В основе предлагаемого курса лежат лекции, которые читаются студентам математико-механического факультета на 3-ем году обучения сразу после поступления на кафедру теоретической кибернетики. Цели курса: Изложить по возможности строго и полно основы теории управления в следующем объеме: линейная теория, синтез обратных связей для стабилизации линейных систем, линеаризация нелинейных систем в малом, линеаризация обратными связями, дискретизация непрерывных систем, анализ нелинейных систем. Заинтересовать студентов и подготовить их к восприятию более углубленных специальных курсов. Выявить у обучаемых и убедить их заняться устранением пробелов в базовом математическом образовании.
Видео 3.8. «Наследование минимальной фазовости»
Loading...
From the course by Saint Petersburg State University
Введение в теорию кибернетических систем
ratings
From the lesson
Модуль 3. Линейная теория. Дискретные системы и дискретизация
Meet the Instructors
Бондарко Владимир Александровичдоцент
Кафедра теоретической кибернетики
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Давайте
задумаемся над тем, зачем нам нужны теоремы о наследовании.
То, что было уже доказано, позволяет нам
строить дискретные регуляторы для непрерывных систем.
Потому что наследуемые свойства обеспечивают возможность построения
стабилизирующих регуляторов.
Оценка качества модели позволяет
гарантировать стабилизацию не только в дискретные моменты,
кратные h, но и во все моменты непрерывного времени.
Но во многих случаях,
кроме уже разобранных качественных свойств,
хотелось бы унаследовать минимальную фазовость прототипа,
то есть устойчивость, принадлежность к устойчивой области всех его нулей.
Например, только для минимально фазовых моделей,
построенные нам оптимальные регуляторы являются устойчивыми.
Сейчас мы займемся решением этой задачи.
Пусть прототип имеет передаточную функцию w,
с числителем
b(λ) и знаменателем a(λ).
Причем, старший коэффициент у b(λ),
обозначим b0, степень его m,
а степень знаменателя, как обычно, n.
Соответствующим образом обозначены нули и полюсы передаточной функции w(λ).
После использования инвариантного преобразования импульсной характеристики,
мы получим, оказывается, нули следующего вида.
m штук из них имеют экспоненциальный тип.
Всего их n − 1 и оставшиеся нули
являются корнями многочлена,
который асимптотически близок к известным в
математике многочленам Эйлера.
Итак, теорема об асимптотике нулей.
Если устремить шаг дискретизации к нулю,
то с точностью до некоторой
степени шага дискретизации,
старший коэффициент модели стремится к старшему коэффициенту прототипа,
так называемые собственные нули,
которые имеют экспоненциальный вид, являются экспонентами от
μj(h) на h,
где μj(h) стремятся к нулям прототипа.
А оставшиеся нули стремятся к нулям многочленов Эйлера.
Поскольку к коэффициентам многочлена Эйлера стремятся
коэффициенты многочленов, возникающих при дискретизации.
[БЕЗ_ЗВУКА] Вот оно покоэффициентное стремление одного к другому.
Поскольку нули
при преобразовании нулевого порядка можно
получить с помощью инвариантного преобразования,
то эта же теорема позволяет анализировать нули дискретных моделей,
возникающих в результате преобразования нулевого порядка.
Начнем доказательства.
Начнем с собственных нулей.
Воспользуемся леммой Шура.
По этой лемме определитель
выделенной матрицы — это
определитель ее верхнего левого угла,
то есть a(λ) умноженный
на C,
на резольвенту, на − −B.
Два минуса съедают друг друга и в итоге мы получаем
передаточную функцию прототипа.
А поскольку мы умножаем на ее знаменатель,
то в итоге мы получаем числитель передаточной функции прототипа.
И точно также, для того чтобы найти числитель передаточной функции модели,
да еще в точке e в степени hλ, нам достаточно взять
определитель матрицы в квадратных скобках.
