Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki ikili dizinin birincisidir. Burada çok değişkenli fonksiyonlardaki temel türev ve entegral kavramlarını geliştirmek ve bu konulardaki problemleri çözmekteki temel yöntemleri sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelen uygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla” tasarlanmıştır. Bölümler Bölüm 1: Genel Konular ve Düzlemdeki Vektörler Bölüm 2: Uzayda Vektörler, Doğrular ve Düzlemler; Vektör Fonksiyonları Bölüm 3: Düzlem Eğrilerinden Hatırlatmalar ve Uzay Eğrileri, İki Değişkenli ve İkinci Derece Fonksiyonlar ve Karşıt Gelen Yüzeyler Bölüm 4: Özel Yapıdaki İki Değişkenli Olarak Karmaşık Fonksiyonlar, İki Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev ve İki Katlı Entegralin Temel Tanımları; Limit Kavramının Gerekliliği ve Anlatımı Bölüm 5: Türev Hesaplama Yöntemleri Bölüm 6: Türev Uygulamaları Bölüm 7: İki Katlı Entegraller ve Uygulamaları ----------- The course is the first of the sequence of calculus of multivariable functions. It develops the fundamental concepts of derivatives and integrals of functions of several variables, and the basic tools for doing the relevant calculations. The course is designed with a “content-based” approach, i. e. by solving examples, as many as possible from real life situations. Chapters Chapters 1: General Topics and Vectors in the Plane Chapters 2: Vectors in Space, Lines and Planes; Vector Functions Chapters 3: Reminders of Plane Curves and Space Curves, Quadratic Functions and Variables, Surfaces Chapters 4: Special Two Variables Complex Functions, the Basic Definition of Partial Derivatives and Two Storey Integrals in Two Unknown Functions ; Necessity and Details of Limits Chapters 5: Methods of Derivative Calculations Chapters 6: Application of Derivatives Chapters 7: Two Storey Integrals and Applications ----------- Kaynak: Attila Aşkar, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”. Bu kitap dört ciltlik dizinin ikinci cildidir. Dizinin diğer kitapları Cilt 1 “Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, Cilt 3: “Doğrusal cebir” ve Cilt 4: “Diferansiyel denklemler” dir. Source: Attila Aşkar, Calculus of Multivariable Functions, Volume 2 of the set of Vol1: Calculus of Single Variable Functions, Volume 3: Linear Algebra and Volume 4: Differential Equations. All available online starting on January 6, 2014
Vektörlerin Geometride ve Cebirdeki Tanımları
Loading...
From the course by Koç University
Çok değişkenli Fonksiyon I: Kavramlar / Multivariable Calculus I: Concepts
17 ratings
From the lesson
Genel Konular ve Düzlemdeki Vektörler
Fonksiyon kavramı: girdi – çıktı, bir değerin diğerine gönderimi, çizit, ve dönüşüm gösterimleri. Çok değişkenli fonksiyonların sınıflandırılması: uzayda eğriler, yüzeyler ve vektör alanları. Düzlemde karteziyen ve dairesel koordinatların, uzayda karteziyen, silindir ve küresel koordinatların tanıtılması. Fonksiyonların açık, kapalı ve parametrelerle gösterilmesi. Vektörler: düzlemde geometriden cebire. Düzlemde toplama, bir sayıyla çarpma, iç çarpım ve vektör çarpımı. Bu işlemlerin üç boyuta genellenmesi ve üçlü vektör çarpımları. Bu kavramların geometrideki anlamları ve uygulamaları. Uzayda doğrular ve düzlemler.
Meet the Instructors
Attila AşkarProf. Dr.
Matematik Bölümü (Department of Mathematics)
Tekrar merhaba.
Bu üçüncü bir araya gelişimiz.
Bundan evvelki bölümlerde genel matematik yapısı
içinde inceleyeceğimiz konunun yerini konumlandırmaya çalıştık.
