В основе предлагаемого курса лежат лекции, которые читаются студентам математико-механического факультета на 3-ем году обучения сразу после поступления на кафедру теоретической кибернетики. Цели курса: Изложить по возможности строго и полно основы теории управления в следующем объеме: линейная теория, синтез обратных связей для стабилизации линейных систем, линеаризация нелинейных систем в малом, линеаризация обратными связями, дискретизация непрерывных систем, анализ нелинейных систем. Заинтересовать студентов и подготовить их к восприятию более углубленных специальных курсов. Выявить у обучаемых и убедить их заняться устранением пробелов в базовом математическом образовании.
Видео 3.5. «Методы дискретизации»
Loading...
From the course by Saint Petersburg State University
Введение в теорию кибернетических систем
1 rating
From the lesson
Модуль 3. Линейная теория. Дискретные системы и дискретизация
Meet the Instructors
Бондарко Владимир Александровичдоцент
Кафедра теоретической кибернетики
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
Зададимся теперь вопросом,
откуда берутся системы с дискретным временем.
Источников несколько.
Во-первых, это изначально дискретные системы — всяческие урожаи,
опоросы и цифровые устройства.
Другой пример —
это уравнение частных производных.
В гиперболических уравнениях неявно спрятано запаздывание.
Когда мы с вами выводили передаточную функцию струны,
управляемой струны, скакалки,
мы получали в качестве решения разностное уравнение,
где масштаб
времени определялся параметрами системы.
Наконец, основной источник дискретных объектов
управления — это дискретизация объектов непрерывных.
Что такое дискретизация?
Это процедура, которая в непрерывной системе
прототипу сопоставляет некоторую дискретную модель.
В случае если и прототип,
и модель — это линейные стационарные системы,
удобно говорить о дискретизации их передаточных функций.
W(λ) — передаточная функция прототипа,
а χ(λ) — передаточная функция дискретной модели.
Какие встречаются методы дискретизации?
Самый простой и исторически, возможно, первый — это метод Эйлера.
Затем δ-преобразование, оно же стандартное z-преобразование
или инвариантное преобразование импульсной характеристики,
которое здесь мы будем обозначать первыми буквами ИПИХ.
Затем преобразование порядка ноль 0 — английский термин
zero order hold, или ZOH.
Преобразование порядка 1.
Согласованное преобразование.
И преобразование Тастина.
Все эти преобразования кроме, может быть, метода Эйлера,
который связан просто с доказательством разрешимости дифференциальных
уравнений на конечном временном промежутке,
возникли как метод построения цифровых фильтров.
Где-то в начале 60-х годов появились первые
цифровые устройства, и к тому времени
была развита обширная теория построения аналоговых фильтров,
состоящих из катушек, конденсаторов и сопротивлений.
Развивать эту же теорию для дискретных систем было дольше,
чем просто предложить некоторую процедуру дискретизации.
В частности, для этого использовался и метод Эйлера тоже.
Что такое метод Эйлера?
Производная по определению — это предел отношения
приращения функции к приращению временного аргумента.
Если вместо предела взять просто
саму разность с некоторым положительным шагом дискретизации,
то мы получаем передаточную функцию
которая просто передаточную функцию дискретной модели
которая простым образом выражается через передаточную функцию прототипа.
К достоинствам этого метода можно отнести простоту,
а других, в общем-то, не имеется.
Значит, какие недостатки?
Как я уже говорил, метод Эйлера асимптотически при h,
стремящемся к нулю, хорош на конечном временном промежутке.
Поскольку мы рассматриваем устройство, работающее потенциально бесконечное время,
то возникают всякие нежелательные эффекты.
Например, на диаграмме справа изображена
область тех параметров,
тех полюсов передаточной функции
непрерывного прототипа, которые после дискретизации по
методу Эйлера приводят к устойчивым объектам дискретным моделям.
Теоретически это должна быть вся левая полуплоскость,
устойчивые явным образом должны переходить в устойчивые.
Но реально в устойчивые переходят только полюсы,
находящиеся внутри изображенного круга.
