В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Сложение поворотов в кватернионном описании
Loading...
From the course by Moscow Institute of Physics and Technology
Кинематика
15 ratings
From the lesson
Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение) Понятие кватерниона
Meet the Instructors
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Мы остановились на свойствах присоединенного отображения применительно
к кватернионам.
Давайте теперь, посмотрев, как кватернионы ориентируют твердое
тело в пространстве, попробуем научиться складывать поворот и тем самым получить
уже полную картину того, как кватернионы задают ориентацию чего бы то ни было.
Давайте напомним, что у нас уже есть.
Итак, пускай у нас есть неподвижный базис в пространстве I1, I2, I3.
Есть присоединенное отображение, которое переводит множество кватернионов в себя,
это как раз то, на чем мы остановились — λ сопряженная.
Значит, кватернион R умножается слева на λ, справа — на λ сопряженная,
и это и есть присоединенное отображение, которое задается кватернионом λ.
Мы успели договориться до того, что при преобразовании пространства,
то есть при повороте пространства вокруг некоторой оси ξ на некоторый
угол φ (ξ — единичный вектор, задающий ось), у нас есть кватернион λ,
который связан с этим поворотом вот таким образом.
Скалярная часть — cos φ/2, векторная часть — ξ * sin φ/2,
такой, что образ любого вектора при
повороте пересчитывается с помощью этого кватерниона вот по такой формуле.
Ну, собственно, присоединенное отображение снова здесь.
Дальше.
Если мы говорим про твердое тело с неподвижной точкой,
которая совпадает с началом базиса, который здесь каким-то образом
движется вокруг этой неподвижной точки и таскает за собой свой базис e1,
e2, e3 (базис, жестко связанный с телом), то,
конечно же, аналогично орты этого базиса — ek-тое,
скажем, могут быть получены из ортов базиса исходного,
и если они исходно совпадали, по той же самой формуле: λ *
Ik-тое * λ сопряженное.
k = от 1 до 3.
И еще один момент, который нужно вспомнить,
чтобы двигаться дальше, давайте вспомним наши обозначения стандартные.
Вот есть один и тот же вектор, который имеет, естественно,
разные разложения в базисе I и в базисе e.
В неподвижном базисе пусть это разложение называется r,
в подвижном базисе, который с телом двигается — ρ.
Вот как связать эти два вектора с помощью кватерниона?
r — это у нас ∑ rk ik.
ρ — соответственно,
∑ ρk ek, где
ρk — это коэффициент разложения вектора ρ по базису e.
Вместо ek я подставляю сюда сверху формулу,
которая связывает их с ортами неподвижного базиса.
Получаю: ∑ λρk ik
λ сопряженное.
Это я вместо e подставил сюда вот эту вот формулу.
Ну а ρ как скаляр, естественно, заносится под все кватернионные произведения.
И отсюда видно, что разложение вектора r в базисе
неподвижном связано с разложением вектора того же самого
в базисе подвижном, через вот такую формулу:
λ * ρ * λ с волной.
Мы говорим про вектор, но с кватернионами та же история будет,
сюда можно и целые кватернионы подставить.
Как вы помните, скалярная часть при присоединенном отображении не изменяется,
а с векторной происходит вот это.
Вспомнили нужные нам формулы, пошли дальше.
Еще про повороты нужно вспомнить, что такое активная и пассивная точка зрения.
Активная и пассивная
точка зрения на повороты.
Я напомню, что в активной точке зрения предполагается,
что есть некий
неподвижный базис, и все повороты,
все их описания записываются именно в этом базисе.
Что значит записываются в этом базисе?
Поворот в нашей терминологии — это ось поворота и угол.
Ось — это, естественно, вектор.
Когда я говорю, что все повороты записываются в этом базисе, я имею в виду,
что все векторы, которые определяют ось поворота, имеют коэффициенты разложения
именно по этому базису, в тех формулах, которыми мы пользуемся.
Значит, активная точка зрения:
все повороты
записаны в
базисе I1, I2 I3.
Пассивная точка зрения.
Тут ситуация несколько иная.
Есть твердое тело какое-то, ну, спутник это обычно, как мы думаем про это.
С ним связаны какие-то оси, e1, e2,
e3 и все повороты записаны вот в тех самых осях,
которые летают вместе со спутником и поворачиваются вместе с ним.
То есть каждый раз эти оси меняются, спутник поворачивается,
оси вместе с ним, и каждый новый поворот описывается, выходит, что в новом базисе.
Пассивная точка зрения.
Все повороты
записаны в осях,
связанных с телом.
С тем телом, которое поворачивается.
Применительно к кватернионам тут есть некоторая терминология.
Давайте напишем, что по определению
параметры Родрига-Гамильтона (это два
разных человека, напишем их через дефис),
параметры Родрига и Гамильтона
— это коэффициенты кватерниона [БЕЗ
СЛОВ] в том базисе,
который этот кватернион преобразует.
В базисе, преобразуемом
этим кватернионом.
[БЕЗ СЛОВ] То есть это
применительно к пассивной точке зрения — если мы поворот пишем через кватернион,
то вот в этом самом базисе e кватернион каждый раз и будет задан.
