Introduction à l'optique non-linéaire, qui correspond au régime d'interaction laser-matière que l'on peut explorer à l'aide de lasers intenses, comme par exemple les lasers femtosecondes.
Démonstration de la Relation d'incertitudes
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From the course by École Polytechnique
Optique non-linéaire
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From the lesson
Transformation de Fourier
On introduira successivement les séries et les transformées de Fourier. L’analyse de Fourier d’un signal sonore nous permettra d’illustrer un certain nombre de propriétés utiles comme par exemple la relation entre largeur temporelle et largeur spectrale, qui sera approfondie en TD. On introduira également des notions importantes comme le retard de groupe et la dérive de fréquence. Enfin, la transformée de Fourier discrète permettra d’illustrer ces notions de manière numérique.
Meet the Instructors
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
Physics
Bonjour.
Dans ce TD, nous allons corriger la démonstration de la relation d'incertitude
Delta Oméga Delta t, que vous voyez écrire à l'écran ici, et dont vous avez
eu un exemple dans les vidéos cette semaine dans le cas de signaux sonores.
Évidemment la relation d'incertitude et l'impact de cette relation dépassent
largement le cours d'optique non-linéaire et le cadre des signaux sonores,
et on peut, en particulier, citer pour ça la relation d'Heisenberg,
qui s'appuie exactement sur la même démonstration mathématique,
et qui s'écrit Delta x sur Delta px supérieur ou égal à h
barre sur 2 et à qui de nombreuses implications en mécanique quantique.
Nous, dans ce cours, on va évidemment considérer le temps et la fréquence, qui
sont les variables qui nous intéressent et on va s'intéresser à des signaux optiques
dont les longueurs d'ondes sont de l'ordre de la centaine de nanomètre.
Dans une première partie, nous allons donc démontrer cette relation mathématique
et dans la dernière partie de cet exercice, nous allons appliquer cette
relation à des signaux optiques et en particulier, nous allons voir la durée
minimale d'impulsion qu'on peut espérer produire avec un cristal de titane saphir.
Je vous rappelle ici l'énoncé du TD que vous avez pu télécharger depuis une
semaine sur le site du cours et dans lequel,
on considère une fonction complexe Epsilon de t,
qui vérifie la condition de normalisation, qui s'écrit comme l'intégrale de moins
l'infini à plus l'infini, du module de Epsilon de t au carré qui est égal à 1.
Et puis évidemment, on considère la Transformée de Fourier
inverse Epsilon de Oméga, qui est définie comme dans le cours.
Donc, on passe à la première question,
qui vous demande de calculer la quantité de l'intégrale de moins l'infini à
plus l'infini de Epsilon de Oméga d Oméga sur 2 Pi.
Donc, pour résoudre cette question,
il suffit d'utiliser le théorème de Parseval-Plancherel,
je vous le rappelle ici, qui vous donne que l'intégrale de moins l'infini à plus
l'infini du produit f(t)g*(t)
dt qui est égal à l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de f de Oméga
g de Oméga étoile fois d Oméga sur 2 Pi.
Et donc, si vous appliquez ce théorème de Parseval-Plancherel avec la fonction F(t)
qui vaut Epsilon de t et la fonction g(t) qui vaut aussi Epsilon de t,
vous obtenez directement que l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de
Epsilon de Oméga en module au carré eh bien,
c'est la même chose que si vous intégriez dans le domaine temporel et
c'est égal à l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de Epsilon de t en
module au carré, et ça, par hypothèse, c'est égal à 1.
Donc, ça c'est une relation qui va nous être utile dans la suite
et donc on la garde sous le coude.
Et maintenant, on suppose que les fonctions Epsilon de t et
Epsilon d'Oméga sont centrées, donc ce sont les hypothèses que vous voyez ici.
Et donc ça, je vous rappelle que ce sont des
conditions qui ne sont pas restrictives du tout parce qu'à un facteur de phase près,
on peut très bien s'arranger pour que les fonctions Epsilon de t
soient centrées en zéro ou Epsilon d'Oméga soient aussi centrées en zéro.
Et donc, on vous demande de calculer les quantités Delta Oméga au carré et Delta t
au carré, en fonction d'Epsilon d'Oméga et de sa dérivée.
Et donc, on exprime tout d'abord Delta Oméga au carré qui est l'écart quadratique
moyen, et ça, c'est directement la différence entre la moyenne
de Oméga au carré moins la moyenne de Oméga, le tout au carré.
Et donc par hypothèse, eh bien, on sait que la moyenne de Oméga est nulle,
et donc ce terme-là disparaît, et vous pouvez écrire que la moyenne de
Oméga au carré, c'est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini
de Oméga 2 fois la densité de probabilité,
qui s'écrit simplement Epsilon de Oméga au module au carré fois d Oméga sur 2 Pi.
Donc, ça c'est le résultat qui est attendu pour Delta Oméga au carré.
