Так ну сочетаний без повторений мы уже накушались изрядно,
наверное, это немножко оскомину набило.
Давайте стало быть попробуем посмотреть на ситуацию,
когда сочетания все-таки возникают с повторениями, да?
Ну вот типичная задача.
В продаже имеется или имеются
розы трех цветов,
имеются розы трех цветов.
При этом считается,
что розы одного цвета между собой никак различаются, то есть
если вы хотите составить букет, то вам совершенно все равно, какую красную розу в
него добавить или какие там несколько красных роз добавить в этот буфет.
Буфет — это хорошо сказано.
Букет, конечно, не буфет.
В буфет я бы добавил что-нибудь иное, вряд ли розу.
Но оговорка, она все-таки по Фрейду, да, по Фрейду.
Ладно, итак: имеются неразличимые розы трех цветов, то есть они
различаются только цветами, внутри своего цвета они совершенно одинаковые.
Вот, спрашивается: сколькими способами,
сколькими способами
можно составить букет,
— очень старательно произношу букву «к»,
— из 7 роз?
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Букет из 7 роз.
Ну давайте думать, почему эта задача про сочетания с повторениями.
Собственно, вроде, того и хотелось, да?
То есть как-то слушатель уже готов к тому,
что должны возникнуть сочетания с повторениями.
Ну, действительно, на самом деле что у нас есть?
У нас есть 3 типа объектов {a1, a2, a3}.
a1 — это объект, который называется «красная роза»,
a2 — это объект, который называется ну,
скажем, «белая роза», ну и, наконец, — ой, а тут тоже a2: нет,
конечно, a3, это я описался, — a3 — это роза третьего цвета какого-нибудь,
неважно, какой вам больше нравится.
Вот, это даже не объект, это тип объектов.
И объектов первого типа у нас, в принципе,
неограниченное количество, хоть 7: мы можем все 7 роз взять первого типа.
Ну и то же самое касается объектов второго типа,
то же самое касается объектов третьего типа.
Каждого типа роз у нас неограниченное количество, да и нужно нам всего 7,
так что эта неограниченность тут не должна так пугать, подумаешь,
как максимум 7 красных роз или там 7 белых роз потребуется, это нестрашно.
Сколько же существует букетов, да, из 7 роз,
которые можно составлять из таких объектов?
Ну вот видно прямо по аналогии с тем, что разбиралось на лекции,
что это вчистую задача на числа сочетаний с повторениями,
потому что у нас есть неограниченное количество объектов такого типа,
неограниченное количество такого, неограниченное количество этого,
и вот из этих трех неограниченных количеств надо составить 7.
На лекции мы объясняли почему и как это устроено: это есть C из 3 по 7,
именно из 3 по 7, потому что они могут совпадать, но, естественно, с чертой.
И вот наиболее содержательная теорема,
касавшаяся подсчета различных комбинаторных величин, она говорила нам,
что C из n по k с чертой — это C из n + k – 1 по k – 1.
Ну а в данном случае вот n, вот k, значит n + k – 1 — это будет 9.
Ну и по k – 1 — это, видимо, по 6.
это, видимо, по 6.
Вот получается ответ в нашей задаче.
Ну можно честно посчитать, как обычно, чему равняется это число,
но в общем-то это и все.
Ну такая вот типичная задача на именно сочетание с повторениями.
Почему, кстати, сочетание?
Да, вот давайте я еще прокомментирую.
Почему не размещение с повторениями?
Потому что букет — это, знаете, это такая охапка, это не то чтобы, знаете,
набор занумерованных гнезд, в каждое их которых надо поставить свою розу,
и вот от порядка того, как там будут в этих гнездах розы стоять,
вид букета будет отличаться, будет зависеть.
Нет, ни в коем случае, мы просто берем в такую охапку большую,
в букет собираем некоторое количество роз.
Понятно, что порядок следования самих этих роз внутри букета для нас значения
не имеет, нам важен только его состав, важно сколько в нем красных роз,
сколько белых роз, сколько еще каких-то.
И вот именно поэтому мы получаем, собственно, сочетание с повторениями: с
повторениями — понятно почему повторяются розы каких-то цветов, а вот то,
что сочетание — это вот именно обусловлено тем, что никакого порядка
в букете априори нет, нет каких-то специально занумерованных гнезд, в которые
следовало бы ставить розы, и в зависимости от этого получать те или иные расстановки.
Нет, это такой вот хаотичный беспорядочный букет, поэтому сочетание.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