И его коэффициенты, компоненты его разложения по этому базису и будут
называться параметрами Родрига-Гамильтона.
Такой кватернион мы будем обычно обозначать каким-то специальным знаком.
Ну, звездочку над ним будем ставить.
И кватернион будем называть собственным кватернионом поворота,
если он записан в параметрах Родрига-Гамильтона.
Теперь мы договорились про все термины, которыми будем пользоваться,
и давайте напишем теорему о сложении поворотов в кватернионном описании.
Итак, сложение поворотов.
[БЕЗ СЛОВ] Давайте смотреть, как это все устроено.
Есть очередной раз I1, I2, I3, неподвижный базис.
И мы говорим: «давайте совершим несколько поворотов,
которые будут записаны в этом самом неподвижном базисе».
То есть то, что мы сейчас делаем — это повороты с активной точки зрения.
Поворот вокруг
оси ξ1 на угол φ1, ему соответствует
кватернион λ1; поворот вокруг оси ξ2 на угол
φ2 — и ему соответствует кватернион λ2, это понятно.
Но как мы помним, в силу теоремы Эйлера,
все эти два поворота можно заменить на один.
λ — это кватернион результирующего поворота, как говорят.
И зная, как мы поворачивались с кватернионом λ1 и λ2,
мы должны уметь этот результирующий поворот посчитать.
Сделать это достаточно несложно.
Давайте смотреть.
Возьмем какой-нибудь вектор произвольный.
Понятно, что после первого поворота его образ с помощью
кватерниона λ1 из самого вектора r восстанавливается как-то так.
С помощью присоединенного отображения.
Вот первый поворот сделали.
Дальше.
После второго поворота Вектор r' после поворота второго с Λ2.
Это Λ2 * r' * Λ2 с волной.
Вместо r' подставляем формулу из первого поворота.
Получаем r''.
Это Λ2 * Λ1 *
r * Λ1 с волной * Λ2 с волной.
Вспоминаем, что мы доказывали, что вот эти вот сопряжения
вот Λ1 с волной * Λ2 с волной — это то же самое,
что Λ2 * Λ1 под общим сопряжением.
И тогда получается, что кватернион Λ = Λ2 * Λ1.
То есть, если повороты совершаются в активной точке зрения и мы знаем
кватернионы каждого из них, то кватернион результирующего
поворота мы можем получить, умножив известные нам
кватернионы отдельных поворотов друг на друга в обратном порядке.
Видите, второй умножить на первый.
Если бы их было три, то третий на второй и на первый.
Дальше, по индукции,
легко доказать формулу для произвольного количества поворотов.
Сколько бы кватернионов не было, они в обратном порядке друг на друга умножаются.
Вот так вот легко и просто.
Теперь пассивная точка зрения.
[БЕЗ СЛОВ] Та
же самая теорема о сложении поворотов, но с пассивной точки зрения.
Что у нас происходит?
Есть базис I,
мы на него подействовали преобразованием поворота, он перешел в базис J.
Подействовали еще раз,
перешел в базис K, K1, K2, K3.
Ну и здесь поворот опять же на ось ξ1, угол φ1.
Здесь ось ξ2, угол φ2.
Этому повороту у нас соответствует кватернион Λ1.
А этому — кватернион Λ2.
Ну а теперь мы говорим: «каждый кватернион задан в том базисе,
из которого осуществляется поворот».
И мы договорились на такие кватернионы, заданные в том базисе,
из которого поворот осуществляется, ставить звездочки.
Вот Λ1 со звездой.
И Λ2 со звездой.
То есть Λ1 задан в базисе I, таким образом получается,
что между Λ1 и Λ1* нет никакой разницы.
А вот Λ2* — это не то же самое, что Λ2.
Λ2 — это его разложение в базисе I, Λ2* — в базисе J.
Пассивная точка зрения требует, чтобы мы Λ2 задавали в этом базисе.
Поэтому то, что он со звездой, тут принципиально.
Дальше.
Мы говорим, что если б точка зрения была бы у нас активная, мы бы написали,
что кватернион результирующего поворота, Λ, был бы равен Λ2 * Λ1.
А что такое Λ2* и как он связан с Λ?
Это мы знаем.
Такую формулу мы писали.
Λ2 — это у нас Λ1
* Λ2* и * Λ1 сопряженное.
Вот так вот связаны разложения одного и того же кватерниона, в разных базисах,
если переход осуществлен с помощью кватерниона Λ1.
Подставляя вот это вот выражение для Λ2 сюда,
получим Λ1 Λ2* Λ1 с волной * Λ1.
Вот это произведение у нас сворачивается в 1,
потому что кватернионы у нас единичные, и остается Λ1 * Λ2*.
Поскольку Λ1 и Λ1* — это одно и то же,
я имею право здесь эту звездочку нарисовать и получить,
что если мы говорим о собственных кватернионах, о кватернионах,
заданных в собственном базисе, то в пассивной точке зрения мы должны
их перемножать уже в прямом порядке, первый на второй.
Соответственно, если их много, первый на второй, на третий и так далее.
Вот все, что можно рассказать про сложение поворотов.
Пора переходить к практическим занятиям.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.