Ayrıca bu derste başarılı olabilmek için tek değişkenli
fonksiyonlardan bilmeniz gereken temel bilgileri hatırlatmış olduk.
Şimdi artık esas konularımıza başlıyoruz.
Vektörler kendi başlarına da önemli bir konu.
Ama çok değişkenli fonksiyonlarda birden fazla sayıyla tanımlanan değişkenler
olduğu için en kolay tanımlama yolu da vektörlerle.
Bu nedenle bu iki amaca hizmet eden bir bölüm.
Vektörlerle ilgili pek çok bilginiz vardır.
Böylece başında biraz süratlice geçerek bi hatırlatma olacak ama bazı ince noktaları
da belki öğrenip unutmuş olabilirsiniz diye kuvvetle hatırlatmak istiyorum.
Bu bölümde vektörleri göreceğiz ve vektörlerin en basit
fonksiyonlar olan uzaydaki doğrulara bu en basit olan vektör
fonksiyonlarına uygulamasıyla en basit iki değişkenli
fonksiyonlara uygulaması olan düzlemlere uygulamasını göreceğiz.
Düzlemler ve doğrular ayrıca bundan sonraki
göreceğimiz konular için de yararlı olacaktır.
Çünkü gene kendi deneyiminizi
hatırlarsanız tek değişkenli fonksiyonlardaki
bildiklerinizden daha karışık fonksiyonlara
girmeden önce en basitlerini görürsünüz.
Vektörleri tanımlamak ve işlemler yapmak için üç yol var.
Birincisi geometri yöntemleriyle.
Bu fevkalade yararlı çünkü konunun nereden geldiğini, niçin yaptığımız bazı
şeyleri yaptığımızı ve bir içselleştirme için hissedebilmek için olayları önemli.
Fakat bundan fazla ileriye gitmek de mümkün değil.
Çünkü sırf dokunabildiğimiz, görebildiğimiz, çizebildiğimiz
e, düzeylerde kalsak fazla ilerleme yapamayız.
Buradan sayılarla, sa, önce sayı çiftleriyle düzlemdeki sonra da
üçlü sayılarla üç boyuttaki ve n'li sayılarla ki burada
pek ihtiyaç olmayacak n boyuttaki vektörlere gitmiş olacağız.
Ve burada geometride yaptığımız her şeyi sayılarla da yapabildiğimizi göreceğiz.
Ve bunla çok daha kolay işlemler yapabildiğimizi bi kere daha saptayacağız.
Üçüncü bir yol var.
Bu da önermelerle, Türkçe'de de aksiyom veya postulat terimleri de kullanılıyor.
Önermelerle bir başlangıç yapıp
konuları en geneliyle ele almak ama bu bizim konumuz değil.
Bu bahsettiğim dört dersten tek değişkenli fonksiyonlarda diferansiyel
hesap bu ge, daha önce görmüş olduğunuz birinci ders olması gerekiyor.
İkinci konu bizim konumuz çok değişkenli fonksiyonlarda diferansiyel hesap.
Üçüncü konu doğrusal cebir.
Üçüncü ders.
Biz bunu görmeyeceğiz.
Bu başka bir ders konusu ve sonra da diferansiyel denklemler.
Bu hemen herkesin, sayısal bilimlerde uğraşan
herkesin bilmesi gereken en küçük takım.
Ders takımı.
Biz bu önermelerle ilgili kısmına bu derste girmeyeceğiz.
Şimdi vektör şöyle başlıyor.
Bir takım noktalar gözlüyoruz.
Bir A noktası gözleyelim.
Bunun yerini belirleyebilmek için bir x bir x iki koordinat takımı seçiyoruz.
Bu A noktasının ba, yerini daha iyi belirleyebilmek için bu koordinat
takımının başına bir e, çizgiyle doğruyla
birleştirdiğimiz zaman bir vektör elde ediyoruz.
Çünkü başlangıçtan noktaya giden yönlendirilmiş
doğru bir vektör tanımlıyor.
