Cette équation de Hill est une équation linéaire.
Ici, linéaire veut dire la chose suivante.
Si x un est une solution de l'équation de Hill, et x deux aussi, alors
toute combinaison linéaire de x un et de x deux est aussi une solution.
On peut le vérifier aisément si on calcule la dérivée deuxième de x.
On peut l'écrire immédiatement en terme de dérivée deuxième de x un et de x deux.
On substitue l'équation de Hill, enfin le résultat de l'équation de Hill.
On regroupe les termes, et on voit bien apparaître un terme moins G fois x,
donc c'est dire que l'équation x est bien solution elle aussi
de l'équation de Hill.
Maintenant, je vais définir une base appelée standard.
C'est, il s'agit ici d'une base de
deux solutions linéairement indépendantes, comme on va
le voir, qui, qui ont, qui vont jouer un rôle spécial dans notre description.
La première fonction e un de t, solution de cette
équation de Hill a cette propriété-là au temps t égale zéro.
On a une amplitude non nulle x zéro et une vitesse nulle.
Pour la deuxième, je vais prendre une condition initiale qui est que la
position, l'amplitude est nulle, et la vitesse vaut v zéro, non nulle.
Maintenant, je vais vous convaincre que
ces deux solutions sont linéairement indépendantes.
Ça vaut dire quoi pratiquement qu'elles sont linéairement indépendantes?
Eh bien ça veut dire par exemple, ceci : si je prends une combinaison
linéaire de e un et de e deux, et que il
se trouve que cette combinaison-là est proportionnelle à e un, ça veut
dire nécessairement, si les deux solutions
sont linéairement indépendantes, ça veut dire nécessairement
que le b doit être nul.
Et à ce moment-là, c vaut un.
Explicitons cela.
D'abord, si j'ai cette équation-là, j'ai aussi, pour les dérivées par rapport au
temps, une équation comme ceci, avec les
dérivées par rapport au temps des fonctions.
Maintenant, je vais écrire ce système d'équation-là de façon matricielle.
Le voici.
Et maintenant, je peux regrouper les termes et l'écrire ainsi.
Maintenant, si cette matrice-là
est invertible, alors j'aurai un moins c
et b qui vaut cette, la matrice inverse fois le zéro.
Et on sait que cette matrice est invertible si son
déterminant est non nul, donc il faut se préoccuper du déterminant.
Alors par chance, une propriété de ce déterminant,
c'est que ça, il est indépendant du temps.
Donc, on va pouvoir le calculer, notamment en prenant les valeurs à t égale zéro.
Prouvons d'abord que ce déterminant est indépendant du temps.
Alors, ici je calcule la dérivée par rapport au temps de W.
W qu'on appelle wronskien a un terme en e un, e deux point.
Donc la dérivée par rapport au temps va faire apparaître
un e un point, e deux point, c'est ce terme-là.
Un e un, e deux point point, il est là, moins e un point point e deux,
il est là, et encore moins e un, e deux point, il est là.
Ces deux termes s'annulent.
Il me reste ce terme-là.
Mais celui-là, je peux l'écrire e un avec moins G fois e
deux, et ce terme-là, je peux l'écrire
plus e un fois G, fois e deux.
Et donc, ces deux termes s'annulent.
On a bien que la dérivée par rapport au
temps de W est nulle, donc W est une constante.
Je peux la calculer à t égale zéro, c'est ce terme fois ce terme moins celui-là.
Donc, W vaut x zéro, v zéro.
Et on a choisi des solutions non triviales, donc
x zéro et v zéro, les deux sont non nuls, et donc le W, il est différent de zéro.
Par conséquent, il faut que un moins c soit nul,
et b égale zéro, c'est ce que qu'on avait exprimé ici.
Donc, e un et e deux sont des solutions linéairement indépendantes.
Je vais maintenant définir l'espace vectoriel des solutions.
Je le fais de la manière suivante.
Si x de t est une solution, alors je peux écrire x de t comme une
combinaison linéaire des deux fonctions e un et e deux, c'est ce que j'ai écrit ici.
Maintenant, mon espace vectoriel, je vais l'écrire comme un espace
à deux dimensions où les vecteurs ont les composantes a et b.
Et tous ces vecteurs de type a et b représentent des combinaisons
linéaires de e un et de e deux, donc des solutions de notre problème.
Maintenant, je vais démontrer une propriété qui est la suivante.
Si x de t est une solution, alors si on translate
la solution d'un temps tau, je vous rappelle que tau, c'est
la période de la fonction G de t qui définit notre
problème, alors, x de t plus tau est aussi une solution.
Procédons à la démonstration.
Je considère t prime qui vaut t plus tau.
Je considère x comme une fonction de t prime, et t prime est une fonction de t.
J'applique la règle de dérivation en chaîne, donc d de x sur dt,
c'est d de x sur d t prime, fois la dérivée de t prime par rapport à t.
Ça, ça vaut un.
Donc on a la dérivée dx sur dt qui vaut dx sur d t prime.
Bien sûr, pour la dérivée seconde, on a la même propriété.
Maintenant, je considère cette foncti, cette équation du mouvement,
et je la réécris explicitement comme ceci pour que x soit clairement une fonction
de t, G une fonction de t, x fonction de t
ici, et maintenant je vais exprimer cette fonction à un autre temps.
Ça c'est vrai pour tout temps, je vais exprimer ça au temps t plus tau.
Ça me donne explicitement cette équation-là.
Maintenant, quand on dérive par rapport à t ou à t plus tau, on a la même chose.
Donc ce terme-là, je peux le simplifier, comme ceci.
Le G de t plus tau, à cause de la périodicité de G, ça veut G de t.
Et je garde le x de t plus tau.
Qu'est-ce que cette équation-là me dit?
Elle me dit que cette fonction-là, x de t
plus tau, est une solution de l'équation dite de Hill.
Donc j'ai démontré ce que je voulais.
Alors maintenant, je vais faire quelque chose qui me permet de
calculer une solution à un temps avancé en fonction d'un temps précédent.
Vous allez voir comment ça fonctionne et
comment ça peut se faire de façon matricielle.
J'ai x de t qui est une solution.
Je le projette, sur e un et e deux.
Et maintenant je considère la fonction translatée de tau.
Je sais que c'est une fonction qui est solution aussi, je viens de le montrer.
Alors je la projette sur ma base standard, e un de t, e deux de t.