Пятая задача.
Итак, у нас есть 40 книг, которые стоят на книжной полке.
Вот такие книжечки.
В задаче 2 пункта.
Первый пункт.
Сколько есть перестановок
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ
НА ДОСКЕ] таких, что 3 тома Пушкина,
которые находятся среди этих 40 книг, они расположены в правильном порядке.
То есть сначала идет 1-й том, потом 2-й, потом 3-й.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Давайте
посмотрим, давайте я скажу 2 решения.
1-е решение.
Давайте сначала выберем места для этих 3-х томов.
Значит, мы хотим выбрать 3 места из 40.
Выбрать 3 места из 40 сколько это будет способов?
Надо выбрать 3 сочетания из 40, то есть С из 40 по 3.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Дальше мы на эти
места поставим на 1-е место – 1-й том Пушкина, на 2-е –
2-й том Пушкина, и на 3-е – 3-й том Пушкина.
А на оставшиеся места, которых 37, мы поставим остальные книги.
Так как их можно переставлять любым способом, то всего перестановок будет 37!.
Таким образом, мы получим,
что искомое количество перестановок – это C из 40 по 3 умножить на 37!.
Давайте 2-й способ.
Всего перестановок книг из исходных 40 книг
– Их 40!
Давайте зафиксируем остальные книги и посмотрим,
как могут располагаться тома Пушкина относительно друг друга.
Если мы зафиксировали все книги, кроме этих 3,
а эти 3 представили иным
способом, то их можно переставить ровно 6-ю способами.
3! перестановок.
И поставить, например, 2-ю книгу на 1-е место,
или 3-ю книгу на 1-е место.
Их можно выписать, их будет 6 вариантов.
Но все остальные книги остались на месте.
Для любых перестановок остальных книг у нас из 6-ти таких вариантов годится только
1, а именно тот, когда 1-й том стоит слева, 2-й том посередине, 3-й том справа.
Это значит, что надо общее количество перестановок разделить на повторы,
то есть на 3!
вариантов, когда у
нас книги Пушкина меняются местами.
Видно, что это одно и то же число,
потому что если мы посмотрим на формулу C из 40 по 3, то это будет 40!
/ 3!
* 37!
и все это умножить на 37!.
Соответственно, 37!
сокращаются.
Остается то же самое число.
Так, пункт a сделали.
Теперь пункт b.
Мы хотим посчитать, сколько провести перестановки,
у которых 3 тома Пушкина все еще идут в правильном порядке,
но при этом никакие 2 тома друг к другу не примыкают.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] То есть
мы запрещаем такие ситуации,
когда 1-й и 2-й том стоят рядом,
2-й и 3-й том стоят рядом, и когда они все вместе стоят рядом.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Тут тоже есть 2 решения.
Давайте, я их оба расскажу.
Более простой вариант такой: мы расставим остальные книги,
кроме томов Пушкина, это будет 37!
перестановок, [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] а тома Пушкина
ставим в промежутке между этими книгами.
Значит, можно их поставить в любое место –
либо в самом начале, либо в самом конце, либо между книжками.
То есть мы выбираем из этих мест 3 места и ставим на
самое левое 1-й том, на 2-е – 2-й том, на 3-е – 3-й том.
И тогда это будут ровно те перестановки, когда эти тома друг к другу не примыкают.
Здесь у нас есть всего 38 промежутков, соответственно,
мы должны выбрать из них 3.
Таким образом, ответы
будут C из 38 по 3 * 37!.
Теперь 2-е решение.
Давайте посчитаем в лоб, что это значит.
Мы посчитали, сколько перестановок есть всего,
когда 3 тома Пушкина находятся в правильном порядке.
Это будет 40!
/ 3.
Давайте из них вычтем плохие.
Какие у нас есть плохие варианты?
У нас есть варианты, когда 1-й и 2-й том стоят рядом.
Есть варианты, когда 2-й
и 3-й тома стоят рядом.
А есть варианты, в которых и 1-й, и 2-й стоят рядом, и 2-й, и 3-й стоят рядом.
И когда мы будет считать вот эти варианты,
мы 2 раза посчитали когда 1, 2, 3 тома стоят рядом.
Поэтому мы должны вычесть вот эти 2 слагаемых, и потом прибавить
те варианты, когда все 3 тома стоят вместе.
Надо вычислить вот эти 3 слагаемых.
Давайте, я здесь аккуратно постараюсь это все вычислить.
Например, случай, когда 1-й и 2-й тома Пушкина стоят рядом.
Что изменилось по сравнению с предыдущей задачей?
Теперь у нас есть не 3 тома Пушкина, а 2.
У нас один том сдвоенный.
И мы можем рассматривать его как единое целое.
Таким образом, у нас есть 39 книг, и мы хотим их
расставить так, чтобы 1-й и 2-й тома
стояли вместе слева, а 3-й том стоял справа.
Вот здесь стоят тома 1-й и 2-й.
А вот здесь стоит 3-й том.
И по аналогии с предыдущей задачей мы можем также посчитать – у нас
39 книг – из них мы хотим их оставить так, чтобы 2 шли в правильном порядке,
поэтому это будет ровно 39!
/ 2!
Соответственно, здесь будет 39!
/ 2!.
Когда 2-й и 3-й тома стоят рядом, это ровно такое же количество,
потому что как опять же мы склеили 2-й и 3-й тома,
но 1-й том стоит отдельно, снова мы смотрим, сколько есть перестановок,
когда эти тома стоят в правильном порядке, и здесь тоже будет 39!
/ 2!
И теперь еще надо отдельно посчитать, Когда все 3 тома стоят рядом, вместе.
Ну теперь-то у нас совсем все просто.
У нас есть один неделимый трехтомник.
И теперь мы делаем то же самое.
У нас есть 38 книг, из которых 37 нормальных,
и один такой трехтомник, и мы их просто расставляем в любом порядке.
Таких перестановок будет ровно 38!.
И, значит, здесь мы запишем 38!.
Таким образом, мы получили вот такую сумму,
и можно проверить, что вот эти 2 числа одинаковы,
то есть если мы все приведем к общему виду, получим ровно это число.
Вот это тоже правильный ответ.
Все.