Все бы хорошо бы, но только
эта экспонента будет содержать мнимую часть.
А что такое мнимое расстояние?
Или мнимые джоули? Ничего.
В физике никаких мнимых единиц быть не может.
Да даже мнимая вероятность —
это бессмысленность.
Поэтому будем искать функцию
в таком виде, но вероятностью найти частицу
в том или ином месте пространства
будем считать не саму эту функцию,
а ее модуль в квадрате.
Вот такая вот аргументация.
В общем-то, скорее математическая,
чем физическая.
И дальше продолжаем искать под фонарем.
Будем считать, что свободная частица,
которая не связана…
ни электронов в поле ядра,
ни какая-то другая связанная система…
а вот просто один себе электрон
в пустом пространстве.
Вот он должен иметь вот эту функцию вероятности,
напоминающую экспоненту в степени i, омега t минус kx.
Сделаем небольшую замену переменных.
Вместо частоты введем энергию.
Надо ее поделить на постоянную Планка
и как раз, так сказать, будет частота.
Вместо k — волнового числа —
давайте введем импульс.
Надо взять постоянную Планка
и поделить на импульс,
получится как раз волновое число.
Вот в таком виде будем
искать эту волновую функцию.
И дальше давайте с этой функцией
проделываем математические упражнения.
Просто так. Возьмем от нее производную,
например, по времени. Что мы получим?
Еще и умножим на мнимую единицу,
умножим на постоянную Планка,
все, как вы видите на экране,
и получится та же самая экспонента,
та же самая функция пси,
умноженная на энергию E.
Возьмем от нее производную по координате,
умножим на мнимую единицу,
умножим на постоянную Планка
и получим ту же самую функцию пси,
но умноженную на x компоненту импульса.
Если мы возьмем производную по y,
получим ту же самую функцию,
умноженную на y компоненту импульса,
по z — на z компоненту. Поиграли.
Продолжим эту игру. Согласно механике,
мы знаем, что энергия кинетическая,
по крайней мере, энергия равна
квадрату импульса, поделить на удвоенную массу.
Если я два раза проделаю операцию одинаковую —
i умножить на h и взять производную
по x от волновой функции.
После первого раза я получу px
умножить на ту же самую волновую функцию,
и после второго раза получу то же самое.
Получится px-квадрат.
Теперь я еще поделю на 2m
и сложу все вторые производные,
деленные на 2m, от всех трех координат.
Все, как вы видите на нашей виртуальной доске.
Я получу кинетическую энергию,
умноженную на волновую функцию.
То же самое для свободной частицы я получу,
подействовав на нее производной
по времени и умножить на i
и постоянную Планка.
Т. е. я могу написать уравнение,
о каком мечтал, дифференциальное уравнение.
И дальше могу взять рубанок Ньютона —
дифференциальные исчисления —
и начать этим рубанком соскребать стружки
и добираться до сути вещей.
Ибо мощнее инструмента не существует.
Но обратите внимание, что я сделал.
Я изначально предположил решение
и потом подогнал уравнение под это решение.
Я что-нибудь новое от этого могу узнать,
если это уравнение подогнано
под уже известное мне решение? Нет, не могу.
А что хотел бы узнать? А хотел бы узнать,
как ведут себя, например, электроны в атоме.
А в атоме они несвободные,
там есть ядро, которое их притягивает
каким-то потенциалом.
Как мне поправить это уравнение,
чтобы учесть несвободу?
Пока у меня и слева, и справа
стоят кинетические энергии.
Но справа это в чистом виде
кинетическая энергия p-квадрат на 2m.
А слева это для свободной частицы энергия,
так сказать, она равна кинетической.
Вообще-то говоря, энергия включает
в себя как кинетическую,
так и потенциальную компоненту.
Давайте ее учтем.
Ее просто введем в правую часть уравнения
и посмотрим, что мы узнаем,
и совпадает ли это с тем,
что наблюдается в эксперименте.
Вот это уравнение, великое уравнение Шредингера,
записанное впервые австрийским физиком
Эрвином Шредингером, вы видите его тоже на экране,
как оказалось, настолько точно
описывает мир атомов, что,