En ce qui concerne Delta t au carré et bien, vous avez de la même manière
que Delta t au carré, c'est égal à la moyenne de t^2 et ça,
ça s'écrit comme l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de t^2
fois module Epsilon de t au carré dt.
Donc là, pour calculer cette intégrale-là on va encore utiliser
le théorème de Parseval-Plancherel mais avant de l'utiliser,
je vous rappelle une formule qu'on a vu dans le cours, donc, qui est que si vous
avez f(t) qui est relié à f de Oméga par Transformée de Fourier,
vous avez it f(t) qui est elle,
reliée à la dérivée de f par rapport à Oméga.
Et du coup, quand vous utilisez cette équation,
ici, en réécrivant un peu ce que vous avez sous l'intégrale,
si vous l'écrivez de cette manière-là, eh bien, vous voyez qu'on a exactement fait
apparaître ici la Transformée de Fourier de la dérivée de Epsilon
par rapport à Oméga et du coup, vous obtenez directement que Delta t au carré,
c'est l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de d Epsilon
sur d Oméga au carré fois d Oméga sur 2 Pi.
Et donc ça,
c'est le résultat qui est attendu pour la valeur de Delta t au carré.
On passe maintenant à la question numéro 3 de ce TD,
qui vous demande de calculer l'expression du polynôme de I de Lambda.
Donc, pour calculer I de Lambda, il va falloir développer
le carré, que je viens d'entourer qui est sous l'intégrale, et vous voyez quand vous
développez cette somme en module au carré, ça va vous faire intervenir déjà
le premier terme [AUDIO_VIDE]
au carré, vous avez évidemment le deuxième terme au carré
qui s'écrit ici Lambda 2
fois le module au carré de la dérivée de Epsilon et puis,
plus évidemment le terme croisé qui dans notre cas,
ici, s'écrit sous la forme Oméga Lambda, et puis vous avez 2 termes
qui valent Epsilon de Oméga fois le complexe conjugué de la dérivée de Epsilon
par rapport à Oméga et puis l'autre terme, qui est le complexe conjugué
de Epsilon de Oméga multiplié par Epsilon prime de Oméga
et puis évidemment vous avez l'élément intégrateur.
Et donc, toute cette équation on va pouvoir la simplifier un peu,
en particulier le premier terme que vous voyez ici, c'est exactement ce qu'on
a calculé tout à l'heure et c'est exactement Delta Oméga au carré.
Le deuxième terme que vous voyez ici, c'est Lambda
2 multiplié par ce qu'on a calculé dans la question 2, c'est Delta t au carré.
Et par contre, pour calculer le troisième terme de cette somme,
on peut remarquer que tout ce que vous avez dans la parenthèse ici,
c'est la dérivée par rapport à Oméga du module
de Epsilon au carré, parce que quand vous dérivez ce terme-là vous avez
évidemment la dérivée d'un produit et vous obtenez bien le résultat que vous voulez.
Du coup, quand vous remplacez ce troisième terme, vous avez juste
Lambda fois l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de Oméga
fois la dérivée par rapport à d Oméga fois d Oméga sur 2Pi.
Et ce terme-là, il a le bon goût
de pouvoir s'intégrer par partie et quand vous faites une intégration par partie,
vous trouvez que tout ce terme-là, il est égal à -1.
Et si bien que I de Lambda, si vous le réécrivez, vous voyez que c'est
Lambda 2 Delta t au carré moins Lambda plus Delta Oméga au carré.
Et donc, ça, c'est le résultat de cette troisième question,
à partir de laquelle on va pouvoir déduire la relation d'incertitude.
On passe donc à la question 4 et 5 de ce TD,
dans laquelle on vous demande de remarquer que le polynôme I de Lambda que
vous voyez écrit ici, est positif quel que soit la valeur de Lambda.
Ça, c'est une propriété qui est remarquable
parce que l'on sait que I de Lambda, c'est un polynôme d'ordre 2, et du coup,
un polynôme d'ordre 2 qui reste positif ou nul quel que soit la valeur de Lambda,
c'est un polynôme qui a en réalité ses racines complexes, mais Lambda étant réel,
vous pouvez directement écrire que le discriminant Delta de ce polynôme
du second degré qui vaut -1 au carré moins 4 Delta Oméga
carré Delta t au carré, lui est tout le temps négatif ou nul.
Et ça quand vous écrivez cette condition en faisant passer Delta Oméga et Delta t
de l'autre côté, c'est directement la relation d'incertitude qu'on vous demande,
Delta Oméga Delta t supérieur ou égal à un demi où
évidemment on a utilisé le fait que Delta Oméga et Delta t sont positifs.