Тут стоит заметить, что,
разложив экспоненты скалярную и матричную в степенной ряд,
мы замечательным образом нулевые члены,
выделенные желтым, уничтожаем,
[БЕЗ_ЗВУКА] а то,
что осталось,
имеет с точностью до множителя h вид
λI − A + O(h).
То есть все оставшиеся слагаемые стремятся к нулю с той же скоростью, что и h.
Соответственно, и определитель будет стремиться к b(λ),
когда h стремится к нулю.
Рассмотрим разницу δ между вычисленным
нами значением числителя модели
и числителя прототипа.
Она стремится к нулю поточечно для каждого фиксированного λ.
Если мы возьмем некоторый корень
числителя прототипа и заключим
его в окрестность радиуса r,
обозначив её Ωj(r).
Поскольку граница этой окрестности
компактна, то из поточечной сходимости,
следует равномерная и значит для всех достаточно
малых h мы получим,
что, во-первых,
λj не принадлежат нашей выделенной окрестности.
А во-вторых, модуль b(λ) отделён от нуля по всей окружности,
по всей границе нашей области.
А кроме того, устремляя h к нулю,
мы гарантируем, что разность между значениями
числителя прототипа и модели меньше,
чем минимальное значение модуля числителя на границе.
По теореме Руше, в этом случае аналитические
функции b(λ) и h
в степени 1 − n β от e в степени hλ
имеют внутри выделенной окрестности
точки μj одинаковое количество нулей.
Оно, разумеется, равно кратности μj,
как корня многочлена b.
Тем самым мы показали,
что в некоторых точках hμj(h),
числитель модели имеет нули.
И μj(h) стремятся к нулям
прототипа для каждого j.
Это и есть собственные нули нашей дискретной модели.
Осталось доказать, что все остальные нули стремятся к нулям многочлена Эйлера.
Для этого мы воспользуемся разложением резольвенты в ряд Лорана.
Резольвента λI − A в −1-ой степени, нетрудно проверить,
разлагается по степеням aj следующим образом.
Старший коэффициент многочлена B
— это первое из ненулевых произведений C на A на Aj на B.
Аналогично, старший коэффициент числителя модели
— это C на e в степени hA на B.
И разлагая экспоненту в ряд, мы получаем,
что это C на A в степени j на B плюс все остальные слагаемые,
которые стремятся к нулю быстрее, чем первая.
Множитель 1/J!
очевидным образом уйдет в
определение многочлена
Эйлера, старшим коэффициентом которого, он является.
Чтобы убедиться в экспоненциальных
свойствах нулей дискретизации, произведем замену времени.
Исходное время,
пусть удовлетворяет равенству t = hτ, где τ — время новое.
Тем самым, в новом масштабе времени,
у нас шаг дискретизации равен единице,
а производные
по новому времени связаны со старыми производными естественным образом.
После такой замены уравнение
системы прототипа можно переписать в новом масштабе времени.
И новые коэффициенты будут стремиться к нулю всех, кроме старших.
Поскольку дискретизация — это непрерывная процедура,
то и её результат при h
стремящемся к нулю будет стремиться к результату
дискретизации предельного уравнения.
А предельное уравнение — это n-ная
производная от выхода равна n-ной
производной от входа с коэффициентом b0.
Если выписать дискретную модель по методу
инвариантного преобразования для этого простейшего уравнения,
то мы получим многочлен Zl t(λ),
который как раз и является одним из возможных определений
многочлена Эйлера степени l − 1.
Тем самым, теорема доказана.
В ходе прошедшего занятия мы рассмотрели дискретные
линейные стационарные системы управления и перенесли на них
все результаты, полученные ранее для непрерывных.
Кроме того, мы рассмотрели способы дискретизации,
распространенные и не очень, сравнили их между собой,
показали их общие свойства и продемонстрировали,
что один из них способен привести к решению задачи синтеза гибридных систем,
состоящих из непрерывного объекта управления и дискретного регулятора,
реализованного на цифровом устройстве.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
