[БЕЗ_ЗВУКА] В
это видео мы поговорим о том, какие операции можно вводить над матрицами.
В прошлый раз мы уже разобрались с вами, как умножать матрицу на вектор.
А именно: мы можем умножать матрицу размера m × n на вектор-столбец
размера n × 1.
Для этого мы домножаем каждый элемент i-той строки на соответствующий элемент
вектора и складываем.
В итоге получаем i-тый элемент вектора-результата.
Получаем мы на выходе вектор размера m × 1.
Обратите внимание, мы могли умножать матрицу на вектор только в том случае,
если число столбцов в матрице совпадало с длиной вектора.
Иначе операция была не определена.
Давайте теперь поговорим о том,
как ввести более общую операцию — умножение матрицы на матрицу.
Она будет возможна только в том случае, если число столбцов в первой матрице
совпадает с числом строк во второй матрице.
Иначе эта операция будет не определена, делать её будет невозможно.
Итак.
Пусть есть две матрицы — A и B.
Матрица A имеет размер m × n, а матрица B имеет размер n × k.
Результатом будет матрица C размера m × k.
То есть строк в ней будет столько же, сколько в первой матрице,
а столбцов столько же, сколько во второй.
Чтобы перемножить матрицы A и B и получить C, мы делаем следующее:
i-тый j-тый элемент матрицы C получается поэлементным умножением
i-той строки матрицы A на j-тый столбец матрицы B, что затем складывается.
Именно так и получается матрица C.
Давайте разберём пример.
Пусть есть две матрицы, первая имеет размер 3 × 2, вторая 2 × 3.
Результатом будет матрица размера 3 × 3.
Давайте получим её элемент с индексами 1, 1.
Для этого нам понадобится первая строка матрицы A и первый столбец матрицы B.
Перемножаем их.
Получаем 1 * 1 + 2 * 0.
Значит, элемент с индексами 1, 1 матрицы C будет равен 1.
Посчитаем элемент с индексами 1, 2.
Для этого мы умножаем 1 на 0 и 2 на 0 и складываем.
Получаем 0.
Чтобы получить элемент с индексами 1, 3, умножаем 1 на 0,
прибавляем 2 * 2, получаем 4.
Наконец, чтобы получить элемент с индексом 2, 1, умножаем 0 на 1, 1 на 0, получаем 0.
И так далее.
У вас, наверное,
уже возник вопрос: почему мы ввели операцию умножения матриц именно так?
Эта формула не кажется интуитивной, она не приходит в голову в первую очередь.
Но, оказывается, у неё есть довольно понятный глубокий смысл.
Давайте попробуем его понять.
Мы уже выясняли, что матрица, по сути, задаёт линейное преобразование,
линейную функцию из одного векторного пространства в другое.
То есть, по сути, она принимает на вход один вектор и возвращает другой,
уже другой разрядности.
Например, матрица A может задавать преобразование из пространства V в
пространство W,
а матрица B — задавать преобразование из пространства W в пространство T.
Поскольку это функции, можем определить их композицию, B от A, то есть сначала к
вектору из пространства V применяем преобразование A, потом преобразование B,
и в итоге вектор из пространства V переходит в пространство T.
При этом оказывается, если мы перемножим матрицы B и A, то полученное произведение
BA будет как раз задавать преобразование из пространства V в пространство T,
ровно то преобразование, которое является композицией B и A.
Это одна из главных причин, почему умножение вводится именно так.
Есть ещё одна причина.
Представьте, что у нас есть некоторая система линейных уравнений Ax = b.
Например, это может быть задача поиска линейного
классификатора для предсказания возникновения рака.
В этом случае в строках A записаны пациенты, для каждого пациента известно,
какие мутации имеют место в его геноме,
а в B записан правильный ответ: возникнет рак через 5 лет или не возникнет.
Тогда x — это веса, с которыми складываются индикаторы наличия мутации в
геноме, и получается некоторый ответ.
При этом, на самом деле, x может тоже выражаться через другой вектор z,
то есть может иметь место уравнение x = Bz.
Откуда оно может быть?
Оно может задавать некоторые дополнительные ограничения.
Например, что две определённые мутации должны носить одинаковый вклад в принятие
решения, то есть должны иметь одинаковый вес.
Это всё можно отрегулировать матрицей B.
В итоге получается, что нужно решать систему вида A*(Bz) = b.
Так вот.
Оказывается, что если мы поставим выражение
для вектора x, то есть x = Bz, в первое уравнение,
раскроем скобки, сгруппируем и получим уравнение относительно z,
то мы получим систему с матрицей, которая будет равняться произведению A и B.
То есть мы ввели умножение так, чтоб можно было подставлять одну систему линейных
уравнений в другую, и при этом всё сохранялось.
Хорошо.
Давайте поговорим о более простых операциях — сложение и умножение на число.
Здесь всё гораздо более интуитивно.
Чтобы сложить две матрицы, мы должны убедиться,
что они имеют одинаковый размер.
То есть обе имеют размерность m × n, иначе сложение не определено.
Складываем мы поэлементно.
То есть i-тый j-тый элемент матрицы C суммы A и B будет равняться aij + bij.
Всё очень просто.
То же самое касается умножения на число.
Чтобы умножить матрицу b на некоторое число α,
просто умножаем на α каждый элемент.
То есть cij — результат — будет равен α * bij.
Наконец, поговорим о такой операции, как транспонирование.
Мы будем с ней сталкиваться довольно часто.
Для этого нам понадобится понятие главной диагонали.
Пусть есть некая матрица A размера 4 × 3.
Главной диагональю называются все её элементы,
у которых первый индекс равен второму, то есть все элементы вида aii.
В нашем случае, это будет элемент (1, 1), (2, 2) и (3,
3), которые имеют значения 1, 3 и 0.
Это действительно диагональ.
Транспонирование — это, по сути, поворот относительно главной диагонали.
Матрица A размера m × n превращается в матрицу A транспонированное размера n × m.
Кстати, A транспонированное обозначается как A с верхним индексом T.
Иными словами, i-тый j-тый элемент транспонированной
матрицы равен j-тому i-тому элементу исходной матрицы.
Ещё можно интерпретировать это так,
что строки исходной матрицы становятся столбцами транспонированной матрицы.
Вернёмся к нашему примеру.
Матрица размера 4 × 3 становится матрицей 3 × 4, при этом главная диагональ 1,
3, 0 остаётся на своём месте, а всё остальное поворачивается относительно неё.
То есть, например, столбец 1,
2, 2 ,5 (первый столбец) становится первой строкой 1, 2, 2, 5.
И так далее.
Итак.
Что мы узнали?
Умножение матриц — это довольно хитрая операция,
которая при этом имеет довольно глубокий смысл.
Например, она соответствует композиции двух линейных преобразований
или соответствует постановке в систему линейных уравнений вектора,
который тоже выражается как матрица умножить на вектор.
При этом сложение и умножение для матриц (умножение на константу) определяется
интуитивно, просто поэлементно.
Также мы изучили с вами транспонирование — это операция,
которая меняет строки и столбцы матрицы местами.
В следующем видео мы поговорим о том, что такое ранг и определитель.
Evgeniy Riabenko
Evgeny Sokolov
Victor Kantor
Emeli Dral