И стало быть, возможна патологическая ситуация,
когда прототип моделирования,
прототип дискретизации устойчивый, а его модель неустойчивая.
Это означает, что реальный процесс стремится, например,
к нулю, а смоделированный — к бесконечности.
Понятно, что это никуда не годится.
Стандартное z-преобразование,
или инвариантное преобразование импульсной характеристики,
задается следующим образом.
Оно исходит из того,
что импульсная реакция модели
совпадает с импульсной реакцией прототипа,
взятый с шагом дискретизации h.
Вот импульсная характеристика модели,
а g(t) — это импульсная характеристика прототипа.
Вопрос только в том,
почему совпадение импульсных характеристик может оказаться желательным.
Надо помнить, что импульсная характеристика прототипа — это ответ на,
в общем-то говоря, бесконечный мощный очень короткий импульс.
А импульсная характеристика модели — это ответ на единичный импульс.
Почему они должны совпадать, совершенно непонятно.
Вообще, как оценивать качество алгоритма дискретизации?
Понятно, что хорошая модель — это та,
которая как оператор из входа в выходы близка к своему прототипу.
Проблема в том, что входы и выходы у прототипа и модели разные.
Они разные по своей природе.
В непрерывном случае это функция непрерывного времени,
а в дискретном — это последовательность.
Поэтому прежде чем сравнивать,
нужно дискретную модель дополнить аналого-цифровым
преобразованием из непрерывных функций в
последовательности с шагом h.
И обратным цифро-аналоговым преобразователем из
последовательностей в непрерывной функции.
После этого можно сказать, что хорошая модель
— это такая модель, у которой при том же самом входе
минимальная разница между y и y с крышкой.
Тут возможны две постановки.
Можно требовать, чтобы это было так: для любых входов —
это оценка качества модели разогнутой системы, входы любые.
А другая ситуация — это оценка для
тех входов, которые стабилизируют дискретную модель.
Подразумевается, что мы смоделировали непрерывный объект управления,
построили для него цифровой регулятор,
который стабилизирует дискретную модель,
и замкнули нашу непрерывную систему дискретным
регулятором, добавив к нему соответствующие преобразователи.
Если при этом разница между выходами будет мала в замкнутой системе, то,
значит, мы сможем управлять непрерывным объектом с помощью дискретного регулятора.
Таким условием, то есть высокому качеству дискретной модели,
удовлетворяет преобразование порядка 0, ZOH.
Преобразование порядка 0 подразумевает, что между кратными периоду
дискретизации моментами управление постоянно,
то есть является многочленом порядка 0.
Если обозначить xk
— значение состояния системы в кратные h моменты,
и аналогично yk — это значение выхода в кратные h моменты,
то по формуле Коши
мы получаем, что новое значение
состояния — это матрица p экспоненциальная,
умноженная на старое значение состояния
плюс матрица Q, умноженная на uk.
Это просто уравнение
дискретной системы в пространстве состояний.
Формулы для P и Q у нас приведены и выделены красным цветом.
Качество модели, как можно показать, оценивается следующим
образом: если цифро-аналоговый преобразователь задать,
приближая выход кусочно-линейным образом,
то разница между выходом модели и оригинальным
выходом прототипа будет пропорциональна
квадрату шага дискретизации h.
Аналогичное утверждение можно получить для преобразования первого порядка,
когда вход кусочно-линеен.
Но, честно говоря, такое приближения входа представляется достаточно экзотичным.
Осталось коснуться согласованного преобразования и преобразования Тастина.
Они задаются некоторыми простыми равенствами
относительно передаточных функций,
для согласованного,
нули и полюсы передаточной функции переходят в их экспоненты.
А преобразование Тастина заключается в использовании
дробно-рационального преобразования нулей и полюсов.
Достоинствами обоих этих методов служит то,
что асимптотически при h, стремящемся к 0,
полученные передаточные функции модели близки к передаточной
функции прототипа с экспоненциальной заменой аргумента.
[БЕЗ_ЗВУКА]
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
