many as possible from real life situations. Chapters Chapters 1: General Topics and Vectors in the Plane Chapters 2: Vectors in Space, Lines and Planes; Vector Functions Chapters 3: Reminders of Plane Curves and Space Curves, Quadratic Functions and Variables, Surfaces Chapters 4: Special Two Variables Complex Functions, the Basic Definition of Partial Derivatives and Two Storey Integrals in Two Unknown Functions ; Necessity and Details of Limits Chapters 5: Methods of Derivative Calculations Chapters 6: Application of Derivatives Chapters 7: Two Storey Integrals and Applications ----------- Kaynak: Attila Aşkar, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”. Bu kitap dört ciltlik dizinin ikinci cildidir. Dizinin diğer kitapları Cilt 1 “Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, Cilt 3: “Doğrusal cebir” ve Cilt 4: “Diferansiyel denklemler” dir. Source: Attila Aşkar, Calculus of Multivariable Functions, Volume 2 of the set of Vol1: Calculus of Single Variable Functions, Volume 3: Linear Algebra and Volume 4: Differential Equations. All available online starting on January 6, 2014
İki Değişkenli ve İkinci Derece Fonksiyonların Temel Yapıları ve Görsel Karşıtları
Loading...
From the course by Koç University
Çok değişkenli Fonksiyon I: Kavramlar / Multivariable Calculus I: Concepts
17 ratings
From the lesson
Düzlem Eğrilerinden Hatırlatmalar ve Uzay Eğrileri, İki Değişkenli ve İkinci Derece Fonksiyonlar ve Karşıt Gelen Yüzeyler
Uzayda yüzeyler: iki bağımsız ve tek bağımlı değişkenle tanımlanan sayısal fonksiyonlar. Yüzeylerin anlaşılması ve temel yüzeylerde çizimler: perspektif görünüm, eşit değer eğrileri ve kesitlerin çizimi. İki değişkenli ikinci derece kuvvet fonksiyonlarıyla verilen temel yüzeyler. Silindir yüzeyleri ve dönel yüzeyler. İki değişkenli özel bir yapı olarak karmaşık değerli fonksiyonlar. Mathematica, Mathlab, Ghostview… gibi yazılımlarla bilgisayarda çizimlerden örnekler.
Meet the Instructors
Attila AşkarProf. Dr.
Matematik Bölümü (Department of Mathematics)
Bu kalitatif olarak nitelik olarak söylediğiniz e, tanımladığımız
yüzeyleri yüzeyler arasında bazı temel yüzeyleri inceleyelim.
Tabii en basit yüzey x'in, y'nin, z'nin doğrular oldu, doğrusal
olduğu yani sadece birinci kuvvetleriyle bulunduğu yüzeyler.
Bu bi düzlem olduğunu gördük.
Ama burada türeve, entegrale pek gereksinim duymadık.
Çünkü bu, cebirsel olarak vektörlerle inceledik bunu.
Bunun bi üst yapısı z doğrusal kalarak
x'in ve y'nin ikinci derece fonksiyonları olmasıdır.
Gene bunun bi ötesi de, bu sefer z'nin de ikinci derece bir fonksiyonu olmasıdır.
Bunu kapalı fonksiyon olarak ele alıyoruz.
Çünkü z diye alsanız yapılabilir.
Ama karekök gibi fonksiyon çıkacağı için bunu bu yapıda ele almayı yeğliyoruz.
Şimdi bu yüzeylerin nasıl yüzeyler olduğunu anlamaya çalışalım.
Bu yüzeylerin en basiti A'nin bir y'nin de bir alınmasıdır.
Gördüğünüz gibi z eşittir x kare artı y karede en kolaylıkla bunu y'yi
sıfır alsak, y'yi sıfır alınca z eşittir x kare.
Böyle bir düşey parabol düşey kesitte ve yukarıya bakan bi parabol.
tersine x'i sıfıra alsak z, y düzleminde gene yukarıya bakan bir parabol.
