Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
22.1 Principe de relativité
Loading...
From the course by École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique Lagrangienne
19 ratings
From the lesson
Principe de relativité (optionnel)
Partant des concepts vu à la leçon 15 sur les changements de référentiel, on rappelle le principe de relativité de Galilée. Avec une condition supplémentaire sur la vitesse de la lumière, on voit qu'on a un problème et qu'il faut changer la façon de relier les coordonnées liées à deux référentiels d'inertie en translation uniforme l'un par rapport à l'autre.
Meet the Instructors
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour! Bienvenue au cours de physique générale
de l'EPFL. Dans la dernière partie de ce
cours, j'aimerais faire une introduction à la théorie de la relativité.
Je vois deux raisons principales pour avoir des notions de relativité.
D'abord c'est une théorie dont
on a tous entendu parler et dans le cadre d'une formation
polytechnique il serait bon de savoir exactement de quoi il s'agit.
D'autre part, il y a des résultats de la relativité
qui ont un impact direct sur les développements de la
technologie moderne, notamment, lorsqu'on veut faire un GPS de haute
résolution, on doit tenir compte des faits décrits par la
cinématique relativiste.
Un ingénieur devrait aussi connaître quelques
rudiments de la dynamique relativiste, il doit
par exemple pouvoir calculer l'énergie libérée
par la fission ou la fusion nucléaire.
Dans cette leçon, on va voir le principe de la relativité.
D'abord, on verra comment Galilée l'a exprimé.
Et ensuite comment
Einstein a étendu ce principe. On verra enfin la question de
transformation de coordonnées qui soit compatible avec le principe de relativité.
Je commence avec le principe de relativité classique, celui de Galilée.
Et je rappelle ici une formule très longue qu'on avait obtenue
donnant l'accélération d'un point matériel P par rapport
à un référentiel dit absolu en fonction de l'accélération relative à un référentiel
qui est caractérisé par son mouvement par rapport au référentiel absolu.
On avait donné l'accélération d'un point A du référentiel relatif et
le vecteur vitesse angulaire oméga décrivant
l'orientation du référentiel relatif par rapport
au référentiel absolu.
Et maintenant, je considère la situation où les deux référentiels
sont en translation l'un à par, l'un par rapport à l'autre.
On a donc l'oméga qui est nul.
De plus, je considère une translation uniforme d'un référentiel
par rapport à l'autre, on a donc l'accélération du point A qui est
nulle, et qu'est-ce qu'il reste de cette grand formule?
Il reste que l'accélération du point P est la même dans
tous les référentiels en translation uniforme l'un par rapport à l'autre.
Ce résultat-là Galilée en avait connaissance.
Et il a formulé le principe de relativité que voici:
on a les mêmes lois du mouvement et les mêmes forces
pour tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux autres.
Galilée donnait un excellent exemple de ce
qu'il entendait par ce principe de relativité.
Il imagine qu'on a un bol rempli de mouches.
Et on prend ce bol à bord d'un bateau, on va au
fond de cale, là où on ne peut pas voir la côte.
Eh bien, Galilée dit, quand le bateau est à vitesse
constante par rapport au rivage, en regardant le comportement des mouches
dans le bol, on ne peut pas dire si le bateau bouge ou pas.
Tel est le principe de relativité de Galilée.
Bien sûr, on a vu en mécanique
la loi de Newton sur les référentiels d'inertie, on va donc travailler avec des
référentiels d'inertie, c'est-à-dire des lou, des vais,
des référentiels où la loi d'inertie est vérifiée.
Vous remarquerez que cette vérification peut être faite localement
dans le référentiel dans lequel on fait nos observations.
C'est un point de nuance mais ici on est tout
en nuances parce que on est en train
de, d'opérer une révolution conceptuelle de la mécanique,
et on doit faire très attention à tous
les termes qu'on introduit et les concepts qu'on utilise.
On va se débarrasser de tous les effets gravitationnels.
Si on veut étudier la théorie de la gravitation,
alors il faut faire la théorie de la relativité générale.
On veut supprimer les effets gravitationnels, pour
ce faire, on va considérer des référentiels
qui sont, euh, en quelque sorte en chute libre dans le champ de la gravitation.
Je vous montre maintenant pourquoi.
On va supposer dans la notation de tout à l'heure que l'accélération
du point A est donnée par le g qui caractérise le champ gravitationnel.
Alors on a la chose suivante, on applique la deuxième loi de
Newton pour l'accélération absolue du point P, qui est la somme de
l'accélération du point A et de l'accélération relative du point P, et on
a deux forces: m g, la gravitation, plus les autres forces.
Maintenant, si on a pour, on a
un référentiel en chute libre, et que l'accélération
absolue du point A c'est g, le terme en
m g s'annule, et pour le référentiel dans lequel on
aimerait travailler qui est en chute libre, on a ma
égal toutes les forces sauf la force de la gravitation.
C'est ce qu'on voulait.
Maintenant Einstein reprend le principe
de relativité de Galilée et il dit: Le principe de relativité doit être vrai
pour toutes les lois physiques. Pas simplement pour les lois de la
mécanique mais aussi pour les lois, notamment, de la, de l'électro-magnétisme.
Il dit aussi que les constantes physiques telles que la
vitesse de la lumière ou la charge de l'électron doivent être indépendantes du
référentiel d'inertie qu'on choisit.
Regardons maintenant de quoi a l'air une
transformation de coordonnées lorsque on travaille classiquement.
On a donc deux référentiels caractérisés
par des systèmes de coordonnées comme ceux-ci.
Vous avez un référentiel x y z, et un autre x prime, y prime, z
prime, qui se déplace à la vitesse v par rapport au référentiel
x y z. Et on demande quelles sont les relations
entre les coordonnées. Alors, les voici, c'est
assez simple. Si on a un point
matériel ici, là on a x
prime, là, on a v fois
t; v c'est la vitesse d'un référentiel par rapport à l'autre.
Et on a donc x prime qui vaut x; x c'est cette distance-là, moins vt.
Et dans les directions perpendiculaires il ne se passe rien.
Maintenant, à la fin du dix-neuvième
siècle, deux scientifiques, Lorentz et Poincaré,
se demandent, quelle est la transformation
de coordonnées, les coordonnées étant liées
à deux référentiels, quelle est la
transformation de coordonnées qui va laisser
les lois de l'électro-dynamique de la même forme, afin de satisfaire au principe
de relativité.
Donc même situation, on a deux systèmes de coordonnées liées à deux référentiels
et ces auteurs obtiennent le résultat suivant, que je donne ici.
Et vous voyez, il y a d'abord une très grande
surprise, c'est que on introduit des temps associés aux référentiels.
On a des temps t prime et t qui sont distincts,
et la formule qu'on avait tout à l'heure, x prime égal x moins v t
est modifiée par ce terme racine de un moins v carré sur c carré.
Et pour le temps, il y a aussi une expression non triviale, comme ceci.
Alors, la physique a un problème.
Parce que lorsqu'on fait de la mécanique, on
a l'habitude de travailler avec les transformations de Galilée,
et voilà que pour l'électro-dynamique, il
faudrait utiliser une autre transformation de coordonnées.
Alors c'est dans l'article signé par Einstein en 1905 que on voit
qu'un raisonnement mécaniste permet d'aboutir à ces formules-là.
Et ça, on le verra dans la prochaine leçon.
Explore our Catalog
Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.
Coursera provides universal access to the world’s best education,
partnering with top universities and organizations to offer courses online.
© 2018 Coursera Inc. All rights reserved.
