В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Скорость и ускорение точки в декартовой системе координат
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
15 ratings
From the lesson
Кинематика точки
Meet the Instructors
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
А теперь давайте начнем говорить о кинематике.
И для начала рассмотрим кинематику того самого элементарного объекта,
который мы обозначили в аксиомах — кинематика точки.
Давайте я даже напишу заголовок, чтобы не забыть самому, о чем мы сейчас говорим.
Кинематика точки.
Как мы, наверное, помним, все, что у нас происходит,
происходит в евклидовом трехмерном пространстве.
Введем в этом пространстве базис и
систему координат xyz,
прямоугольную декартову, и будем рассматривать движение
относительно этой системы координат некоторой точки,
которую назовем буквой P — от слова point.
Положение точки в нашем пространстве определяется радиус-вектором,
радиус вектор r.
Поскольку у нас пространство трехмерно, естественно,
радиус-вектор r в этих осях имеет три компоненты,
и мы их будем, как правило, писать в столбик.
Любой вектор, если не оговорено иначе, будет у нас вектором-столбцом.
Итак, радиус-вектор точки x(t),
y(t) и z(t), в зависимости от t, будет как раз означать, что у нас точка
совершает движение — то самое отображение из пространства R1 в пространство E3.
И давайте договоримся сразу о терминологии.
Если мы говорим, что задано x(t), y(t) и z(t), и тем самым
показана зависимость радиус-вектора от t — тут следовало бы тоже написать время,
— то мы будем говорить, что известен закон движения точки.
Зависимость координат x, y и z от времени будем называть законом движения.
Если же заданы дифференциальные уравнения, то есть есть какие-то производные,
то будем говорить об уравнениях движения.
Итак, уравнения движения — это дифференциальные уравнения,
закон движения — это зависимость координат от времени.
Задав x(t), y(t) и z(t), мы получим кривую
в трехмерном пространстве, по которой движется точка P.
Эту кривую будем называть траекторией,
траектория движения точки P.
И для того чтобы изучать эти траектории,
давайте введем несколько кинематических характеристик — несколько величин
векторных, которые будут характеризовать движение точки вдоль той или иной линии.
А для начала нам понадобится такая характеристика, как скорость точки.
Скорость мы будем обозначать буквой v — это будет вектор.
v — понятно, откуда берется такое обозначение: либо
от английского слова velocity, либо от аналогичного французского
слова vélocité — и то, и другое — на v.
По определению будем говорить, что скорость —
это первая производная радиус-вектора точки по времени.
Чаще всего эти производные мы будем обозначать точкой над
буквой r — над тем вектором, который дифференцируется
— вслед за Ньютоном, который такое обозначение придумал.
Скорость, точно так же,
как радиус-вектор — это вектор-столбец, естественно, трехмерный.
То есть здесь мы можем написать, что скорость — это у нас x(t),
продифференцированная по времени, y(t),
продифференцированная по времени,
и z(t), продифференцированная по времени.
Вот таким образом определим вектор скорости.
Кроме вектора скорости нам понадобится еще понятие модуля этого вектора.
И для того чтобы посчитать модуль,
давайте введем обозначения для каждой из компонент скорости.
Чаще всего эти компоненты называют той же буквой v, но с индексом x,
и говорят «компонента вектора скорости вдоль оси x», или в просторечии vx.
Это, естественно, скаляр, и vx равно первой компоненте
вектора скорости, x с точкой (t).
Соответственно, vy — это y с точкой (t),
и vz — z с точкой (t), все скаляры.
И теперь модуль вектора скорости обозначается той же буквой,
но без черточки.
Строго говоря, модуль вектора скорости — это скалярное произведение
вектора скорости на вектор скорости g, и из всего этого нужно извлечь корень,
квадратный корень из такого скалярного произведения.
Но у нас базис ортогональный, поэтому такое скалярное произведение,
конечно же, равняется сумме квадратов компонент вектора
скорости: vx²,
vy² и vz².
Так, и теперь еще одна кинематическая характеристика — это ускорение.
Ускорение мы будем обозначать буквой w.
Вот тут с этимологией этого обозначения все гораздо сложнее,
я не знаю такого английского, или французского, или немецкого слова,
которое значило бы ускорение и начиналось бы на эту букву.
А представителей других языков как-то сложно заподозрить в том,
что они придумали ускорение,
после того как вот во Франции или в Англии родилось понятие скорости.
Видимо, это обозначение пришло из советского ГОСТа по теоретической
механике, где все вот так просто решили.
Скорость — одна буква v, а ускорение пусть будет две буквы v.
Такая логика тоже вполне имеет право на жизнь.
Но с тех все теоретические механики во всех книжках обозначают ускорение
буквой w, а не вроде бы естественной буквой a от слова acceleration.
Ну, ладно.
Значит, ускорение по определению — это у нас первая
производная вектора скорости по времени,
или v с точкой, как мы теперь договорились писать,
или r с двумя точками.
Но тоже вектор-столбец с тремя компонентами,
и эти компоненты: x с двумя точками (t),
y с двумя точками (t), z с двумя точками (t).
Точно так же, как у вектора скорости,
можно ввести обозначение для компонент разложения
и ускорения по осям x, y и z.
Это будут wx, wy,
wz, которые будут равны, соответственно,
x с двумя точками, y с двумя точками и z с двумя точками.
Точно так же можно ввести понятие модуля ускорения.
Модуль — это корень квадратный из суммы квадратов
соответствующих компонент.
И теперь, перед тем как перейти к примеру,
чтобы попробовать посмотреть, как все эти вещи вычисляются на какой-то конкретной
задаче, давайте я напомню еще одно понятие, которое нам будет встречаться
неоднократно — это то, что называется кинематическими уравнениями.
У нас здесь введено понятие скорости, и иногда бывает такая задача.
Давайте я подзаголовок напишу: «Кинематические
[ШУМ] уравнения».
Задача может возникнуть вот какая: дан вектор скорости в
зависимости от времени, вот v(t) дано.
И требуется найти траекторию точки — вполне
реальная задача, которая возникает в разных приложениях.
Тогда, для того чтобы эту задачу решить,
нужно записать фактически то же самое определение вот этих вот компонент,
которые мы уже писали, но в другом порядке, чтобы получить дифференциальные
уравнения: x с точкой — vx(t),
y с точкой — vy(t),
z с точкой — vz(t).
Вот, решив эти дифференциальные уравнения, мы получим x(t),
y(t) и z(t), то есть закон движения или траекторию точки в пространстве.
А теперь можно разобрать пример,
который покажет как работают все эти формулы, которые мы с вами ввели.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