Yatay kesitlere alsak yani bu sefer de z'yi sabitlesek
z'yi sabitlediğimiz zaman da gördüğünüz gibi çemberler oluşuyor.
Burada A ve B gibi birbirinden farklı sayıları olsaydı elipsler olacaktı.
Dolayısıyla bu yüzeye bi isim vermek istersek en uygun isim bunun
parabollerden oluştuğunu vurgulayan eliptik e, vurgulayan parabolid,
paraboloid dememiz, parabolün genellemesi olarak yatay kesitlerinin de burada
çember ama daha geneli elipsler olacağı için eliptik paraboloid olurdu.
İkinci türde bakınız bu artı artıyken eksi eksilisini alalım.
Üçüncü türde de bi artı bir eksi
alabildiğimiz gibi bi eksi bi artı alabiliriz.
Gene ilerlersek y'yi sıfır alabiliriz.
y'nin önündeki A sayısını sıfır alabilirdik.
y bulunmadığını düşünebilirdik.
Gördüğünüz gibi burada z sadece x'in
fonksiyonu demek ki bi silindir yüzeyi olacak.
Benzer olarak burada y'yi yok farz etsek yani burada A ve B katsayıları vardı.
A'yı biz burada eksi bir B'yi bir almışız.
Burada ise A'yı eksi bir B'yi ise
sıfır alırsak elde ettiğimiz fonksiyon bu oluyor.
Şimdi bunları da bir inceleyelim.
İkinci halde
z eşittir
eksi x kare eksi y karede, bakınız buradaki
eksi x karede z'ye sabit değerler verirsek
gördüğünüz gibi gene elipsler, dai, çemberler oluşacak.
Ancak öbürkünden şöyle bir farkı var.
Buradaki işaret eksi olacağı için C'nin eksi değerleri için çemberler olacak.
Artı değerleri için gerçel çözüm bulamayacağız.
Bu şekilden de belli.
Burada C'yi eksi değerler aldığımız zaman kesebiliriz bu yüzeyi.
Ama C'yi artı değerler alırsak bu yüzeyi kesmez.
Burada da bu eşit değer çizgileri birer çemberler oluyor.
Düşeyde kesitler alsak o şuna tekamü, karşıt gelir.
y'ye sıfır alsanız, y'yi sıfır almak demek y eşittir sıfırdan geçen
düşey düzlem yani x z düzlemi gördüğünüz gibi bi parabol çıkacak.
Bu da aşağıya bakan parabol.
Bu şekilde bu yüzeyleri anlayabilmiş oluyoruz.
Buradaki perspektif çizimi de anlamış oluyoruz.
Şimdi biraz daha karışık duruma geldiğimizde
z eşittir x kare eksi y kare alırsak bakınız
burada y'ye sıfır verdiğimiz
zaman z eşittir x kare yani yukarıya bakan bir parabol.
İşte şu çeşit bi şiy.
Burada da tabii daha bu şekli henüz inşa etmedik ama
Burada da bakarsak yani x'i sıfır alırsak z
eksi y kare yani aşağıya doğru bakan bir parabol.
Bu da y, z düzleminde aşağıya doğru bakan bir parabol.
Öbürkülerde öbür ilk ikisinde you hep
hepsi aşağıya bakıyodu you hepsi yukarıya bakıyodu.
Burada gördüğünüz gibi farklı.
İşte bunları birleştirirsek demek ki x yönünde yukarıya doğru bakan
bir parabol y yönünde de aşağıya doğru olan paraboller.
İşte bu da daha önce de daha
niteliği açısından kalitatif olarak söylediğimiz eğer yüzeyi oluyor.
Şimdi bunu nasıl elde edeceğiz?
Bu da kolay.
Bakınız z'ye bi sabit verseniz.
