課程介紹與教學目標 (About the course) 房屋為我們遮風避雨，讓我們安心工作、生活，而結構系統又是房屋的骨幹，讓房屋能站的又高、又直、又穩。你知道橫者為梁，直者為柱，但你知道在結構工程師的眼中，梁與柱有什麼其他的不同嗎？他們其中藏著什麼秘密，能支撐起整個結構？工程師要怎麼決定梁該有多深？柱該有多粗？該用矩形、圓形還是其他形狀？該用實心還是空心？在有地震的地方，設計上是否又有不一樣的考量？ 材料力學是通往上述問題解答關鍵的一步。在材料力學(一)裡，我們會由大家熟知的虎克定律開始，以蓋房子的重要材料「結構鋼」為例，深入探討「力量」與「變形」這兩個令結構工程師愛恨交加的物理量之間的關係。然後依序探討結構桿件受軸力（拉/壓）、受扭、受彎、受剪四大外力作用下，會在桿件內部產生怎樣的相對應變形與受力，並探討建築結構設計概念與提供桿件設計演算範例。 本課程是希望精通「鋼筋混凝土設計」、「鋼結構設計」、「木構造設計」者必備的先修課程，也為對「彈性力學」有興趣者，提供許多基礎知識與這些知識如何實際應用於工程設計。 主要授課對象為土木、建築相關從業人員與在學學生，其他包括工學院各科系同學或對材料力學有興趣的人士，也歡迎選修。 授課形式 (Course format) 本堂課將以影片的形式為主, 搭配課後作業及期末報告的形式來進行。 修課背景要求 (Recommended background) 靜力學 ( Statics )
5-2 梁受彎的應變與應力
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From the course by National Taiwan University
材料力學一 (Mechanics of Materials I)
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梁受彎矩作用之內力
學習目標：1. 了解梁受彎矩作用形成的應力與應變。 2. 能進行梁的抗彎設計。
Meet the Instructors
黃尹男 Yin-Nan Huang副教授 (Associate Professor)
土木工程學系 (Civil Engineering)
剛剛我們介紹了，如果一根樑它受彎了之後呢 什麼叫做曲率，然後它的正負是怎麼定義的。
然後呢，接下來呢我們要繼續來講，因為今天這個 禮拜最重要的重點就是希望大家知道，當一根樑受彎之後
它內部的材料所受到的應力跟應變到底是長什麼樣子。
好，那，嗯，我們還是一樣用這樣子的一根 pure
bending的樑，好，在這個case它是一個簡支樑來做一個解釋。
那如果當它從，嗯， 如果呢我們把它取一小段下來，
Ok，好，那這一小段呢這個長度是dx， 就是大家可以在這邊看到這個dx。
好，那，嗯，我們也先解釋一下這個 就剛剛已經看過的這個x、
y、 z，如果你從把它切開然後 從這個x軸這樣看過去的話，你會看到這樣的一個對折y軸
對稱的一個斷面，那這是我們一開始就設定的一個狀況。
然後呢，大家可以感受它一下呵，就是我一根樑，你把它
你把它扭，嗯，受撓曲這樣子，你把它，嗯，彎矩作用Pure Bending的情況，上面
如果是正彎矩的話上面是不是會有感覺是要被壓縮？然後下面的，
下面的這個材料呢就會感覺會被拉長？那既然上面是壓縮，下面是拉長，
大家不難想像在中間某個地方呢，就會有一個過渡的地方是沒有被伸長也沒有被縮短的。
Ok？所以你想像你是裡面一根一根的纖維其中一個， 你會在某一地方呢是沒有被伸長也沒有被縮短的。
那那一個地方呢，就是我們先把我們這個x軸放在那邊， 從那邊當作我們y的y=0的一個起點。
所以呢，嗯，ef這一條 線呢它就是從那個不被伸長也不被縮短的
一根纖維那邊往上算，它的位置是上去多少。
Ok？好，那當它受彎之後它被拗成這樣子的一個樣子，
Ok，所以當然可以看一下就是，嗯，因為我們就是想要知道說
樑受彎之後它裡面的，嗯，纖維材料，嗯，它的一個受
