Ориентацию подвижного базиса относительно неподвижного можно задавать при помощи
различных комбинаций поворотов.
Один из самых распространенных способов — это «углы Эйлера».
Давайте напомним,
как они задаются и как производятся повороты при помощи «углов Эйлера».
Сделаем это при помощи программы Wolfram Demonstration Project и ее можно
увидеть на экране планшета.
Что здесь указано?
Давайте напомним, что такое «углы Эйлера».
Подвижная система, связанная с телом, это x', y' и z'.
Неподвижная система — это x, y и z.
Плоскости x', y' пересекаются с плоскостью x и y по линии узлов.
Я сейчас показываю на нее крестиком.
Угол между осью x и линией узлов носит название «угла прецессии» и
обозначается ψ.
Угол между осью z и z' носит название «угол нутации» и обозначается θ,
и также вводится угол собственного вращения —
это угол между линией узлов и осью x', обозначается φ.
Давайте покажем, как производятся повороты при помощи «углов Эйлера».
Какая последовательность поворотов в этом случае.
В начальный момент времени подвижный и неподвижный базис совпадают.
То есть «углы Эйлера» в этом случае равны 0.
Первый поворот осуществляется вокруг оси z на угол ψ.
Повернули.
Второй поворот осуществляется вокруг новой оси x' на угол θ.
В этом случае, ось z переходит в ось z'.
И третий поворот на угол собственного вращения, на угол φ.
Поворачиваем вокруг новой оси z'.
Что мы видим?
Видим, что каждый новый поворот задается вокруг оси базисного вектора в подвижной
системе.
То есть в случае «углов Эйлера» естественно использовать пассивную точку
зрения на повороты.
Давайте продемонстрируем.
Как мы видели, первый поворот осуществлялся вокруг оси z на угол ψ.
Матрицу поворота вокруг оси z вы получали на лекции.
Напомним, как она выглядит.
Второй поворот осуществлялся вокруг оси x' в новом, в подвижном базисе.
Матрицу поворота мы также получали.
Матрица поворота на угол θ выглядит следующим образом.
И заключительный поворот производился вокруг оси z' в новом базисе.
Матрица поворота на угол φ вокруг оси z выглядит следующим образом.
Так как у нас пассивная точка зрения на повороты, так как каждый поворот
производится в своем базисе, в подвижном базисе, чтобы получить итоговую матрицу
поворота, нам необходимо перемножить эти матрицы в прямом порядке.
Результат перемножения можно увидеть на экране.
Видно, что результат перемножения выглядит совсем некомпактно,
поэтому мы не выписываем его на доске, а ограничиваемся экраном планшета.
Теперь, давайте рассмотрим отдельные случаи,
критический случай, когда «угол нутации», угол θ приближается к углу π,
то есть к любому кратному π углу: 0π, 2π и так далее.
В этом случае, матрица поворота выглядит следующим образом.
После постановки угла ψ, угла θ, простите, равного π, получаем следующее выражение.
Видим, что на самом деле, элементы представляют из себя тригонометрические
формулы для cos разности, либо sin разницы, поэтому выражение упрощается и
матрица поворота, в случае, если угол θ = π, выглядит следующим образом.
Я обвела.
Что мы по этой матрице видим?
Что каким бы образом мы ни выбирали бы углы ψ и φ,
оси x' и y' мы не сможем вывести из плоскости x и y.
То есть мы получаем вырождение «углов Эйлера».
Давайте проиллюстрируем это на той же самой модели, которой мы уже пользовались.
В начальный момент времени подвижный и неподвижный базисы совпадают.
Давайте посмотрим, что будет с базисами в случае, если угол θ кратен π.
Выбираем угол ψ произвольно.
Повернули.
Первый поворот осуществлен на угол ψ.
Далее.
Второй поворот осуществляем на угол θ = π.
Видим, что в этом случае, каким бы образом мы сейчас
не выбирали бы угол φ, мы не можем выйти из плоскости x и y.
Этот эффект носит название «шарнирный замок».
Смотрим, что каким
образом мы не меняем углы ψ и φ, мы все также остаемся в плоскости.
И этот эффект справедлив для любых углов θ, кратных π,
то есть в том числе и для угла θ = 0.
Видим, что при изменении угла ψ, и при изменении угла φ,
мы все так же остаемся в плоскости xy, не можем из нее выйти.
Какие еще есть сложности с этим?
Если вы каким-то образом смогли при помощи «углов Эйлера» определить
положение вашего твердого тела в неподвижном базисе, и оказалось,
что угол θ кратен π, то есть 0π, 2π и так далее,
то вы не сможете определить по отдельности углы ψ и φ.
Вы будете знать только разницу между ψ и φ.
О чем это говорит?
Что одному положению твердого тела соответствует
бесконечный набор углов ψ и φ.
Как избежать этого?
Либо при приближении к критическому значению угла θ изменять набор «углов
Эйлера» на какие-то другие углы, либо пользоваться кватранионами,
которые мы рассмотрим на одном из следующих семинаров.
Спасибо!
