В основе предлагаемого курса лежат лекции, которые читаются студентам математико-механического факультета на 3-ем году обучения сразу после поступления на кафедру теоретической кибернетики. Цели курса: Изложить по возможности строго и полно основы теории управления в следующем объеме: линейная теория, синтез обратных связей для стабилизации линейных систем, линеаризация нелинейных систем в малом, линеаризация обратными связями, дискретизация непрерывных систем, анализ нелинейных систем. Заинтересовать студентов и подготовить их к восприятию более углубленных специальных курсов. Выявить у обучаемых и убедить их заняться устранением пробелов в базовом математическом образовании.
Видео 3.7. «Наследование качественных свойств прототипа при дискретизации»
Loading...
From the course by Saint Petersburg State University
Введение в теорию кибернетических систем
1 rating
From the lesson
Модуль 3. Линейная теория. Дискретные системы и дискретизация
Meet the Instructors
Бондарко Владимир Александровичдоцент
Кафедра теоретической кибернетики
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Для
исследования дискретных моделей нам
будет полезно утверждение относительно наследования ключевых
свойств моделью от ее прототипа.
Оказывается, справедлива следующая теорема.
Если прототип обладает одним из свойств (стабилизируемость,
наблюдаемость, детектируемость),
то порождаемая по методу порядка 0 модель
дискретная тоже будет управляемой,
соответственно, стабилизируемой, наблюдаемой или детектируемой.
Для любого периода дискретизации h, исключая не более чем счетный
набор отделенных от 0, явно указанных значений.
Доказательство.
Условия для h будет следующие: h должно обеспечивать,
что из неравенства собственных чисел матрицы
A прототипа, то есть полюсов передаточной функции,
должно следовать неравенство для их экспонент.
Что это означает?
Это всегда будет так, если вещественные части у собственных чисел λj различные.
Если же они совпадают, если все-таки мы попали на этот исключительный случай,
то тогда h не должно быть равно двум πk,
разделенным на разницу между мнимыми частями собственных чисел.
Это условие предполагается для удобства
выполненным не только для всего собственного,
для спектра собственных чисел A, но еще для λ, равного 0.
Докажем для начала, что из наблюдаемости прототипа следует наблюдаемость модели.
Доказательство.
Не уменьшая общности, можно считать,
что A у нас приведено к жордановой форме.
То есть A является блочно-диагональной
матрицей с жордановыми ящиками на диагонали.
Соответственно, экспонента от A — это будет блочно-диагональная
матрица с экспонентами от жордановых ящиков на диагонали.
Мы уже на самом первом занятии
находили экспоненциальную функцию от
жордановых матрицы и убедились,
что экспонента жорданового
ящика имеет выделенный вид.
Соответственно, экспонента,
примененная к орту с 1 в последней диагонали,
равна в точности собственному числу экспоненциальной матрицы,
умноженному на тот же самый орт.
Это означает,
что собственные векторы
матрицы A являются собственными
векторами матрицы e в степени hA.
И так же для каждого жорданового ящика.
Нам важно, чтобы не появилось новых собственных векторов.
И в приведенных условиях это будет действительно так.
Продолжим доказательство наследования наблюдаемости.
Предположим, что наша пара
e в степени hA C — ненаблюдаема.
По шестому признаку наблюдаемости это означает,
что существует ненулевой вектор z,
принадлежащий к ядру C,
то есть Cz = 0, и который служит
собственным вектором матрицы e в степени hA.
Других собственных чисел, кроме экспоненциальных,
у матрицы e в степени hA нет.
Поэтому мы получаем, что если разбить
z на компоненты, соответствующие жордановым ящикам,
что zj равны
компонентам собственного вектора экспоненты для всех λ,
которые совпадают с нашим λj,
и = 0 для тех, которые не совпадают.
Отсюда моментально следует,
что вектор z является собственным вектором
A и по-прежнему Cz = 0.
По тому же самому шестому признаку это означает ненаблюдаемость
пары коэффициентов прототипа, пары матриц (A, C).
Мы пришли к противоречию, значит предположение о ненаблюдаемости
нашей модели не соответствует действительности.
Наблюдаемость доказана.
Если рассматривать не всю систему целиком,
а только ее неустойчивую подсистему, получаем наследование детектируемости.
Точно так же наследуется и управляемость.
В самом деле пусть прототип управляем,
тогда, как мы сейчас покажем,
его модель нулевого порядка тоже будет управляема.
Ее коэффициенты удобно будет представить в виде
Q = T × B,
где T — это интеграл от экспоненты на промежутке от 0 до h,
или сумма соответствующего степенного ряда.
T — имеется в виду T ажурное.
Итак, пусть (A, B) — управляемая пара.
По теореме о двойственности пара сопряженных матриц будет наблюдаемой.
По только что доказанному наследованию наблюдаемости
пара (e в степени hA сопряженная,
B сопряженная) тоже будет наблюдаемой парой.
Еще раз воспользовавшись теоремой двойственности,
получаем, что e в степени hA B —
управляемая пара.
Но нам-то нужно, чтобы доказать,
что управляемой является пара e в степени hA Q.
Сейчас мы это осуществим.
Для этого нужно проверить,
что максимальный ранг имеет матрица управляемости.
Для пары (e в степени hA,
B) она имеет максимальный ранг в силу первого признака управляемости.
По известному свойству аналитических функций от матриц,
если λ — собственное число матрицы T ажурное,
то должно быть верно равенство
λ = интегралу от
экспоненциальной функции sμ ds,
где μ — собственное число A.
Поэтому введенное нами выше требование относительно шага дискретизации,
которое обеспечивает несовпадение
матричных экспонент от собственных чисел
и 0 для разных прототипов,
влечет неравенство нулю определителя матрицы T ажурное.
Мы имеем невырожденность
оранжевой матрицы в квадратных скобках и невырожденность ажурной матрицы T.
Следовательно, их произведение тоже будет невырожденным.
А поскольку они все построены на основе экспоненты от A,
то они успешно коммутируют.
И мы получаем, что невырожденной является,
а точнее имеющая полный ранг, является искомая
нами матрица управляемости пары (e в степени hA, Q).
Тем самым теорема доказана.
Если повторить сделанные рассуждения для антиустойчивой подсистемы,
то мы получаем наследование стабилизируемости по состоянию.
Поскольку управляемость и наблюдаемость эквивалентно глобальной невырожденности,
а детектируемость и стабилизируемость по состоянию эквивалентно
стабилизируемости по выходу — это было все доказано
на предыдущем занятии, — получается, что эти свойства,
а именно стабилизируемость по состоянию,
по выходу и невырожденность, наследуются при дискретизации.
Тем самым доказана нужная нам теорема.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