Farz ediniz ki bir verdik.
x kare artı y kare bir ise bunun bir hiperbol olduğunu biliyoruz.
Çünkü bunun x ve y sonsuza giderken x ve y
sonsuza giderken z bunların yanında küçük kalacaktır bir sonlu bir sayı olduğu için.
Buradan da y eşittir artı eksi y olarak bu asentotlar çıkacaktır.
z bir olduğu zaman x eşittir sıfırla kesim yoktur.
Çünkü z bir x de sıfırsa y'nin çözümü yoktur demek ki y eksenini kesmez.
Ama buna karşın y eşittir sıfırsa yani
x ekseni boyunca iki tane kesim noktası buluruz.
z eşittir artı eksi bir.
Demek ki burada bö, bu asentotu kabul eden ve birde ve eksi
birde x eksenini kesen z eşittir bir değerinde böyle bir hiperbol çıkar.
z'ye eksi bir verseydik bunun tersi olurdu.
Şu çeşit hiperbol e, dalları oluşurdu.
İşte bu, bunu da z eşittir dört verseniz örneğin gene
asentotlar aynı olmak üzere y eşittir sıfırda
yani x ekseni üzerinde artı eksi iki değerlerinde keserdi.
Artı iki değeri eksi iki değeri kesim var.
Ama y ekseninde z artı değerli olduğu için kesim yoktur.
Burada demek ki böyle bir ikinci bir hiperbol elde ediyoruz.
Ama tersine z eşittir eksi dört dersek bu sefer x ekseninde kesimi yoktur.
Aynı asentotlarla bu eğriler elde edilir.
Hiperbol eğrileri elde edilir.
Bu üç türü gayet iyi bilmek lazım.
Bunun hemen bir ikizi var.
Yani şu anlamda.
Bir öncekinde artı x kare eksi y kareydi.
Burada eksi x kare artı y kare.
Aynı düşüncelerle gene bu hiperbol yüzeyleri çıkar.
Fakat burada gördüğünüz gibi y sıfırken yani x ekseni boyunca
z, x düzleminde bu sefer aşağı bakan bir parabol olur.
Tersine x eşittir sıfır da yukarı bakan bi parabol olur.
Yani o da yüzeyi, bi eğeri alıp ters çevirmişsiniz gibi olur.
Bunun eşdeğer eşit değer eğrileri ise, eşit değerli eğrileri ise aynı geometrik
yapıda olmak üzere yalnız burada eksi değerler x ekseni üzerinde keser.
z ekseni, y ekseni üzerinde de artı z değerleri.
Dolayısıyla bu şekil bi evvelkinin doksan derece döndürülmüşü olur.
Uzayda ise bu eğeri almışsınız ters çevirmişsiniz gibi oluşur.
Gene e, e, isi vermek istersek burada da gördüğünüz gibi paraboller var.
Bi taraftan da kesitleri, yatay düzlemde kesitleri de hiperboller.
Bu da he, buna da paraboloid deniyor.
Ama buna hiberbolik paraboloid deniyor.
Bi evvelkilerde bakınız hatırlayalım yatay düzlemde
kesitler il, genel olarak elipsler oluyodu.
Onun için bunlara eliptik paraboloid diyorduk.
Burada ise hiberbolik paraboloid diyo, diyoruz.
Son olarak da z eşittir x y'yi alsak.
Bakınız burada x kare y kare yok.
Ama x y var yani bu da ikinci derece fonksiyonu x ve y cinsinden.
Burada da z eşittir sabit değerlerini aldığımız zaman bakınız
görüyorsunuz z'ye sabit derseniz y eşittir, bu sabit bölü x.
Eğer z'ler, c'ler pozitif ise veyahut z değerleri, artı
değerler de y eşittir şu çeşit hiperbol çiftinden oluşur, Örneğin bir alsanız,
y eşittir bir bölü x, şu parabol dalları çiftidir.
Eksi alsanız bu sefer şu parabol, dallarını elde ederdik.
