[音乐] 那么对于补码
它实际上是一种模运算当中的一种编码， 所谓模运算系统，实际上
它是有一个模，这个模实际上 就是一种同余的关系，
也就是说在模运算系统当中，一个数 与除以模以后的余数是等价的，
这个概念我这么讲可能不是很好理解， 我们通过例子来说明，现实生活当中，
我们可以找到一个非常常用的模运算系统， 时钟，时钟它有12个指针，1点
2点、 3点一直到12点，12点以后又变成了1点，
也就是说12点以后的这个13 除以12，它得到的余数是1，
也就是13和1是等价的， 就是一个数13除上模12，
得到的余数是1，这个1和13是等价的，这就是模运算系统的特点。
这就是模运算系统的特点，那么在这个模运算系统当中，如果我们要做减法的话，它很方便，- 可以用加法来实现，
比如说我们现在有一个钟表，它的时针是指向10点，
然后我们要把它拨向6点， 有两种拨法，一种是顺时针，一种是
逆时针拨，那如果我们顺时针拨的话，只要拨8格
那么拨8格以后，实际上就是10加8，10加8本来应该等于18，
但是钟表当中没有18这个格，这样的话过了12以后，又变成1， 2、
3、 4、 5、 6，所以加出来的18，它要对12去模
除上除12以后，它的余数是6， 这个6和我们倒拨4格，也就是10减4，
从这个逆时针的方向倒拨4格， 指到的那个地方是完全一样的。
也就是说10减4这个倒拨的方式，我们可以用顺拨8格来实现，
这个也就是说10减4的这个值，和10加8的值
在模12系统里面，它们是完全等价的， 都是指向6，那么也就是说我们
-4就是倒拨的4格，跟顺拨的8格是等价的，
我们把这个8称为-4
对12的补码，这里的模就是12，
也就是-4的模12补码等于8，
按照同样的道理，-3的模12补码是9，
-5的模12补码是7， 那么实际上也就是说12减3
等于12加9，等于12加9，
12减5等于12加7， 12加7，也就是说一个负数的补码
我们可以用模减去该负数的绝对值得到。
比如说，比如说-5的补码，我们可以用模12
减去-5的绝对值，减5，12减5等于7，
12减3等于9，所以-3的补码是9，-5的补码是7，
这个是在模12系统当中，负数补码的一个概念。
那么有了这个概念以后，我们就可以得到一个结论。
就是对于某一个确定的模，比如说这的12 某数减于，减去小于模的另一个数，
比如说10减去4， 可以用该数这个10
加上另一个数4的负数，就是-4的补码来代替。
10减4可以等于10加上-4的 补码8来代替，10减4等于10加8，
那么这样的话，我们就可以用加法来代替减法，
不要用减法来实现这个减运算，
而用加法规则来实现就可以了，所以在模运算系统当中，减法可以用加法来实现。
那么这样的话，就实现了加和减的统一。
比如说我们来举一个例子，刚才我们举的是钟表。
10点倒拨4格，我们可以用顺拨8格来实现。
那么在我们小时候我们用的这个算盘 当中，我们也可以用做加法来
实现减法运算，比如说我们现在有一个算盘，
它只有4档，然后我们只会加法口诀，不会减法口诀，
那也就是说我们只会做加法，不会做减法，但是现在我们要
在这个算盘上做减法，这时候我们通过做加法来实现。
那么，这一个算盘就是一个4位的十进制数的模运算系统。
它只有4个档，最多就是9999，
0000一直到9999，可以表示这么10000个数字，
所以当我们在用这一个算盘做减法 的时候，比如说用9828减去1928的时候，
我们可以用加法口诀做加法来实现。
那么，这个实现我们根据 上面一张PPT幻灯片里面讲的那个结论，
说一个数减去小于模的另一个数， 可以等于这一个数加上另一个数负数的补码。
也就是说我们要实现9828减1928 我们可以用9828加上负
1928的补码来实现，那么-1928
它的补码应该是模减去这个数的绝对值，也就是模
这的模当然就是10000，就是10的4次方减去1928
那么，这一个10的4次方减去1928 它的值是8072，因此我们要
算这个减法，我们只要用9828 加上8072就行了，只不过我们加出来的这个
结果最高位的1被丢掉了，不会在这个算盘上留下来， 在算盘上留下来的就是7900
那么，算盘上留下来的这个值就实际上相当于 17900除以
10000得到的余数， 那么7900就是余数，这个余数就是
和17900是一个等价的数，在模运算系统 当中，它是完全等价的，因此这个高位的1可以丢掉，
最终的结果就是7900，也就是9828减去1928
结果应该是等于7900。
这个结果很显然是正确的，显然是正确的。
那么，这个里面就实际上是在一个模运算系统当中进行的这个
