那麼呢,我們最後來講講最後一個例子, 就是所謂的 Cournot competition with different costs。
換句話說,就是我們剛剛有一個 Cournot competition,兩家公司決定生產量嘛,那我們
剛剛是說他們的生產成本是一樣的,那麼我們現在來看看如果他們的成本不一樣,
那會對我們帶來什麼分析上的困難,以及程式能怎麼樣地幫上我們 的忙。
那麼我們剛剛就已經介紹過了,在剛剛的例子裡面 我們如果是
identical costs,那我們用過兩種方法 來求 equilibrium,我可以用
numerical 的方法,用數值的方法 來寫程式,然後呢我就隨便從一個點出發,它們會一步一步一步地趨向
均衡,因為它們每一次,我知道它們都會把點移動到自己的 best response 上面。
然後我們就移動移動移動,最後呢就會趨向交叉點。
Analytically 的話其實是一樣,就是我早就知道 它們要在交叉點上了,所以我們就直接解那兩條
best response function 的聯立方程式,
那麼就搞定了,這樣子,所以這兩個方法都是 ok 的。
第二個 方法很多的時候是既簡單,又比較有資訊量。
比如說我們剛剛 如果我們今天 a 跟 c 不知道是多少的話,
只知道它是符號 a 跟 c,那你其實 numerically 是不太知道怎麼辦的,因為你一定要有數字
代進去,才能夠移動移動移動,畫圖畫圖畫圖,對吧?但如果是代數直接解的話, 它不會影響
analytical solution 的求解,我們一樣可以做得出來。
而且這樣的解它還有所謂的 managerial insights 或是 implication
或是 economic 的 intuition,什麼意思呢?這個解其實有一些知識在裡面的。
它告訴我們說啊,兩家公司在競爭,然後呢最終會有一個均衡解,
這個均衡解底下,如果大家願意 買的價格更高,那麼大家就會多生產一些。
如果今天成本變高,兩家公司就會一起少做一些,那當然就是廢話啦,不過
如果我們今天對這麼簡單的模型能夠有這樣的 implication
的話, 那麼更複雜的模型當然也可以從中得到一些 知識或是 implication,那這樣當然是很好的。
相較之下呢,它雖然有優點,但也有缺點,就是有些時候這樣子 美好、
漂亮、 精美的 analytical solution 是得不到的,它要么是完全不可能, 不然就是很困難。
那麼這個時候有 numerical solution 就可以幫上很多的忙,那事實上呢
在做研究或者是在做這個 study 的時候,不管你是學界還是業界其實都一樣,
問題如果夠真實的話,很多時候那個模型是很複雜的,你就沒有辦法像剛剛
那麼簡單的模型可以簡簡單單地拿個兩條式子來聯立方程組馬上就得到漂亮的解答, 很多時候
analytical solution 就是辦不到,那所以 numerical solution 就會在這個時候成為你的解藥。
所以我們來看一下,different costs 是一個例子。
我們今天一樣是 Cournot competition,但 production costs 變成 c1 跟 c2,它們 可能會不同。
那這樣的話,firm 1 的 profit function 就從剛剛的這樣的式子
變成什麼呢?減 c 變成減 c1,就是我的成本現在是 c1,不是 c 啦。
firm 2 的話一樣,跟剛剛講的幾乎是一模一樣,只是減成本的地方變成減 c2,我的成本。
ok,到目前為止都可以接受,那下一步呢?下一步照剛剛的規則 是我們要去求我們的這個
best response,好,那我們試試看。
以 firm 1 來說啊,它的 best response 長得跟剛剛有點像,但好像變複雜了,
先看這上面這個,(a-q2-c)/2 是
ok 的,那因為 c 變成 c1,當然這個時候就要減 c1,這個就沒問題。
但是呢你忽然發現我們這裡寫的比較複雜,我們有一個但書,這個但書是 a-q2
-c1 要大於 0 的時候我們的 q1* 才是長這個樣子。
仔細一想,沒錯啊,因為如果 a-q2-c1
比 0 小, 這不是不可能嘛,因為搞不好 c1 超級大, 那這個情況下如果它比
0 小,我勢必不可能生產一個負的量,所以如果這整個
數字,這個分子如果比 0 小,那我就生產量應該是要調成 0,而不是調成一個負的量。
那看起來就很 make sense,所以嚴謹一點講的話,我們在前
一個 section,我們講 Cournot competition with identical costs 的時候,
應該也要去檢查 a-q2-c 有沒有大於 0。
a-q2-c 有沒有大於 0,之前應該也要檢查這件事情。
那我們之前之所以偷懶不檢查,第一個是因為那是第一個 例子,所以我們先簡單一點。
第二就是好啊,要檢查就來 你如果還有印象的話,q2 是
(a-c)/3,所以這個東西果然是大於 0,所以這個基本上是沒有 什麼問題的。
好,那我們現在在 identical costs 的時候可以不用檢查,但 different costs 的時候是一定要檢查的。
firm 2 一樣有這個式子,然後你仔細一看就會發現,哦,為什麼一定要 檢查。
比如說 c1 如果非常大,c2 如果非常小,
c2 如果很小的話,那我身為 player 2 我就有動機
生產很多,那我生產很多的話,我的 q2 就會偏大, 那這個時候呢
a 減掉兩個偏大的數字,確實就有可能會讓你的這個分子變成負的, 所以你這個時候就真的要檢查才行啦。
好,所以我們就寫出這樣子的式子來。
現在 問問你自己,如果我說我們要 analytically 地解這兩個 solution
的話,要怎麼做? 把這個跟這個,把這兩個東西拿來解聯立方程組嗎?
好,要的話也可以,可是這樣解出來的東西萬一不符合這兩個條件怎麼辦? 把其中一個變成
0 嗎?這樣對嗎?那另一個就維持不變,還是要重解,還是要怎麼樣?
如果不滿足,如果兩條都不滿足,那是要怎麼樣?這個時候要解 analytical
solution 辦得到,但是好像有點麻煩。
你如果沒有經過比較嚴謹的訓練的話,這個時候很容易算錯,
所以這個時候應該要怎麼辦呢?我們會寫程式,派得上用場, analytical
solution 固然是不太方便,但是 numerical solution
在這個例子裡就 比較容易求啦,所以讓我們來試試看。