Gördüğünüz gibi burası da asimptotları olan hiperboller.
Bir evvelki hiperbollerle bunun arasındaki fark 45
derece döndürüldüğümüz zaman bir evvelkileri elde ediyoruz.
Çünkü bir evvelki şekillerdeki asimptotlar 45 derece.
Bunu c'nin eks, i, buradaki işareti eksi
alarak c'nin artı ve eksi değerlerinin rolü de, gene burada
z artılarda olan işlerin bu sefer z eksi değerlerinde olmasıdır.
Bunları anlamak da zor değil.
Bu şekil bir evvelkinin 90 derece döndürülmüş olması.
Şimdi silindir yüzeylerine gelirsek bunların bir tanesini alalım.
Örneğin, y bulunmazsa demek ki y'den bağımsız olacak.
Demek ki bu xy düzlemindeki bütün kesitler paraboller olacak.
İşte o da bir kağıdı alıp bir parabol boyunca ama ekseni x olarak,
düzenlediğiniz zaman, eksi olsaydı gene x ekseni boyunca
bir paraboller ailesi, ki buna da parabolik silindir diyeceğiz çünkü
silindir çünkü fonksiyonun içinde üçüncü
değişken yok veya ikinci bağımsız değişken.
Aynı zamanda da parabolik çünkü kesitleri
paraboller olduğu, için benzer olarak bu sefer y değil de x bulunması
z eşittir y kare olsa, o zaman da ekseni y olan paraboller olacaktı.
Demek ki bu tür yüzeyler en temel yüzeyler oluyor.
Şu bakımdan en temel diye söylüyorum: Doğrusal fonksiyonların hemen
bir ötesindeki ikinci derece fonksiyonlar olduğu için değişkenleri açısından.
Yukarıdaki bulduğumuz sonuçları özetlersek, biz x kare artı y kare var.
Bunlar artılısı veya eksilisi.
x kare eksi y kareliler var.
Bunların artılısı veya eksilisini gördük.
z eşittir x kareli var y'si bulunmuyor.
Yok demek ki silindirler olacak.
Bunun artılısı ve eksilisi.
Bu yüzeyler, paraboloid olacak hepsi.
Daha doğrusu ilk ikinci tür.
Ama birincisi dairesel veyahut eliptik paraboloidler,
dönel paraboloid diyebiliriz, çünkü x kare artı y kare r kare olacaktır.
Bunlar ise hiperbolik paraboloid.
Burada da parabolik silindir.
Hepsinde temel olan açık fonksiyonlar, z birinci derece, x ve y'ler ikinci derece.
Bunun bir genellemesi düşünülebilir.
Buradaki sayılar 1 değilde 1 bölü a kare b kare olsa kesitler elipsler olacaktı.
Dolayısıyla bunun genel şekli, eliptik
paraboloid, bunun genel şekli, hiperbolik paraboloid.
Bu da paraboloid silindir.
İkinci derece kuvvet fonksiyonlarının şöyle farkı var.
Bu sefer sadece x ve y ikinci derece değil z de ikinci derece.
En bilieni tabii ki kürenin denklemi.
Kürenin denkleminde x kare artı y kareyi r kare yazarak dönel yüzey de elde ederiz.
Çünkü normalde z, tetanın da fonksiyonu olabilirdi.
Bulunmadığı için bütün tetalar için teta sabitte demek,
x y ekseniyle belli bir sabit açı yapan, yani
üç boyutla düşündüğünüzde o açıdan geçen düşey yüzeylerle
kesitler hep aynı çıktığı için bunlar dönel yüzeyler olur.
Burada da şöyle bir sistematik yaklaşım var.
Bu x kare artı y kare artı z kare artı.
Ondan sonra işaretleri değiştiriyoruz, x kare artı y kare eksi z kare.
Burada ise üç olanak var.
x kare artı y kare eksi z kare, x kare artı y kare eksi z kare gene aynı şey.
