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Resolución de triángulos cualesquiera (parte I)
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From the course by Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
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From the lesson
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas, identidades fundamentales, representaciones gráficas, resolución de triángulos rectángulos, resolución de ecuaciones trigonométricas, resolución de triángulos cualesquiera.
Meet the Instructors
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este último video de la semana, veremos ejemplos de resolución de triángulos
en general, cuando no necesariamente tengamos un triángulo rectángulo.
O sea, veremos cómo obtener los valores de todos los ángulos
y lados de un triángulo a partir de algunos valores dados.
Para ello, utilizaremos los siguientes resultados.
Si tenemos un triángulo cualquiera donde los ángulos los
denotados por las letras A, B, y C mayúscula, sabemos que
la suma de estos tres ángulos siempre es igual a 180 grados.
Además, si los lados del triángulo los denotamos por a,
b, y c minúscula, de forma que el lado a
minúscula se corresponda con el lado opuesto del ángulo A
mayúscula, el lado b minúscula se corresponda con el lado opuesto
al ángulo B mayúscula, y finalmente, el lado c minúscula se corresponda con
el lado opuesto al ángulo C mayúscula,
entonces podemos escribir los siguientes dos resultados.
El primero que se denomina ley del seno, nos
dice que el seno de un ángulo A dividido por
el lado a, o sea, el lado opuesto al ángulo
A, es igual al seno del ángulo B dividido por
su lado opuesto, b minúscula, y su vez, esto también es igual
al seno del tercer ángulo C dividido por su lado opuesto, c minúscula.
El segundo resultado, denominado ley del coseno, nos dice que,
por ejemplo, el lado a al cuadrado es igual a b al cuadrado más
c al cuadrado menos 2 veces b por c por el coseno del ángulo opuesto
al lado a minúscula.
De la misma forma, intercambiando a, b,
y c, obtenemos las siguientes dos igualdades.
Por lo tanto tenemos una igualdad para cada uno
de los lados del triángulo a, b, y c minúscula.
Utilizando estos resultados, veamos algunos
ejemplos de resolución de triángulos.
En este primer ejemplo, se trata de calcular los valores de B mayúscula,
a minúscula y c minúscula en este
triángulo dado, donde conocemos los siguientes valores.
Sabemos que el ángulo A mayúscula es de 60 grados,
you que es el ángulo opuesto al lado a minúscula.
El ángulo C mayúscula es de 72 grados, you
que es el ángulo opuesto al lado c minúscula.
Y finalmente, el lado b es 25, you que es el, el lado
opuesto al ángulo B mayúscula.
A partir de estos valores empezaremos
calculando el valor del ángulo B mayúscula.
Si tenemos un triángulo donde conocemos dos de los ángulos,
el tercer ángulo se puede calcular fácilmente utilizando esta fórmula.
O sea, utilizando el hecho de que la suma de
los ángulos de cualquier triángulo siempre es de 180 grados.
Así tenemos que 60 más B más 72
es 180. Por lo tanto, B es igual a 180
grados menos 60 menos 72, o sea, 48 grados.
Así tenemos you el valor de B que es de 48 grados.
Si conocemos los tres ángulos
de un triángulo y uno de sus lados, podemos calcular
fácilmente los otros dos lados utilizando ahora la ley del seno.
Por ejemplo, si queremos calcular el valor del lado a, utilizamos
la igualdad seno de A dividido por a es igual a seno de B
dividido por b, you que conocemos el ángulo B y el lado b.
Así, si sustuímos
los valores, tenemos la igualdad seno de 60 grados dividido por a, que es el valor
que queremos calcular, es igual al seno de B, que es 48, dividido por b, que es 25.
Despejamos la a y obtenemos que a es igual a 25 por el seno
de 60 grados dividido por el seno de 48 grados.
Utilizamos la calculadora y vemos que, aproximadamente,
a es de 29,13. Así you hemos obtenido el valor de a.
De la misma forma podemos obtener el valor de c.
Ahora consideramos la igualdad seno de C dividido por
c es igual a seno de B dividido por b.
En este
caso, también podríamos haber utilizado la igualdad con el
ángulo y el lado c y el ángulo y el lado a, you que ahora conocemos el lado a
y el ángulo A No obstante, para evitar propagación de errores al utilizar valores
aproximados, es mejor, siempre que sea posible,
utilizar los valores originales dados en el enunciado.
En este caso, utilizamos esta igualdad y así sustituimos y
tenemos que seno de 72 grados dividido por c, que es el valor que
queremos calcular, debe ser igual a seno de 48 dividido
por 25. Así c es igual a 25 por el
seno de 72 grados dividido por el seno de 48.
