Мы остановились на свойствах присоединенного отображения применительно
к кватернионам.
Давайте теперь, посмотрев, как кватернионы ориентируют твердое
тело в пространстве, попробуем научиться складывать поворот и тем самым получить
уже полную картину того, как кватернионы задают ориентацию чего бы то ни было.
Давайте напомним, что у нас уже есть.
Итак, пускай у нас есть неподвижный базис в пространстве I1, I2, I3.
Есть присоединенное отображение, которое переводит множество кватернионов в себя,
это как раз то, на чем мы остановились — λ сопряженная.
Значит, кватернион R умножается слева на λ, справа — на λ сопряженная,
и это и есть присоединенное отображение, которое задается кватернионом λ.
Мы успели договориться до того, что при преобразовании пространства,
то есть при повороте пространства вокруг некоторой оси ξ на некоторый
угол φ (ξ — единичный вектор, задающий ось), у нас есть кватернион λ,
который связан с этим поворотом вот таким образом.
Скалярная часть — cos φ/2, векторная часть — ξ * sin φ/2,
такой, что образ любого вектора при
повороте пересчитывается с помощью этого кватерниона вот по такой формуле.
Ну, собственно, присоединенное отображение снова здесь.
Дальше.
Если мы говорим про твердое тело с неподвижной точкой,
которая совпадает с началом базиса, который здесь каким-то образом
движется вокруг этой неподвижной точки и таскает за собой свой базис e1,
e2, e3 (базис, жестко связанный с телом), то,
конечно же, аналогично орты этого базиса — ek-тое,
скажем, могут быть получены из ортов базиса исходного,
и если они исходно совпадали, по той же самой формуле: λ *
Ik-тое * λ сопряженное.
k = от 1 до 3.
И еще один момент, который нужно вспомнить,
чтобы двигаться дальше, давайте вспомним наши обозначения стандартные.
Вот есть один и тот же вектор, который имеет, естественно,
разные разложения в базисе I и в базисе e.
В неподвижном базисе пусть это разложение называется r,
в подвижном базисе, который с телом двигается — ρ.
Вот как связать эти два вектора с помощью кватерниона?
r — это у нас ∑ rk ik.
ρ — соответственно,
∑ ρk ek, где
ρk — это коэффициент разложения вектора ρ по базису e.
Вместо ek я подставляю сюда сверху формулу,
которая связывает их с ортами неподвижного базиса.
Получаю: ∑ λρk ik
λ сопряженное.
Это я вместо e подставил сюда вот эту вот формулу.
Ну а ρ как скаляр, естественно, заносится под все кватернионные произведения.
И отсюда видно, что разложение вектора r в базисе
неподвижном связано с разложением вектора того же самого
в базисе подвижном, через вот такую формулу:
λ * ρ * λ с волной.
Мы говорим про вектор, но с кватернионами та же история будет,
сюда можно и целые кватернионы подставить.
Как вы помните, скалярная часть при присоединенном отображении не изменяется,
а с векторной происходит вот это.
Вспомнили нужные нам формулы, пошли дальше.
Еще про повороты нужно вспомнить, что такое активная и пассивная точка зрения.
Активная и пассивная
точка зрения на повороты.
Я напомню, что в активной точке зрения предполагается,
что есть некий
неподвижный базис, и все повороты,
все их описания записываются именно в этом базисе.
Что значит записываются в этом базисе?
Поворот в нашей терминологии — это ось поворота и угол.
Ось — это, естественно, вектор.
Когда я говорю, что все повороты записываются в этом базисе, я имею в виду,
что все векторы, которые определяют ось поворота, имеют коэффициенты разложения
именно по этому базису, в тех формулах, которыми мы пользуемся.
Значит, активная точка зрения:
все повороты
записаны в
базисе I1, I2 I3.
Пассивная точка зрения.
Тут ситуация несколько иная.
Есть твердое тело какое-то, ну, спутник это обычно, как мы думаем про это.
С ним связаны какие-то оси, e1, e2,
e3 и все повороты записаны вот в тех самых осях,
которые летают вместе со спутником и поворачиваются вместе с ним.
То есть каждый раз эти оси меняются, спутник поворачивается,
оси вместе с ним, и каждый новый поворот описывается, выходит, что в новом базисе.
Пассивная точка зрения.
Все повороты
записаны в осях,
связанных с телом.
С тем телом, которое поворачивается.
Применительно к кватернионам тут есть некоторая терминология.
Давайте напишем, что по определению
параметры Родрига-Гамильтона (это два
разных человека, напишем их через дефис),
параметры Родрига и Гамильтона
— это коэффициенты кватерниона [БЕЗ
СЛОВ] в том базисе,
который этот кватернион преобразует.
В базисе, преобразуемом
этим кватернионом.
[БЕЗ СЛОВ] То есть это
применительно к пассивной точке зрения — если мы поворот пишем через кватернион,
то вот в этом самом базисе e кватернион каждый раз и будет задан.
И его коэффициенты, компоненты его разложения по этому базису и будут
называться параметрами Родрига-Гамильтона.