Sıfır, bir veya eksi bir olması farklı tür yüzeylere götürüyor.
Bakınız şöyle oluyor; bunların hepsi dönel yüzeyler çünkü x kare artı y kareye
r kare derseniz, z kare eşittir r kare.
Dolayısıyla z eşittir r.
Artı eksi de olabilir ama bu demek ki 45
derece açı yapan bir doğrunun denklemi z r düzleminde.
Bu bir düşey düzlem.
Tetadan bağımsız.
Bu demektir ki bu 45 derecelik doğruyu alıp z ekseni etrafında döndürüyorsunuz.
Bu şeklin de ne olduğunu biliyoruz, Bir doğruyu
bir eksen etrafında döndürürseniz bir koni yüzeyi elde edersiniz.
Demek ki bu bir koni.
Bunu elde ettiğim, yaptığımız zaman artı değerli bakınız bu tarafı aynı, burası
artı bunu anlamak için x kare artı y kareye r kare diyelim.
Bakınız hiperbol denklemi çıkıyor.
Buradan bir hiperbolik yüzey çıkacak.
Ama hiperbol olduğu zaman eksenlerin birini
keser öbürünü kesmez, burada hangisini kesiyor
bakalım, z'yi sıfır yaparsak r eşittir artı eksi bir kesim noktalarını buluyoruz.
r'yi sıfır yapsak eksi z kare eşittir bir olmaz.
Bunu sağlayan bir z yoktu.
Demek ki z eksenini kesmeyen bir paraboloid.
Demek ki bir dalı yukarıda bir dalı aşağıda olan.
Burada ise eksi olduğu için bu fonksiyonu eksiyi atarak, sola
aktararak eksi r kare artı z kare, gördüğünüz gibi r sıfır olursa z
artı eksi birde kesim olur, dolayısıyla burada kesimler olacak ve bunun
r üzerinde de ki r x y düzlemi üzerinde bir kesim olmayacak.
Bunlara bakarsak, işte x kare artı y kare artı z kare bu küre.
Burayı sıfır almış olsaydınız bir nokta olurdu,
eksi alsaydınız böyle bir gerçel yüzey olmazdı.
Onun için burada bir tek tür var.
Burada ise bir koni yüzeyi olabilir.
Sıfır aldığımız zaman sağ tarafta.
Sağ tarafta bir aldığımız zaman gördüğünüz gibi z ile bir kesim yoktur.
Sadece x y ile bir kesim vardır, bu da hiperbol
dallarının z'yi kesmeyen türden olması ve dönel yüzey olduğu için de
bunun döndürüldüğü zamanki ortaya çıkan şekil bu günlük hayatta da otomobille
giderken filan bazı enerji santrallarının
yanındanda, fabrikaların yanında soğutma kuleleri görürsünüz.
Onlar bu şekilde çıkar.
Nunu yan çevirip baksanız çeşitli modern mimaride şekiller görürsünüz.
Makine elemanları görürsünüz.
Bunlar gerçekte de işe yarayan şekillerdir.
Buna benzer olarak
eksi bir alsanız sağ tarafı, o zaman gördüğünüz gibi z'de kesimler var.
z'de kesimler olunca da hiperbol dalları bu şekilde olacak.
İki dal.
Bunu z ekseni etrafında döndürdüğümüz içinde gene bir hiperboloid yüzey olacak.
Bunlara hep hiperboloid yüzey diyeceğiz çünkü hiperbollerden oluşuyor.
Ama buna tek parçalı hiperboloid yüzey diyoruz.
Tek parçalı olduğu için.
Halbuki bu ise çift parçalı hiperboloid yüzeyi olarak anılıyor.
İşte bu da kullanılabilir.
Bir çeşit bir mıknatıs burada olur, bir mıknatıs
olur, bir ark olur, ortadaki oluşan sıcaklıktan yararlanabilirsiniz, gibi.