De nuevo, utilizamos la calculadora y vemos que la c es de aproximadamente
31,99. Así you hemos obtenido los tres valores y
hemos completado los lados y ángulos que nos faltaban del triángulo dado.
Veamos un segundo ejemplo.
En este caso, queremos calcular los ángulos A y C y el lado
c en este triángulo dado, donde vemos que conocemos el ángulo B y los lados a y b.
A diferencia del caso anterior donde teníamos you dos de los ángulos, en este
caso, vemos que únicamente conocemos uno de
ellos, y queremos calcular los otros dos.
En este caso, tenemos dos opciones.
Si conocemos el lado opuesto al ángulo dado, como en este caso,
que conocemos el lado B correspondiente al ángulo
b, podemos utilizar de nuevo la ley del seno.
En cambio, si los dos lados que conocemos son justamente los lados opuestos a los
ángulos que queremos calcular, utilizaremos la ley
del coseno como veremos en el siguiente ejemplo.
Empezaremos calculando el ángulo A you que conocemos su lado opuesto, a minúscula.
Como hemos
visto, utilizaremos para ello la ley del seno, concretamente, la
igualdad seno de A dividido por a es igual a seno de B dividido por
b, you que conocemos el ángulo B y su lado opuesto b.
Sustituimos los valores que conocemos y tenemos que seno
de A dividido por 24 es igual a seno de 22 dividido
por 12. Despejamos seno de A y obtenemos que es
igual a 24 por seno de 22 dividido
por 12, o sea 2 por seno de 22 grados,
que es aproximadamente, utilizando la calculadora,
0,749214. A partir del seno
de A que sabemos que es aproximadamente este valor,
queremos obtener qué ángulos tienen como seno este valor, dado.
Esto viene dado por la función inversa del seno, conocida como
arcoseno. O sea, el arcoseno, de
un valor, en este caso, 0,749214 es el
ángulo cuyo seno es este valor dado. Si
utilizamos la calculadora, vemos que un ángulo,
cuyo seno es este valor de aquí y del primer cuadrante,
sería el ángulo de 48,5 grados. Además sabemos
que también hay un ángulo del segundo cuadrante que tiene
este mismo seno. Este ángulo es el ángulo cuyo ángulo de
referencia es el de 48,5 grados. O, de forma equivalente, podemos
decir que es el ángulo suplementario al ángulo de 48,5 grados.
O sea, sería el ángulo 180 menos 48,5
grados. Como el valor 48,5 es un valor aproximado,
también tenemos que esta diferencia sería una solución o un valor
aproximado de 131,5 grados.
Así tenemos dos ángulos cuyo seno es de
0,749214. Para confirmar si estas dos
soluciones son soluciones factibles para este triángulo dado,
observamos que el ángulo A debe ser un ángulo entre
0 y 180 menos 22 grados you que 22 es el ángulo you
conocido y la suma de los tres ángulos debe ser de 180 grados.
En este caso, tenemos que el ángulo A se
encuentra en el intervalo de 0 a 158 grados.
Como estos dos valores están en este intervalo, confirmamos que
estos dos ángulos son soluciones factibles para obtener el triángulo del enunciado.
A continuación, como you conocemos dos de los ángulos, el ángulo A y el
ángulo B, podemos calcular el tercer ángulo a partir de esta igualdad.
Además, para el ángulo
A tenemos dos opciones. Por lo tanto, también tendremos dos
opciones para el ángulo C. La primera, la denotamos por C sub 1, o
sea la correspondiente al ángulo A sub 1, y este valor será de 180
grados menos 22 menos 48,5 grados, o sea,
aproximadamente 109,5 grados. Y la segunda solución
la correspondiente al ángulo A sub 2, que denotamos
por C sub 2 será aproximadamente de 180 grados menos
22 grados menos el ángulo A sub 2 que
es de 131,5 grados, o sea aproximadamente de 26,5 grados.
Así you tenemos el tercer ángulo C, y
en este caso, dos soluciones, cada una correspondiente
a las dos soluciones que habíamos obtenido antes para el ángulo A.
Finalmente calculamos el lado c para cada una de estas
dos soluciones simplemente aplicando de nuevo la ley del seno.
Para calcular el lado c correspondiente al ángulo A sub 1 y al ángulo C sub 1,
utilizamos, por ejemplo, esta fórmula seno de B dividido por b es igual
a seno de C sub 1 dividido por c sub 1. Así obtenemos,
despejamos c sub 1, esto es igual a seno de C sub
1 por 12 dividido por seno de 22 grados.
C sub 1, sabemos que es aproximadamente 109,5 grados.
Sustituimos, utilizamos la calculadora y obtenemos que este valor
es de aproximadamente 30,20.
De la misma forma podemos calcular la segunda solución para el lado c.
