[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Давайте
задумаемся над тем, зачем нам нужны теоремы о наследовании.
То, что было уже доказано, позволяет нам
строить дискретные регуляторы для непрерывных систем.
Потому что наследуемые свойства обеспечивают возможность построения
стабилизирующих регуляторов.
Оценка качества модели позволяет
гарантировать стабилизацию не только в дискретные моменты,
кратные h, но и во все моменты непрерывного времени.
Но во многих случаях,
кроме уже разобранных качественных свойств,
хотелось бы унаследовать минимальную фазовость прототипа,
то есть устойчивость, принадлежность к устойчивой области всех его нулей.
Например, только для минимально фазовых моделей,
построенные нам оптимальные регуляторы являются устойчивыми.
Сейчас мы займемся решением этой задачи.
Пусть прототип имеет передаточную функцию w,
с числителем
b(λ) и знаменателем a(λ).
Причем, старший коэффициент у b(λ),
обозначим b0, степень его m,
а степень знаменателя, как обычно, n.
Соответствующим образом обозначены нули и полюсы передаточной функции w(λ).
После использования инвариантного преобразования импульсной характеристики,
мы получим, оказывается, нули следующего вида.
m штук из них имеют экспоненциальный тип.
Всего их n − 1 и оставшиеся нули
являются корнями многочлена,
который асимптотически близок к известным в
математике многочленам Эйлера.
Итак, теорема об асимптотике нулей.
Если устремить шаг дискретизации к нулю,
то с точностью до некоторой
степени шага дискретизации,
старший коэффициент модели стремится к старшему коэффициенту прототипа,
так называемые собственные нули,
которые имеют экспоненциальный вид, являются экспонентами от
μj(h) на h,
где μj(h) стремятся к нулям прототипа.
А оставшиеся нули стремятся к нулям многочленов Эйлера.
Поскольку к коэффициентам многочлена Эйлера стремятся
коэффициенты многочленов, возникающих при дискретизации.
[БЕЗ_ЗВУКА] Вот оно покоэффициентное стремление одного к другому.
Поскольку нули
при преобразовании нулевого порядка можно
получить с помощью инвариантного преобразования,
то эта же теорема позволяет анализировать нули дискретных моделей,
возникающих в результате преобразования нулевого порядка.
Начнем доказательства.
Начнем с собственных нулей.
Воспользуемся леммой Шура.
По этой лемме определитель
выделенной матрицы — это
определитель ее верхнего левого угла,
то есть a(λ) умноженный
на C,
на резольвенту, на − −B.
Два минуса съедают друг друга и в итоге мы получаем
передаточную функцию прототипа.
А поскольку мы умножаем на ее знаменатель,
то в итоге мы получаем числитель передаточной функции прототипа.
И точно также, для того чтобы найти числитель передаточной функции модели,
да еще в точке e в степени hλ, нам достаточно взять
определитель матрицы в квадратных скобках.
Тут стоит заметить, что,
разложив экспоненты скалярную и матричную в степенной ряд,
мы замечательным образом нулевые члены,
выделенные желтым, уничтожаем,
[БЕЗ_ЗВУКА] а то,
что осталось,
имеет с точностью до множителя h вид
λI − A + O(h).
То есть все оставшиеся слагаемые стремятся к нулю с той же скоростью, что и h.
Соответственно, и определитель будет стремиться к b(λ),
когда h стремится к нулю.
Рассмотрим разницу δ между вычисленным
нами значением числителя модели
и числителя прототипа.
Она стремится к нулю поточечно для каждого фиксированного λ.
Если мы возьмем некоторый корень
числителя прототипа и заключим
его в окрестность радиуса r,
обозначив её Ωj(r).
Поскольку граница этой окрестности
компактна, то из поточечной сходимости,
следует равномерная и значит для всех достаточно
малых h мы получим,
что, во-первых,
λj не принадлежат нашей выделенной окрестности.
А во-вторых, модуль b(λ) отделён от нуля по всей окружности,
по всей границе нашей области.
А кроме того, устремляя h к нулю,
мы гарантируем, что разность между значениями
числителя прототипа и модели меньше,
чем минимальное значение модуля числителя на границе.
По теореме Руше, в этом случае аналитические
функции b(λ) и h
в степени 1 − n β от e в степени hλ
имеют внутри выделенной окрестности
точки μj одинаковое количество нулей.
Оно, разумеется, равно кратности μj,
как корня многочлена b.
Тем самым мы показали,
что в некоторых точках hμj(h),
числитель модели имеет нули.
И μj(h) стремятся к нулям
прототипа для каждого j.
Это и есть собственные нули нашей дискретной модели.
Осталось доказать, что все остальные нули стремятся к нулям многочлена Эйлера.
Для этого мы воспользуемся разложением резольвенты в ряд Лорана.
Резольвента λI − A в −1-ой степени, нетрудно проверить,
разлагается по степеням aj следующим образом.
Старший коэффициент многочлена B
— это первое из ненулевых произведений C на A на Aj на B.
Аналогично, старший коэффициент числителя модели
— это C на e в степени hA на B.
И разлагая экспоненту в ряд, мы получаем,
что это C на A в степени j на B плюс все остальные слагаемые,
которые стремятся к нулю быстрее, чем первая.
Множитель 1/J!
очевидным образом уйдет в
определение многочлена
Эйлера, старшим коэффициентом которого, он является.
Чтобы убедиться в экспоненциальных
свойствах нулей дискретизации, произведем замену времени.
Исходное время,
пусть удовлетворяет равенству t = hτ, где τ — время новое.
Тем самым, в новом масштабе времени,
у нас шаг дискретизации равен единице,
а производные
по новому времени связаны со старыми производными естественным образом.
После такой замены уравнение
системы прототипа можно переписать в новом масштабе времени.
И новые коэффициенты будут стремиться к нулю всех, кроме старших.
Поскольку дискретизация — это непрерывная процедура,
то и её результат при h
стремящемся к нулю будет стремиться к результату
дискретизации предельного уравнения.
А предельное уравнение — это n-ная
производная от выхода равна n-ной
производной от входа с коэффициентом b0.
Если выписать дискретную модель по методу
инвариантного преобразования для этого простейшего уравнения,
то мы получим многочлен Zl t(λ),
который как раз и является одним из возможных определений
многочлена Эйлера степени l − 1.
Тем самым, теорема доказана.
В ходе прошедшего занятия мы рассмотрели дискретные
линейные стационарные системы управления и перенесли на них
все результаты, полученные ранее для непрерывных.
Кроме того, мы рассмотрели способы дискретизации,
распространенные и не очень, сравнили их между собой,
показали их общие свойства и продемонстрировали,
что один из них способен привести к решению задачи синтеза гибридных систем,
состоящих из непрерывного объекта управления и дискретного регулятора,
реализованного на цифровом устройстве.