Her vektörün bir boyu var.
Bir de yönü doğrultusu var.
Vektörün boyunu buradaki gibi gösteriyoruz.
Bunu mutlak değerden ayırmak için çift çizgiler arasında gösteriyoruz.
Tek çizgi olursa bir sayının mutlak değeri.
Burada i, iki çift çizgi arasında
gösterince vektörün uzunluğu boyu anlamına geliyor.
Her vektörün gib, yönünü belirten birim uzunluktaki vektör yararlı olur her zaman.
Buna u dersek her vektörü boyuna
bölünce aynı doğrultuda birim vektörü elde ediyoruz.
Burada da gösterildiği gibi u tanımı itibariyle birim boyda
ve x vektörünü kendi boyuna
böler ve çarparsak tabii ki eşitlik bozulmaz.
Ama burada x'in boyuna göre verdiği vektörü
birim vektörle yerleştirirsek her vektörü
demek ki boyu ve birim doğrultusuyla, doğrultu vektörüyle tanımlayabiliyoruz.
Şimdi bi noktadan sonra, tabii ki bi noktayla fazla şey yapamayız.
İki noktaya gittiğimizi düşünelim.
A ve B noktaları.
Burada da A'yı B'ye bağlayarak AB vektörü, tersine
B'yi A'ya bağlayarak da BA vektörü elde ederiz.
Şimdi bunun gibi pek çok vektörler de olacağı için bunları böyle rastgele uzayda
düzlemde orada burada bulmak pek hesap yapmaya uygun gelmez.
Bu vektörleri kendilerine paralel olarak boylarını
da değiştirmeden merkeze gelecek şekilde başlangıç
noktası koordinat takımının başına, başlangıcına gelecek
şekilde kaydırınca vektörleri bu şekilde elde ediyoruz.
Örneğin AB vektörü bu yönde, yönü değişmediği için.
BA vektörü bunun ters yönünde.
Yönü değiştiği için de tam bunun tersine geliyor.
Buradan da hemen ilk şeyi öğrenmiş oluyoruz AB
ve BA vektörleri birbirine boyları eşit ama yönleri terstir.
Şimdi tabii ki gene iki noktayla da pek bi şiy yapamayız.
Üç, beş, on istediğiniz kadar noktaya gitmek için önce bi üçlü noktadan geçelim.
A, B ve C noktaları olsun.
Burada da A'yı B'ye bu, ulaştırarak AB vektörünü, B'yi C'ye birleştirerek
BC vektörünü bi de A'yı gene
C'ye birleştirerek AC vektörünü elde edebiliriz.
Burada gördüğünüz gibi C noktasına you AB B'den sonra
BC vektörüyle veya doğrudan doğruya A'dan C'ye giderek varıyoruz.
Şimdi bu vektörleri gene birbirine paralel kaydıralım bakınız.
AC vektörünü paralel kaydırınca şu vektörü elde ediyoruz.
Bunlar düzgün çizilmiştir.
BC vektörü, bakınız BC vektörü x iki tarafına
gidiyor ama ters x birin ters yönünde gidiyor.
BC vektörünü paralel kaydırınca bunu elde ediyoruz.
AB vektörünü kendisine paralel kaydırınca da bakınız gene AB bu yönde,
x bir ve x ikinin arttığı yönde bu vektörleri elde ediyoruz.
Burada çok ilginç bir şey görüyoruz.
Buradaki şu tepe noktalarını burada gösterildiği
gibi birleştirirsek bir eşkenar bir paralel e, e,
el, bir eşkenar paralelogram elde ediyoruz.
Bu paralel kenarlı şekilde de AB bi
kenar, BC diğer kenarken AB ve B, BC, AC de yani
A'yı doğrudan doğruya C'ye birleştiren nokta da bunun köşegeni oluyor.
Bu işte paralel kenar kuralı dediğimiz kuralın çıkmasına neden oluyor.