力還有受變形的一個應力、 應變的狀況。
那既然要看應變的話，我們就是要 嗯，變形之後的長度減掉變形之前的
長度，再除以一個變形之前的長度這樣來找應變，對不對？ 好，那我們，嗯，我們可以來看一下ef這一條。
這一條線，它原本還沒有受力支變形之前的長度是dx，對不對？
那現在變成多少呢？現在它這個東西的一個長度
大家是不是可以從這個，嗯，這兩個
嗯，曲率半徑焦點的那個地方，去乘上從那個焦點到 e
點這一段的半徑，把這一段的半徑乘上這個 dθ就會是這一段之後的，嗯，變形之後的長度。
對不對？所以如果我們把變形之後的長度叫做L1， 那它就是要用，嗯，從這個我們講的這個兩條
嗯，曲率半徑的焦點這個o點到e點的距離，那就是 原本到這一個不伸長、
不縮短的這一個曲率半徑， 好，這個曲率半徑扣掉這個y值，就是這一段的
長度，這一段長度再乘上dθ就是它現在變形之後的一個長度，我們把它叫做L1。
Ok，好，那 大家感受一下這個ρ呵，它為什麼不直接用ρ乘上dθ？因為
ρ就是我們上一節在講的時候，就是你變形之後那個ρ乘上 dθ會等於dx。
然後，跟這個dx是 差不多近似的那個長度，所以你算，你如果直接用ρ乘上dθ你算到的會是這一段；
而不是這一段，Ok？所以，對於這一段你還要把它一個y把它扣掉。
好，那我們已經有了L1了，那再來就是要把
ef在還沒有受力的之前的原長把它減掉，那還沒有受力之前的原長我們知道就是dx，- 對不對？
然後再除以dx，就是ef那一段它的 應變。
好，所以這邊L0呢就是dx，所以我們就是
嗯，把這一段整個減掉dx，所以這個東西就不見了。
然後再除以一個dx所以這個也不見了，所以，原來這個ef它的應變呢就會變成 -y除以ρ。
然後，大家知道ρ/1就是curvature，所以 原來這個
ε(x)的它的一個 應變就是負的curvature乘上y值。
大家來看一下這個負值代表的是什麼意思？ 好，如果今天是一個正的curvature，大家還知道
正的curvature代表什麼呢？代表它是一個嘴角往上翹的一個狀況，對不對？ 代表它是嘴角往上翹的狀況。
然後，如果這個時候你的y又是正的， 那根據這條公式告訴你，就是你的 嗯，應變應該要是負的。
是不是真的這樣子？當你是一個嘴角往上翹，然後y又是正的，
表示你是在，嗯，比較偏上面的一點的地方，在那個不伸長又不縮短的那條線的上面，因為y- 是正的嘛！
所以，在那邊本來就是一個被往裡壓的一個狀況，所以應變是負的這是是合理的。
那如果你的y是負的curvature又是正的， 那這時候你的ε根據這條公式告訴你，它會是一個正的情況。
對不對？所以，果然因為你是在那個不伸長、 不縮短的下方，所以你是被拉長的。
好，所以我們，從這邊我們就可以知道說 不但我們知道了就是，嗯，這個受彎之後就是
嗯，它每一個這個斷面這個上面每一點地方它的一個
應變的一個情況，那這邊我們其實又用了兩個很重要的一個假設；
第一個就是，嗯，它是平面保持平面的，這個，這個假設 非常的重要。
Ok，好，平面保持平面，因為假如說我這樣一彎之後 它這個，這條線呢原本因為還沒有彎之前它是，
還沒有彎之前呢它是一個直的狀況，對不對？
然後彎的時候它還是一個直的狀況，我們才可以這樣子做這些推導。
否則的話就是這邊，它如果彎的之後它整個都是歪七扭八的，那這一個東西當然就 不成立了。
所以，這是一個很重要的一個假設。
那另外一個假設就還是一樣，這是一個小變形的情況。
Ok，所以這個是我們要切記的。
有沒有什麼東西 嗯，它是平面不保持平面的？有！那這個我們之後會再解釋。
好，講完了，嗯，應變的情況之後，
我們就要來，我們其實很想看到的就是裡面的每一個材料它所受到的應力的一個情況。
那這時候我們又引進另外一個非常重要的假設就是 我們假設這整個東西都是維持一個線彈性的情況。
那如果它是一個線彈性的情況的話呢，我們就能可以用虎克定律
來，因為應變已經知道了嘛！我們只要把它乘上它的 E值那我們就可以知道。
因為這邊是一個我們講是正向應變， 那我們只要把它乘上一個E值我們就可以得到它的材料受到