Bunlar hep kullanılan şeyler.
Küre her zaman bir şekli idealize edip inceleyebilmeye
olanak tanıdığı için hemen her bilim dalında kullanılıyor.
Buradaki ki sayıları
1'ler eksi 1'ler alacak yerde a b c'ler
almış olsaydık kesitler çemberler değil
elipsler olacaktı o zaman bunların yatay
kesitleri burada dönel yüzeyde daireler çemberler olacağına
karşın elipsler olurdu ama elipsle çember nitelikleri
açısından benzer şekiller kapalı şekiller.
Şimdi biz burada x ve y'den
oluşan 2 değişkenli fonksiyonları gördük acaba 3
serbest değişkeni olsa ne yapabiliriz yani x y'nin fonksiyonu
olacak yerde bir x y z'nin 3 tane bağımsız değişkenden oluşan
w'de bağımlı değişken olarak bir fonksiyon olsa
bunu nasıl anlarız?
Bunları pek kolay anlayamayız, yani yüzey olarak öbürküler gibi çizemeyiz.
Çünkü bu x y z w 4 boyutlu bir uzay gerektiriyor.
Biz 4 boyutlu uzayda yaşamadığımız için de zamanı
katmıyorum bunun içine, konumları açısından, bu şekilleri çizemeyiz.
Gene burada da kapalı fonksiyon gösterilimi olduğu
gibi, bura da kapalı fonksiyon gösterilimi yapılabilir.
Burada da parametrik gösterilimi olduğu gibi 2 parametre cinsinden, bu sefer 3
parametre cinsinden gösterebilirsiniz çünkü burada daha
açık görüldüğü gibi, 3 serbestlik derecesi var.
Bu 3 serbestlik derecesinden 4 boyutlu bir vektör üretirsiniz.
Bunları çizemeyiz ama anlayamamanız için de bir neden yok.
şöyle anlarız, bunlardan birisini geçici olarak bir
sabitlesek, o zaman 4 boyutlu uzayda bir düzlemden bahsediyoruz.
Şimdi bunlara fikren ulaşmakta bir zorluk yok.
Ama çizmek 4 boyutta mümkün olmadığı için ama z'yi bir sabit
verdiğiniz zamanda geriye gene w x y uzayında bir yüzey kalıyor.
Dolayısıyla gene anlayabiliriz.
Burada da gene anlayabiliriz.
Dolayısıyla bu çeşit 4 boyuttaki yüzeyleri anlamak için işte
çeşitli kesitleri alarak bu yüzeyleri anlamaya çalışırız.
Dolayısıyla çizme lüksümüz artık kalmıyor ama esas başarısı da cebirin burada.
Çünkü çizme ile sınırlı değiliz, çok daha geniş uzaylara, 100 boyutlu uzayı da
pekala anlayabiliriz ama çizemeyiz, o da önemli değil çünkü anlamamıza engel değil.
Şimdi bugün burada duraklamak iyi bir doğal
nokta, bu şekilleri anlamaya çalışınız çünkü bunlar temel yüzeyler.
Bir yukarıya bakan paraboloid, kesitler elipsler oluyor, eliptik
paraboloid diyoruz yukarıya bakan, aşağı bakan bir tepe gibi çevrenize de baksanız
bu şekilleri görürsünüz bir de bir vadi Heybeliada'yı görenler varsa
ama herkes bir yerde bir iki tepenin arasındaki bir vadiyi görmüştür.
Vadinin 2 tepesindeki birleştiren çizgiler yukarıya bakan paraboller ama
vadiyi aşan yönde de aşağı bakan bir parabol olur.
Bunlara da vadi yüzeyi de denilebilirdi, geleneksel olarak eyer yüzeyi denmiş
o da bir atın üzerine konan eyerin şeklini andırdığı için.
Tekrar görüşmek üzere.
Hoşçakalın.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