运算，那么取模就相当于只留余数，高位的1就被丢掉了，
那么，在模运算系统当中，我们就可以用加法，
来实现这个减法运算，那么加的这个补码实际上很好算，
就是我们算负的1928的补码， 我们只要各位取反，末位加1就行了，
1的反数是8，9的反数是0，2的反数是7， 8的反数是1，1，末位再加1，就是2，就是80
72，我们很快能够得到这个-1928的补码，然后再就可以通过做加法来实现。
这个是现实世界当中的模运算系统。
那么，计算机内部我们讲过，它的表示运算都是用二进制来实现的。
就相当于是一个二进制的算盘，在这个算盘上只能拨0和1，
那么，比如说我们要在这样的算盘上面实现
这样两个数的相减，同样的我们可以跟前面一样，可以用加法来实现。
这个加法就是把第一个数 加上第二个数，负数的补码，也就是加上负的
01000000的补码， 那么，这个数减这个数等于这个数加上
这个数负数的补码，这个数负数的补码实际上是等于11000000。
那么，这两个数相加的结果在这个算盘上相加，
加出来的这个值是等于这样的一个数据：0+1=1
0+1=1这样子一直加上去 这样我们得到这样一个结果。
这个结果在这个算盘当中 最高位，多于八位的第九位的这个数字肯定是
丢掉的，最终得到的就是一个余数：0011 1111
而这个值，就应该是它减它的值，所以是正确的
那么我们可以看到这个补码，一个负数的补码是等于模 减掉这个数的绝对值，就是这个数。
其实我们可以看到减下来的结果 这个数实际上是等于这个
正数，也就是减的这个被减数的这个正数
各位取反末位加1得到的，这个就是
在计算机内部的一个执行过程，相当于计算机的算盘
所以我们可以得到一个负数的有一个结论，就是一个负数的补码
等于对应正数补码的各位取反末位 加1，比如说我们这求的是这个负数的补码
这个负数的补码，我们可以是这个数各位取反，就是 1011
1111 然后末位再加1，加1以后就变成1100
0000这个数 就是各位取反末位加1
这个是一个负数补码的求法
那么运算器是只有有限的数位
假设只有n位，那么运算结果也就只能保留低n位
因此我们可以把运算器看成是只有n档的二进制算盘
它的模呢是2的n次方，比如说当n等于4的时候
就相当于是一个钟表 在这个上面可以表示2的4次方个数
2的4次方等于16，也就是最多可以表示16个数据
0000，0001一直到1111这样16个
数字，这16个数字实际上就要是16个机器数
这16个机器数对应的真值是-8到+7 -8到+7。
那么这一边有一个 补码的定义，也就是说我们要求这个x的这个真值
它在机器里面用补码表示的这个机器数 我们只要加上这个模就可以了
那么对于正数来说，当这个x是正数的时候，那么取加上这个
模，这个模是这样：如果是n等于4的话，这个模就是2的4次方，就是16
加16以后，这个16还是被取模给取掉了，就是一除以16以后，这是相当于
剩下来的余数还是x，所以正数的补码是它本身
如果是负数的话，那么我们加上x，就是加上这个负数
就相当于是模减去这个负数的绝对值，就跟我们前面讲的那个结论 是一样的。
那么这个x，刚才我们讲了，它就是一个 真值。
我们这个表达是这个公式就是求一个真值 现实生活当中的一个值，在机器里面用补码表示的时候
对应的那个序列，这个补码就是一个机器数 那么机器数的含义，大家应该是明白了，就是
用0和1表示的一串01序列 比如说我们在这个公式里面可以看出
-8的补码用这个公式来算的话应该是
负的1000，-8
所以它的这个补码，我们可以看出，用这个公式来算
它应该等于2的4次方，也就是16
加上x，就是加上-8 就是减去8
那很显然，这个结果应该是等于 000
这个0减1不够，借过来一个1 那么就是10减1，应该是等于1
应该等于1，那么高位这个应该是0
这边减的是1000
这样子做减法的，000，这边是
10，也就是2，2减以1就是1，这边1借掉了以后，这边这个就是0
那么最后取模，就是取 后面的这个4位，因为它的这个模是2的这个
4次方，也就是拿这个数除以16得到的余数当然就是
1000，因此-8的补码就等于1000
1000就是说这边对应的这一个 真值应该是等于-8，-8
那么实际上你再去看的话，这个对应的这个应该是+7
对应的+7；这个对应的这个应该是-7，这个可以
一个一个可以算一下，按照这个公式代进去算一下就 可以得到机器数和真值之间的对应关系。
[音乐]
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袁春风教授