Başında söylediğim gibi sadece nasıl olduğunu
değil neden olduğunu da görebilmemiz lazım.
Ve bu toplama kuralı oluyor.
Çünkü burada bakınız A'dan D'ye gidip B'den C'ye gidince
bu iki vektörü toplamış oluyoruz.
Halbuki bu da A'dan C'ye doğrudan doğruya gitmeye teka, karşıt geliyor.
Burada da A'dan bu iki vektörü AB ve BC'yi topladığımız zaman
bu aynen AC bunun köşegen vektörüne eşit geliyor.
Buradan da paralel kenar toplama kuralını buluyoruz.
Bu paralel ke, bu bulduğumuz basit gözlemle bulduğumuz geometriden
bulduğumuz sonucu daha genelleştirelim yani x ve ye gibi iki vektör diyelim.
Burada x vektörü ve y vektörünü koyunca bunların toplamı bu
paralel kenarın köşegeni olarak tanımlanıyor.
Ayrıca bir vektörün C mislini alırsak mesela iki mislini
beş mislini iki buçuk mislini alırsak bu da şöyle tanımlanıyor.
X vektörü bu.
Bunu genelleştirelim A, B'lerden kurtulup, x vektörü diyelim.
X vektörünü C ile çarptığımız zaman elde ettiğimiz vektör de aynı
doğrultuda fakat boyu C misli olan vektör olarak tanımlanıyor.
Burada iki temel işlemi tanımlamış oluyoruz.
Birazdan iki temel işlem daha tanıyacağız ama
biraz içgüdümüzü, önsezimizi genelleştirmek
için biraz daha ilerleyelim.
Şimdi düzlemde A ve B noktalarını verdiğimiz zaman
bunları başlangıca birleştiren vektörlere XA ve XB demiştik.
Acaba AB vektörünü bu vektörler cinsinden bulabilir
miyiz ki deminki toplama kuralıyla orantılı olsun.
Bakınız buradan AB'ye, XA'ya AB'yi
eklersek XB'ye eşit olur yani B'ye A'dan gidip bu
şekilde kırık yolla varmak yerine doğrudan doğruya vardığımızda toplamı diyoduk.
Yani XA bu taraftayken artı AB, XB.
XA'yı sağ tarafa geçirince AB'nin XB'den XA'nın çıkarılması olduğunu görüyoruz.
Benzer olarak BA'ya baktığımızda gene
burdan A noktasına nasıl varırız?
Önce XB ile B'ye gideriz.
Donra B'den de BA'yla A'ya geliriz.
Yani bu tarafta XB artı BA eşittir XA'dır.
XB'yi bu tarafa geçirince eksi XB oluyor.
Dolayısıyla gene burda da BA vektörünün A
ve B noktalarının vektörüne nasıl bağlı olduğunu görüyoruz.
Burada hemen şuna dikkat etmek lazım.
Sıraya dikkat etmek lazım.
AB hemen önsezimiz belki veya içgüdümüz düşünmeden söylediğimiz
birinciden ikinciyi çıkaralım gibi olabilir, Halbuki tam ters sırada geliyor.
İkinciden, ikinci noktanın vektöründen birinci noktanın vektörünü çıkarıyoruz.
Burada da aynı kural tutarlı.
İkinci noktanın vektöründen birinci noktanın vektörünü çıkarıyoruz.
Dolayısıyla bu fevkalade önemli.
Bize noktalar verildiği zaman bunların merkeze kaydırılmış
vektörünü bulabilmek için bu sırada işlem yapmak gerekiyor.
Bu paralelkenar kuralıyla da uyumlu.
Şimdi bunlar niye böyle olmuş ve niye yararlı oluyor diye günlük yaşamdan iki
basit örnekle vurgulayalım.
Şöyle bir kuvvet olsa biz bu kuvveti A ve B noktalarından geçirdiğimiz iplere assak.