Такой кватернион мы будем обычно обозначать каким-то специальным знаком.
Ну, звездочку над ним будем ставить.
И кватернион будем называть собственным кватернионом поворота,
если он записан в параметрах Родрига-Гамильтона.
Теперь мы договорились про все термины, которыми будем пользоваться,
и давайте напишем теорему о сложении поворотов в кватернионном описании.
Итак, сложение поворотов.
[БЕЗ СЛОВ] Давайте смотреть, как это все устроено.
Есть очередной раз I1, I2, I3, неподвижный базис.
И мы говорим: «давайте совершим несколько поворотов,
которые будут записаны в этом самом неподвижном базисе».
То есть то, что мы сейчас делаем — это повороты с активной точки зрения.
Поворот вокруг
оси ξ1 на угол φ1, ему соответствует
кватернион λ1; поворот вокруг оси ξ2 на угол
φ2 — и ему соответствует кватернион λ2, это понятно.
Но как мы помним, в силу теоремы Эйлера,
все эти два поворота можно заменить на один.
λ — это кватернион результирующего поворота, как говорят.
И зная, как мы поворачивались с кватернионом λ1 и λ2,
мы должны уметь этот результирующий поворот посчитать.
Сделать это достаточно несложно.
Давайте смотреть.
Возьмем какой-нибудь вектор произвольный.
Понятно, что после первого поворота его образ с помощью
кватерниона λ1 из самого вектора r восстанавливается как-то так.
С помощью присоединенного отображения.
Вот первый поворот сделали.
Дальше.
После второго поворота Вектор r' после поворота второго с Λ2.
Это Λ2 * r' * Λ2 с волной.
Вместо r' подставляем формулу из первого поворота.
Получаем r''.
Это Λ2 * Λ1 *
r * Λ1 с волной * Λ2 с волной.
Вспоминаем, что мы доказывали, что вот эти вот сопряжения
вот Λ1 с волной * Λ2 с волной — это то же самое,
что Λ2 * Λ1 под общим сопряжением.
И тогда получается, что кватернион Λ = Λ2 * Λ1.
То есть, если повороты совершаются в активной точке зрения и мы знаем
кватернионы каждого из них, то кватернион результирующего
поворота мы можем получить, умножив известные нам
кватернионы отдельных поворотов друг на друга в обратном порядке.
Видите, второй умножить на первый.
Если бы их было три, то третий на второй и на первый.
Дальше, по индукции,
легко доказать формулу для произвольного количества поворотов.
Сколько бы кватернионов не было, они в обратном порядке друг на друга умножаются.
Вот так вот легко и просто.
Теперь пассивная точка зрения.
[БЕЗ СЛОВ] Та
же самая теорема о сложении поворотов, но с пассивной точки зрения.
Что у нас происходит?
Есть базис I,
мы на него подействовали преобразованием поворота, он перешел в базис J.
Подействовали еще раз,
перешел в базис K, K1, K2, K3.
Ну и здесь поворот опять же на ось ξ1, угол φ1.
Здесь ось ξ2, угол φ2.
Этому повороту у нас соответствует кватернион Λ1.
А этому — кватернион Λ2.
Ну а теперь мы говорим: «каждый кватернион задан в том базисе,
из которого осуществляется поворот».
И мы договорились на такие кватернионы, заданные в том базисе,
из которого поворот осуществляется, ставить звездочки.
Вот Λ1 со звездой.
И Λ2 со звездой.
То есть Λ1 задан в базисе I, таким образом получается,
что между Λ1 и Λ1* нет никакой разницы.
А вот Λ2* — это не то же самое, что Λ2.
Λ2 — это его разложение в базисе I, Λ2* — в базисе J.
Пассивная точка зрения требует, чтобы мы Λ2 задавали в этом базисе.
Поэтому то, что он со звездой, тут принципиально.
Дальше.
Мы говорим, что если б точка зрения была бы у нас активная, мы бы написали,
что кватернион результирующего поворота, Λ, был бы равен Λ2 * Λ1.
А что такое Λ2* и как он связан с Λ?
Это мы знаем.
Такую формулу мы писали.
Λ2 — это у нас Λ1
* Λ2* и * Λ1 сопряженное.
Вот так вот связаны разложения одного и того же кватерниона, в разных базисах,
если переход осуществлен с помощью кватерниона Λ1.
Подставляя вот это вот выражение для Λ2 сюда,
получим Λ1 Λ2* Λ1 с волной * Λ1.
Вот это произведение у нас сворачивается в 1,
потому что кватернионы у нас единичные, и остается Λ1 * Λ2*.
Поскольку Λ1 и Λ1* — это одно и то же,
я имею право здесь эту звездочку нарисовать и получить,
что если мы говорим о собственных кватернионах, о кватернионах,
заданных в собственном базисе, то в пассивной точке зрения мы должны
их перемножать уже в прямом порядке, первый на второй.
Соответственно, если их много, первый на второй, на третий и так далее.
Вот все, что можно рассказать про сложение поворотов.
Пора переходить к практическим занятиям.