的應力，Ok？所以，應力呢它就是 E乘上
εx，然後就是一個-EKy的情況。
所以，在這邊我們可以很清楚地看到 從那個不伸長也不縮短的情況，那個地方呢
那個樑在那個地方它是受彎的時候它是不受力的。
但是從它往上的地方，如果是正彎矩的一個情況， 從它往上的呢那些材料都會受到一個
壓的正向應力；在它下面就會一個拉的正向應力；
而且是跟那個軸的這個y坐標、 y距離呢 嗯，成正比。
Ok，所以這個線是直的。
Ok，這個線是直的，然後這個線是直的。
那這當然就是因為我們講的小變形的假設、 平面保持平面的假設還有一個線彈性的假設
這邊才會成立的，Ok？好。
嗯，這個斷面
它必須要符合力平衡，它上面的受力必須要符合力平衡，所以
大家還記得我們講的是一個什麼樣的情況嗎？ 我們現在講的是一個Pure
Bending的情況，所以呢如果是一個 Pure Bending的一個情況，我如果給它切開來看
這個斷面呢，這個斷面上面 所有的受力我現在已經知道了，這邊應力
中間是越來越小，往中間越來越，應力往下面越來越大 這些東西因為我如果把這個應力
把它再乘上它所作用的這個斷面上面的一小塊面積，就是作用在那個上面的
可以，切開來你會看到的一個力量，那因為 這個，我如果把全部這些力量全部把它加總起來
它應該跟這個斷面所受到的這個軸向的力量是要一樣的
但是因為我們今天看的這個情況，它在軸向是沒有受到任何力量的
所以當我把這個積分把它完成的時候，它必須要為0 它必須要為0，這種情況跟
我們先前講的如果有一根杆件，我兩邊用P的力量在拉 然後我把它切開之後會看到什麼樣子，我會看到
它的這個應力呢都是一個拉應力，而且這個
拉應力的大小是P除以A，對不對，所以這種情況 我如果把它積分起來我會得到這個P
就跟我切開之後我看到這個內部的 內力的大小是一樣的，那今天我們看的是P
of bending的情況，所以我切開之後我沒有看到任何軸力
所以就代表說當我做這個積分的時候，積起來它全部必須為0 我看到，我切開之後我看到的是什麼？
這個東西我切開之後我看到的會是一個 因為這邊有彎矩對不對？
所以我內部看到的是一個一樣大的一個這樣的一個正彎矩，所以意思就是說當我把這些
應力，它相對的關係，距離的關係啊，跟面積這樣子一起
弄之後，我整個看到應該是要彎矩而沒有任何軸力
而且這個彎矩的大小就是跟你旁邊加的這個是一樣的
好，那我們首先看這個沒有軸力的這個部分會告訴我們什麼結論
我們把這個σx用Eε代進去 ε就是minus
ky，這樣也代進去，所以我會得到 這個時候因為這整個要為0，所以E是constant，然後對於這個斷面
來講這個位置，一個位置它平面保持平面，所以那一個切面只會有一個curvature
所以這個curvature也不會因為你在這個斷面的什麼地方而改變，所以我的E、 k都是constant
所以意思是什麼？我因為斷面的力平衡 summation F(x)=0這件事情告訴我你
在這種情況之下，你的ydA對你整個斷面積分一定要為0 大家還記得我們這個y是從哪裡定義的嗎？
我們y是從那個不伸長又不縮短的地方定義的 如果你的y是從那個不伸長又不縮短的地方定義
那，那個地方一定會導致 力平衡的結果一定會導致這個現象，這個現象告訴我們什麼？
大家還記不記得，形心是怎麼定義的？ 如果我要求這個斷面的形心，okay？
好，假如 我要求這個斷面的形心，假如我現在有另外一個新的軸
好，叫它y'好了，okay，然後y'的0是在這邊
然後假如我的形心是在這個地方，yc 好，大家記不記得這個yc的定義是什麼？
yc的定義就會是，底下是全部的面積，對不對？
然後上面呢就是我們的y'dA
還記不記得，就是這個樣子，對不對？然後呢，你就會 你就會求出形心的位置就是在這個高度
yc，okay。
好，那 今天呢如果，如果我剛好把這一個
原點，這個y'的原點定在那個不伸長也不縮短的地方 那請問我這條式子寫出來
會變成什麼樣子，那個時候因為我就完全跟這個座標系統是重疊的，所以我就不用寫'