Bu kuvvetin dağıldığını bu şekilde gözlemişiz.
Doğada böyle oluyor.
Pek çok fizik dersinizde görmüşsünüzdür zaten.
Bu bileşenlerine bu yönlere göre bileşenleri bu vektörün
izdüşümlerinden elde ediliyor ve gördüğünüz gibi burada da x ve y
vektörlerinin toplamı paralelkenar kuralıyla elde ediliyor.
Benzer olarak bir derenin içinde bir kayığı şu
yönde x kuvvetiyle, bu yönde y kuvvetiyle çektiğimizi düşünelim.
Yönleri farklı kuvvetlerin, kendileri farklı.
Kayık yine bu paralelkenar kuralına göre elde edilen toplam yönünde gidiyor.
Demek ki bunlar doğadaki olayları hesaplayabilmek için,
tanımlayabilmek için, gözleyebilmek için yararlı bir araç olacak vektörler.
Zaten bunun için önemli olmuşlar.
Sonra burdan başlayarak çok daha soyut
taraflara başında söylediğim gibi önce gözlemlerimiz, yaşantıdan
gözlemlerle ama sonradan da kurguladığımız şu anda
göremediğimiz fakat kurguladığımız olayları anlamaya yardımcı olmuşlar.
Gene şöyle bir deney yapalım.
Bir yaya bir ağırlık asalım.
Bir X mertebesi, X kadar uzadığını görüyoruz.
Buraya iki misli ağırlığı assak iki misli uzadığını görüyoruz.
Burada bu da gene bizim bir vektörü
bir sayıyla çarpmamızın işlemini getiriyor.
Gene şu deneyi yapabiliriz, herhalde bir arabayı bir atla çektiğimiz
zamanki kuvvetle iki tane, tabii tamamen eşit ağ, güçte
kuvvette at bulmak mümkün olamayabilir ama bu düşünce deneyimini
düşünürseniz burda iki tane atla çekince iki misli kuvvet gelir.
Bu da bir önceki gördüğümüz bir vektörü bir C'yle çarpma
işleminin soyutlanmasına götürüyor.
Şimdi buraya kadar hep geometriden bahsettik.
Geometriden cebire geçmekte yarar var.
Şu bakımdan yarar var.
Çünkü her zaman bu çezme imkanımız yok.
Halbuki sayılarla her zaman basit bir
kağıt üzerinde kalemle basit hesaplar yapabiliriz.
Bunu yapabilmek için ama geometriyle de tutarlı olmamız lazım.
Daha evvel bulduğumuz kurallarla tutarlı olmamız lazım.
Buna eşdeğer, eş yapıda bir kuram geliştirmemiz gerekiyor.
Yararlı olduğu için gerekiyor geliştirmemiz.
Biz önce bu x bir, x iki yönlerinde i ve ji birim vektörlerini tanımlayalım.
Bunların birinci yöndeki bileşeni, boyu bir, diğer yöndeki boyu da sıfır.
Benzer olarak bir ji tanımlayalım.
Bu da ikinci koordinat yönünde olsun.
Bunun da tabii ki birinci yöndeki
bileşeni sıfır, ikinci yoldaki yöndeki bileşeni bir.
Şimdi biz şu işlemi öğrendik.
Bir vektörü bir sayıyla çarpmayı öğrendik.
i'yi x birle çarpalım.
Aynı yönde ama boyu x bir kadar büyük olan bir vektör buluruz.
Benzer olarak ji'yi x ikiyle çarpalım.
Aynı yönde ve boyu x iki kadar büyük olan vektörü buluruz.
Bunları topladığımız zaman da paralelkenar kuralına göre bir vektör elde ederiz.
Bu sayılara, x bir ve x iki sayılarına bu vektörün bileşenleri diyoruz.
Bunu x bir kere i artı x iki kere ji
gibi yazdığımız gibi, bu geometriyle
tutarlılığını göstermek için daha soyutlaşarak
i ve ji'ler devamlı gelecek bunların da kendileri önemli ama
çok büyük bir özelliği yok ve her zaman da sabit.