Et donc la question 5, qui vous demande de discuter des conditions pour lesquelles on
a égalité dans cette relation d'incertitude,
il suffit de remonter le calcul qu'on a fait à l'envers et de voir que pour avoir
égalité dans Delta Oméga Delta t égal à un demi, ça vous impose
que Delta doit être égal à zéro, et pour avoir delta égal à zéro,
ça vous impose que, il existe une valeur réelle lambda zéro,
pour laquelle i de lambda zéro, soit égal à zéro ; et ça,
c'est lambda zéro, qui est la racine double du polynôme d'ordre 2.
Et quand vous écrivez ça, sous cette condition-là,
vous obtenez [AUDIO
VIDE] cette relation.
Et cette relation, elle est tout à fait remarquable, parce que c'est
l'intégrale d'une fonction qui est tout le temps positive, qui est égale à zéro.
Et l'intégrale d'une fonction positive qui est toujours égale à zéro,
vous impose que la fonction que vous intégriez soit, elle, tout le temps égale
à zéro ; et donc ça vous impose que, quelle que soit la valeur de oméga,
vous avez la fonction que vous intégrez qui doit être toujours égale à zéro.
Et ça, je vous renvoie maintenant au premier T D de cette semaine,
dans lequel on a corrigé la transformée de Fourier d'une gaussienne ; ça,
ça vous dit confère le T D sur la gaussienne,
ça vous dit, que epsilon de oméga, est une fonction gaussienne.
Et donc on a démontré que la condition d'incertitude, delta oméga, delta t,
était saturée pour une fonction gaussienne, et que c'était une condition
nécessaire et suffisante ; comme on l'a vu dans le T D précédent de cette semaine.
On passe donc à la question six de ce T D,
qui concerne un exemple d'application qui sont les lasers femtosecondes.
Et je vous montre, ici, en particulier des courbes qui vous donnent l'intensité de
fluorescence d'un cristal de Sapphire dopé avec des ions Titane,
en fonction de la longueur d'onde.
Et ce qui va nous intéresser ici, c'est la courbe de gains,
donc que vous voyez en pointillés, qui est cette courbe-là.
Et on va faire un calcul rapide pour estimer la durée minimale d'impulsion
qu'on peut espérer produire avec un tel cristal.
Donc pour ça, si on regarde là où la courbe de gain est maximale,
vous pouvez voir que, si vous considérez
uniquement cette bande dans laquelle la courbe de gain est, grosso modo,
supérieure à 0,9, et bien vous voyez que sa largeur est, elle,
à peu près égale à 50 nanomètres ; et du coup,
à partir de cette valeur de 50 nanomètres,
on peut utiliser la relation d'incertitude qu'on vient de démontrer,
delta oméga, delta t, supérieur ou égal à 1 demi.
Pour déduire que la durée des impulsions qu'on va espérer produire,
elle, elle est supérieure à 1 sur, 2, fois, delta oméga.
Et maintenant on va utiliser que, delta lambda, qu'on vient de mesurer,
c'est à peu près 50 nanomètres ; la relation qui lie delta oméga,
et delta lambda, elle est simple.
Il suffit pour ça d'écrire que, oméga c'est, 2 pi C, sur lambda.
Et donc que, delta oméga, c'est,
2 pi C, delta lambda, sur, lambda 2.
Et donc, quand vous reportez cette expression de, delta lambda,
vous obtenez que, delta t, doit être supérieur ou égal à, lambda 2,
sur, 4 Pi C, delta lambda.
Et, quand vous faites le calcul numérique,
en prenant comme valeur pour lambda vous prenez la valeur centrale, 800 nanomètres,
et vous prenez, pour delta lambda, la valeur de 50 nanomètres,
vous obtenez donc la valeur de delta t, qui vaut 3,4 femtosecondes.
C'est uniquement un calcul rapide.
Mais il faut que vous sachiez que, à l'heure actuelle,
dans le monde, des laboratoires savent produire des impulsions d'une durée
inférieure ou égale à 5 femtosecondes, avec des lasers Titane Sapphire.
Et c'est tout à fait remarquable pour plusieurs raisons.
La première, c'est que, si vous calculez la période temporelle optique
du champ électrique qui correspond à une oscillation du champ électrique,
donc cette période optique c'est directement, lambda sur C,
et bien ça c'est à peu près égal à 2,7 femtosecondes.
Si bien que vous voyez qu'on est capable de produire des impulsions
qui ne possèdent plus que quelques cycles optiques.
Eh donc, c'est remarquable.
Et dans le cadre de l'optique non linéaire,
qui est qui est le cours auquel vous assistez, c'est fondamental,
parce que ça permet d'obtenir des impulsions qui ont des puissances
très élevées et pour lesquelles les phénomènes d'optique non linéaire
vont être très facilement observables et pour lesquelles on va devoir
prendre en compte des effets indésirables, ou des effets que l'on souhaite amplifier.
Voilà, donc c'est tout pour la correction de ce T D.
Je vous remercie pour votre attention, et à la semaine prochaine.
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