我寫出來這個yc呢就必須要在這個ydA然後這樣子的一個地方
好，所以這個時候這個值算出來的就是我的
那個形心的位置，但是根據我們這一個
力平衡，我們知道這個值，如果你把這一點抓到這邊的時候，這個值剛好是等於0啊
所以意思就是說在這一個座標系統下，形心的位置的y座標是0
意思是什麼，就是你那個不伸長也不縮短的軸就一定剛好就會落在形心
Okay，好，所以這個就是一個很重要的結論
就是這個是，這個斷面的力平衡來告訴我們的
接下來我們來看另外一件事情，就是我們剛講的 因為在這樣子的一個情況之下，我們如果切開
好，這邊M0，這邊M0 我這邊看到的這個內部的一個
合力，就是合力矩的狀況切開看到的就是M0，但是我現在切開我看到的
根據我們剛剛的推導，我們看到的應該就是 像這樣子的一個應力，對不對？
中間比較小，我們看到的是這樣的應力狀況，這些呢我如果全部
把每小塊這樣子在這上面的 這個面積把它乘上它的σx
就是作用在那一小塊上面的力量，再乘上它對我們的 不伸長與不缩短的那個地方，就是乘上它的y座標
它就會對那個軸會形成，不伸長也不缩短那個軸會形成一個力矩 那我們如果把每一塊面積上面的力量，對這個軸
形成的力矩全部都把它積分起來的話 它就是要等於我們看到的這整體的這個M0
對不對，就是要等於我們上個禮拜學的 在那個斷面我們所畫出來的那一個彎矩圖的彎矩值
就要這個狀況，所以我們來看如果這個切開，這邊的彎矩值是M的話
那它就必須要等於這個dM 全部對每一個地方把它積分起來，這個dM沒有等於z的，對不對？
然後我們再把σx等於那個負的
Eky把它代進來，所以我們就會看到是這個樣子 E是constant，curvature是constant，把它移出來
然後剩下的就是一個，這一個
y平方dA，然後對整個A斷面積分，這個Q先把它忽略
所以呢它就會有一個這樣的關係，那curvature等於ρ分之一
對不對，好，所以你就會得到這樣一個curvature跟moment的關係，所以
因為這根梁上面，我的E跟I基本上如果是一個constant的話，那
你就可以得到一個moment跟curvature之間的一個關係 我們如果把下面這一條式子再
把它稍微變換一下 大家有沒有發覺這個東西
這個東西跟什麼很像呢，這個東西又跟我們以前講的虎克定律其實是很像的
好，這個是一個力量，這個是一個好像變形的東西，然後這邊好像是一個類似勁度的東西
所以呢這邊就是我們平常看斷面的時候 它所受到的這個moment的大小其實跟它的這個curvature
是有關係的，那curvature是轉角對 x的一次微分，而不是轉角本身，但是它就好像一個轉動的一個
一個變化率一樣，所以你如果彎矩越大的話，那個地方它想要被
轉的那個趨勢就會比較嚴重一點
好，所以我們 得了這樣兩個關係呢，我們就可以更進一步地
把這個M跟我們的這個斷面的 材料所受到的應力把它連結在一起
Okay，所以我們把這兩個 式子裏面的E跟k，因為都有了就把它消掉
然後呢我們就會得出這樣子的一個關係 我們再仔細來看一下這個關係
負號的意義是什麼？大家說的出來嗎？ 如果我今天有一根梁，我是受正彎矩
我是受正彎矩，我的M是正的，然後呢我的y也 是正的，就是我在那個不伸長也不縮短的軸的上方
請問它是受壓縮還是受拉長？它是受壓縮，對不對，所以它的應力應該是負的
所以根據這個式子，這個負號 是完全正確的，因為我的M正，y正的時候，我的σ就是負的
Okay，還有就是我們做哪些假設，這個是非常重要，大家一定要記住的
我們在講的都是小變形，都是平面保持平面 都是線彈性的狀況。
然後我們剛剛 有提到，就是整個斷面裏面有一個不伸長與不縮短的軸
那這個軸呢，就是我們給它一個名字叫做neutral axis，它既然
不被伸長也不被縮短，所以它就是一個中性的，或有人把它翻譯成中立的
那個軸就是我們所謂的中性軸或中立軸，neutral axis
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