Dolayısıyla i ve ji'den, bunlar bilindiği için hiç yazmadan daha verimli,
daha iktisadi, ekonomik bir yazma yolunu elde ederiz.
Dolayısıyla bir vektörü iki sayıyla gösterme olanağını buluyoruz.
Benzer olarak iki vektörü topladığımız zaman
bunları geometriden toplasak bu paralelkenar kuralıyla yapacağız.
Bu sayılarla toplasak gene burada benzer üçgenlerin
eşdeğerliğinden bu paralelkenarın şu kenar
bu kenarın eşi olduğu için bunun izdüşümü burada
şu aradaki fark y bir olduğu için bütün bunların
eşdeğerlerini bulabiliyoruz ve burada i ve
ji'siz gayet iktisadi yazma yolunu keşfediyoruz.
Bir sayı, bir vektörü iki, bir sayı çiftiyle gösteriyoruz.
Gene ikincisini gene bir sayı çiftiyle gösterelim.
Bunların toplamı artık i'lere ve ji'lere gerek duymaksızın ama onların
verdiğinin aynı sonuçları veren, onlarla tutarlı olan sonuçları
verecek şekilde toplamada birinci sayıları kendi arasında
topluyoruz, ikinci sayıları ki bunlara bileşen diyoruz bir arada topluyoruz.
Aynı sonuçları elde ediyoruz.
Şimdi fazla teferruatına girmedim ama kendiniz de görebilirsiniz bu
çizdiğimiz eş, benzer üçgenlerin sonucudur.
Benzer olarak bir vektörü C ile çarpmak demek, burada gene i'ler ve ji'lersiz
yazıyoruz, teker teker bileşenleri C ile çarpmaya karşılık geliyor.
Bir vektörün boyunu Pisagor teoreminden biliyoruz.
Bakınız burada bir geriye gidersek bu vektörün boyu bu
Pisagor teoreminden bir kenar x bir, diğer kenar x iki demek ki
köşegen de x birin karesi artı x ikinin karesi olarak karşımıza çıkmaktadır.
Bunu da yapabiliyoruz.
Buradan vektörü boyuna bölerek bu tek tek bu sayıları bölerek elde ediyoruz.
Böylece çizerek elde ettiğimiz bütün
işlemleri sayılarla elde etme olanağını buluyoruz.
Bu fevkalade önemli bir ilerleme çünkü çizmek hem
herkes için kolay değil hem çok alet edevat lazım.
Düzgün çizmek pek kolay değil.
Onun yerine sayılarla bütün bu işleri yapabiliyoruz.
Sayılarla yapabildiğimiz için bunu üç boyuta da genelleyebiliriz,
n boyuta da onbeş boyutlu uzaya da genelleyebiliriz.
Onbeş boyutlu uzayı çizmemiz de mümkün değil.
Dolayısıyla sayılara geçmenin, cebirsel
yönteme geçmenin üstünlüğü buradan geliyor.
Yalnız geometrik e, yaklaşımın da bir üstünlüğü var o da
konuları içselleştirebilmek için çünkü çizebildiğimiz bir şeyleri daha iyi
anlayabildiğimiz için önemli konuları daha iyi kavrayabilmek için önemli.
Şimdi bugün bu iki işlemi
tanıttıktan sonra yani bi, iki vektörün toplamı
ve vektörlerin bir e, sayıyla çarpımı birincisi
paralelkenar kuralıyla, ikincisi de
aynı yönde vektörü uzatarak veya kısaltarak birden küçük bir
sayıyla çarpıyorsanız boyunu değiştirerek bulabiliyoruz.
Şimdi iki işlemle daha göreceğiz.
Burada başlıklarını vermekle yetiniyorum.
Bundan sonraki karşılaşmamızda bu konuları inceleyeceğiz.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
