[БЕЗ_ЗВУКА]
[ШУМ] Алгебраические неравенства.
Неравенства, содержащие переменную величину, могут иметь одну из
следующих форм: A(x)
> B(x),
A(x) < B(x),
A(x) ≥
B(x) и A(x)
≤ B(x).
В последнем случае,
когда имеет место так называемое строгое неравенство,
необходимо решать неравенство и уравнение.
Если мы в неравенстве, содержащем переменную,
ее зафиксируем, то есть положим x = x0,
то получим некоторое числовое неравенство.
И эти числовые неравенства обладают следующими свойствами: они чем-то похожи
на свойства уравнений, а именно: если a < b,
то отсюда следует,
что a + c < b + c.
Если a > b — я беру знак
неравенства произвольный, — то отсюда следует,
что ac > bc, но, правда, при условии, что c > 0.
[ШУМ] Очень важно быть аккуратным при возведении неравенств в квадрат,
а именно: если мы запишем неравенство 2 < 3 и возведем его в квадрат,
то мы получим 4 < 9, что правильно.
Но если мы запишем неравенство 2 > −3 и возведем его в квадрат,
мы получим неравенство 4 > 9, поэтому будьте, пожалуйста,
внимательны, когда неравенства имеют вот такие вот знаки.
Для решения неравенств, которые можно себе представить
как отношения двух многочленов Pn(x)
/ Qn(x), например,
≤ 0 либо какое-то другое, обычно применяют метод интервалов.
Для этого мы должны каждый из этих многочленов разложить на множители.
Вот в качестве примера давайте рассмотрим следующее неравенство: (x −
1) × (2x + 3)
/ x²(2
− x) ≤ 0.
Метод интервалов состоит в следующем: мы с
вами берем вещественную ось
и наносим на ней точки, в которых наши
сомножители могут менять знаки — это будут точки −3 / 2.
Следующая точка — 0,
следующая точка — 1, и следующая точка — 2.
Итак, вся числовая ось у нас разбилась на — раз, два, три, четыре — пять интервалов.
Внутри каждого интервала наше выражение будет сохранять свой знак.
Давайте смотреть: если x < 3 / 2,
то у нас с вами наверху два отрицательных сомножителя, внизу — два положительных.
То есть имеет место следующее соотношение: −, −, +, +.
Если мы возьмем интервал от − 3 / 2 до 0,
то мы получим следующее: −, +, +, +.
Следующий интервал даст нам то же самое сочетание знаков: −, +, +, +.
Следующее у нас с вами — если x от 1 до 2,
все положительно и в числителе, и в знаменателе: +, +, +, +.
И, наконец, если x > 2, мы получаем +,
+, +, −.
Смотрим: у нас с вами нестрогое неравенство,
поэтому мы должны решить еще и уравнение, которое дает нам следующее (только
числитель можно приравнять к 0 при этом): либо x = 1,
либо x = −3 / 2.
Итак, ответом будет следующее: выбираем интервалы,
где у нас с вами отрицательное значение нашей дроби.
Первый интервал у нас с вами: от − от
−∞ до − 3 / 2.
Значит, там у нас с вами отрицательное значение наверху, положительное внизу.
Так, давайте еще раз разочек проверим: итак, если мы возьмем,
например, −5, это −, −, это +, и это +.
Итак, этот интервал нам с вами не подходит,
следующие интервал у нас с вами — от − 3 / 2 до 0.
− 3 / 2 у нас с вами входит,
поэтому здесь квадратная скобочка, а вот 0 не входит,
потому что он попал в знаменатель — круглая скобочка, открытый интервал.
Объединенное с — следующий какой у нас с вами интервал: от 0 до 1.
0 у нас с вами опять же не входит, а вот 1 входит в решение,
потому что это дает решение уравнения.
И, наконец, последний интервал — от 2,
2 не входит, от 2 до + ∞.
Так же, как для квадратных уравнений
очень хорошо иметь нормальный навык для решения квадратных неравенств,
а именно: если мы рассмотрим неравенство Ax² + Bx
+ C > 0
— для определенности я положу A > 0,
— то мы должны с вами исследовать квадратный трехчлен на знак.
Давайте посмотрим, что у нас будет в этом случае.
Итак, [ШУМ]
если дискриминант у нас с вами отрицательный — D < 0.
Помним с вами, что график выглядит
вот так и нету отрицательных значений y,
потому как парабола целиком расположена выше оси Ox.
Следующий случай — когда дискриминант = 0.
В этом случае, как мы помним, у нас с вами один корень или два одинаковых корня,
что, в общем-то, все равно пока для нас.
И [ШУМ]
у нас с вами вот такой вот рисуночек, правильно?
Теперь у нас с вами еще добавляется вот эта точка,
которая также является решением нашего неравенства — вот этого вот.
Значит, здесь у нас с вами x — любое.
Здесь у нас с вами эта точечка добавилась бы к нашему неравенству,
если бы здесь было ≥.
Но на самом деле эта точка — корень квадратного уравнения
— теперь нам не включается в решение.
Поэтому здесь будет промежуток от −∞ до
x1 и от x1 до + ∞.
И, наконец, третий случай, когда дискриминат больше 0.
Помним, что в этом случае у
нас квадратное уравнение имеет два корня,
но мы с вами решаем неравенство.
x1, x2.
Область, где у нас с вами наш квадраный трехчлен
положительный — вот этот вот кусочек и вот этот вот кусочек.
И в этом случае у нас с вами
получается следующий интервалы: от −∞
до x1 и интервал
от x2 до +∞.
[БЕЗ_ЗВУКА]