Utilizamos la siguiente igualdad, pero en lugar de C sub 1, utilizamos
el ángulo C sub 2, you que queremos calcular la segunda opción para el lado c.
Despejamos C sub 2. De nuevo,
tenemos la siguiente ecuación. Sustituimos
C sub 2 por el ángulo 26,5 grados,
y utilizando la calculadora vemos que este valor es de 14,29.
Así you hemos obtenido las dos soluciones para el lado
c correspondientes a las dos soluciones que hemos obtenido antes.
Finalmente,
podemos ver que, en este caso, tenemos dos soluciones posibles, la primera viene
dada por estos tres valores y la segunda solución por estos tres valores.
En este caso, podemos decir que existen
dos triángulos que son solución para este enunciado.
En este tercer ejemplo se trata de calcular los ángulos
B y C y el lado a en el triángulo dado,
donde vemos que conocemos el ángulo A y los lados b y c.
De nuevo, como en el ejemplo anterior,
vemos que solo conocemos uno de los ángulos.
En este caso, el ángulo A.
Pero, a diferencia del ejemplo anterior, no
conocemos el lado opuesto al ángulo dado.
O sea, en este caso, no conocemos el lado a.
Así, no podemos utilizar la ley del seno como hemos utilizado en el ejemplo
anterior, pero sí que podemos utilizar la ley del
coseno, como veremos a continuación, para resolver el ejercicio.
En este caso, empezaremos calculando el valor a, o sea, el lado
opuesto al ángulo dado de 45 grados, utilizando la ley del coseno.
O sea, utilizamos la siguiente fórmula dada por la ley del coseno que nos dice
que a al cuadrado es igual a b al cuadrado más c
al cuadrado menos 2 por b por c por el coseno de A.
you que conocemos el ángulo A y conocemos los lados b y c del triángulo,
y la única incógnita de esta ecuación es el lado a que nos falta por calcular.
Así tenemos que a al cuadrado es igual a 18 al cuadrado más 22 al cuadrado menos
2 por 18 por 22 por el coseno de 45 grados.
O sea, a es igual a la raíz cuadrada
más menos de este valor de aquí que es de
808 menos 792 por el coseno de 45
grados. Sabemos que a debe ser un valor positivo.
Por lo tanto, a es de aproximadamente 15,75.
A partir de este valor, a
continuación, calcularemos el ángulo B.
En este caso, podríamos utilizar tanto la ley del seno
como la ley del coseno para obtener el ángulo B.
La ventaja de utilizar
la ley del coseno en lugar de la ley del seno, radica en el hecho de que dado
un coseno, únicamente existe un ángulo en el intervalo
de 0 a 180 grados que tenga el coseno dado.
Pero en cambio, dado un valor del seno, existen dos ángulos
entre 0 y 180 grados que tengan el valor del seno dado.
Por lo tanto,
utilizaremos la ley del coseno para calcular el ángulo B.
Concretamente, utilizaremos la siguiente igualdad: b al
cuadrado es igual a a al cuadrado más c al cuadrado menos 2a
por c por el coseno de B, you que queremos
calcular el ángulo B y conocemos los tres lados del triángulo.
Despejamos el coseno de B que es igual a
18 al cuadrado menos a al cuadrado menos 22
al cuadrado dividido por menos 2 por a por 22.
Utilizamos la calculadora y el valor aproximado de a que
hemos calculado antes y obtenemos que este valor es de
aproximadamente 0,58881141.
Tenemos el valor del coseno y queremos calcular el ángulo
cuyo coseno sea este valor de aquí. De nuevo, utilizaremos la
función inversa al coseno, o sea la llamada arcocoseno.
Así obtenemos que B es igual al arcocoseno de este
valor, y si utilizamos la calculadora,
comprobamos que B es de aproximadamente 53,9 grados.
De la misma forma podríamos calcular el ángulo C a partir de la ley del
coseno, concretamente con la fórmula c al cuadrado es igual a al cuadrado más b
al cuadrado menos 2 por a por b por el coseno de C.
you que C es el ángulo que queremos
calcular y conocemos los tres lados del triángulo.
No obstante, observamos que en este punto,
you conocemos dos de los ángulos del triángulo.
Por lo tanto, podríamos calcular el tercer ángulo, el
ángulo C, utilizando la fórmula A más B más
C igual a 180 grados. Sabemos que A es de 45 grados,
B es de aproximadamente 53,9 grados.
Por lo tanto, C es de aproximadamente
180 grados menos 45 menos 53,9
grados, o sea 81,1 grados. Así you hemos
obtenido los valores de los ángulos B y C, y el lado a que nos
dan la solución para el triángulo dado en el enunciado.
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